On étudie quelques familles de problèmes aux limites elliptiques non linéaires d'ordre 2, de la forme Au=f(λ,χ,u,ε) où les réels positifs λ et ε qui apparaissent dans la non linéarité de f jouent, respectivement, le rôle de paramètre de bifurcation et de paramètre de perturbation. On considère l'aspect branches de solutions, retournements, pour ε>0 et ε→0 dans 5 cas

La thèse est d'éditée a l'analyse numérique et mathématique de systèmes d'équations aux dérivées partielles provenant de la modélisation du mouvement des cellules. Nous constructions un modèle de croissance tumorale dépendant des nutriments et nous montrons la stabilité asymptotique des états stationnaires constants pour des perturbations petites. Puis, les modèles paraboliques et hyperboliques de chimiotactisme sont approchés en utilisant des méthodes de différences finis et de volumes finis. En particulier, nous constructions un schéma consistant, le schéma well-balanced pour les états stationnaires a vitesse constante, qui conserve la positivité de la densité et traite le vide. Avec ces méthodes numériques efficaces et précises, le comportement des solutions est analysé. Premièrement le problème de la diffusion pure est étudié et le phénomène du temps d'attente et la régularité sous la condition physique aux bords sont considérés. Puis nous concentrons notre attention sur l'étude de l'existence et de la stabilité des états stationnaires et sur le comportement en temps long du modèle du chimiotactisme sur un domaine borné.

Ce travail présente quelques contributions mathématiques et numériques à la modélisation des fluides à l'échelle nanométrique. On considère deux niveaux de modélisation. Au premier niveau,une description atomique est adoptée. On s'intéresse aux méthodes permettant de calculer la viscosité de cisaillement d'un fluide à partir de cette description microscopique. On étudie en particulier les propriétés mathématiques de la dynamique de Langevin hors d'équilibre permet-tant de calculer la viscosité. Le deuxième niveau de description se situe à l'échelle du continu et l'on considère une classe de modèles pour les électrolytes à l'équilibre incorporant d'une part la présence d'un confinement avec des parois chargées et d'autre part des effets de non-idéalité dus aux corrélations électrostatiques entre les ions et au phénomène d'exclusion stérique. Dans un premier temps, on étudie mathématiquement le problème de minimisation de l'énergie libre dans le cas où celle ci reste convexe (non-idéalité modérée). Puis, on considère le cas non convexe (forte non-idéalité) conduisant à une séparation de phase

Les travaux résumés dans ce mémoire s'articulent, essentiellement, autour des deux thématiques suivantes: la modélisation et la simulation numériques de systèmes couplés (Chapitres 1-3) et les méthodes d'éléments finis stabilisées pour des problèmes transitoires (Chapitre 4). Ces travaux sont essentiellement motivés par l'étude de la stabilité aéroélastique de structures du génie civil et la simulation numérique de l'écoulement du sang et de l'électrophysiologie cardiaque. Dans le cadre de l'interaction fluide-structure, nous couplons les équations de Navier-Stokes en domaine mobile avec l'équation de l'élastodynamique non-linéaire. Nous étudions la stabilité des états d'équilibre du système à partir de l'analyse des solutions harmoniques d'un problème linéaire spécifique. Dans le contexte de la simulation temporelle, nous proposons une méthode de Newton exacte pour la résolution des schémas de couplage implicite. Puis nous nous intéressons à la question suivante: comment éviter le couplage fort sans compromettre la stabilité? Cette question est abordée de deux points de vue différents: via le couplage semi-implicite avec projection et par un traitement faible approprié des conditions d'interface au niveau discret. Nous abordons aussi la simulation numérique des ECG en utilisant un modèle mathématique 3D complet, entièrement basée sur des EDP/EDO. Les principaux ingrédients de ce modèle sont: dynamique phénoménologique au niveau cellulaire, équation bidomaine (dans le cœur) et équation de Laplace généralisée (dans le torse). D'autres aspects essentiels à la modélisation sont élucidés, ce qui nous permet de simuler des ECGs complets réalistes. Quelques schémas de discrétisation en temps pour l'équation bidomaine et le système couplé cœur-torse sont analysés. Enfin, nous généralisons la méthode de pénalisation intérieure conforme au problème d'Oseen et aux équations de Navier-Stokes transitoires. Des estimations d'erreur a priori (uniformes par rapport à la viscosité) sont fournies pour des approximations vitesse/pression du même ordre. Une analyse d'erreur abstraite pour des méthodes de stabilisation symétriques est présentée pour l'équation de Stokes et l'équation de réaction-advection-diffusion transitoires. Dans le cas de Stokes, nous montrons que l'instabilité des petits pas de temps peut être éliminée par un choix judicieux de l'approximation de la vitesse initiale. Pour l'équation de réaction-advection-diffusion, nous contournons le problème de la réduction de la structure creuse de la matrice (due à l'opérateur de stabilisation) par un traitement explicite de la stabilisation.

Etude d'équations de croissance et de fragmentation, problèmes inverses et directs, et applications en biologie

Ce manuscrit se décompose en deux parties principales, associées à deux types d'applications assez différentes. Dans la première partie qui comprend les deux premiers chapitres, je m'intéresse à des systèmes issus de problèmes de contrôle et d'estimation en physique quantique; dans la deuxième partie (troisième chapitre du manuscrit), j'étudie la propagation d'ondes électriques le long des fils classiques dans un réseau de lignes de transmission et je considère certains problèmes d'estimation de paramètres. Dans le premier chapitre nous étudions le problème de la planification de trajectoires pour des systèmes quantiques fermés modélisés par des équations de Schrödinger bilinéaire. Nous démontrons alors des résultats de la stabilisation approchée pour le cas d'une boite quantique infinie ainsi que pour le cas d'un potentiel décroissant. Dans les deux cas, le manque de pré-compacité des trajectoires dans des espaces fonctionnels appropriés nous oblige à proposer des méthodes de Lyapunov qui évitent des phénomènes de perte de masse à l'infini. Dans le deuxième chapitre nous étudions le problème de stabilisation de systèmes quantiques en observation. Cette observation nécessite l'ouverture du système à son environnement. Les modèles pertinents pour l'évolution de ce type de systèmes sont des modèles stochastiques basés sur des trajectoires de Monte-Carlo quantiques. Nous étudions alors certains problèmes de stabilisation qui parviennent de vraies expériences physiques. Enfin, dans le chapitre 3 nous considérons le problème d'estimation de paramètres pour un réseau de fils de câblage électrique. Dans ce but, nous étudions deux approches : l'approche temporelle et l'approche fréquentielle. Dans l'approche temporelle, nous considérons le réseau le plus simple qui consiste d'une seule ligne de transmission et nous proposons un algorithme d'identification pour l'équation d'onde associé qui est basé sur l'application des observateurs asymptotiques. Dans l'approche fréquentielle, nous considérons un réseau plus compliqué de la forme étoile. Nous proposons alors des résultats d'identifiabilité basés sur des techniques de l'inverse scattering.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique.

This thesis discusses and develops one approach to solve parabolic partial differential equations with random input data. The stochastic problem is firstly transformed into a parametrized one by using finite dimensional noise assumption and the truncated Karhunen-Loeve expansion. The approach, Monte Carlo discontinuous Galerkin (MCDG) method, randomly generates $M$ realizations of uncertain coefficients and approximates the expected value of the solution by averaging M numerical solutions. This approach is applied to two numerical examples. The first example is a two-dimensional parabolic partial differential equation with random convection term and the second example is a benchmark problem coupling flow and transport equations. I first apply polynomial kernel principal component analysis of second order to generate M realizations of random permeability fields. They are used to obtain M realizations of random convection term computed from solving the flow equation. Using this approach, I solve the transport equation M times corresponding to M velocity realizations. The MCDG solution spreads toward the whole domain from the initial location and the contaminant does not leave the initial location completely as time elapses. The results show that MCDG solution is realistic, because it takes the uncertainty in velocity fields into consideration. Besides, in order to correct overshoot and undershoot solutions caused by the high level of oscillation in random velocity realizations, I solve the transport equation on meshes of finer resolution than of the permeability, and use a slope limiter as well as lower and upper bound constraints to address this difficulty. Finally, future work is proposed.

Studying the zeros of a parameter dependent operator F defined on a Hilbert space H is a fundamental problem in mathematics. When the Hilbert space is finite dimensional, continuation provides, via predictor-corrector algorithms, efficient techniques to numerically follow the zeros of F as we move the parameter. In the case of infinite dimensional Hilbert spaces, this procedure must be applied to some finite dimensional approximation which of course raises the question of validity of the output. We introduce a new technique that combines the information obtained from the predictor-corrector steps with ideas from rigorous computations and verifies that the numerically produced zero for the finite dimensional system can be used to explicitly define a set which contains a unique zero for the infinite dimensional problem F: HxR->Im(F). We use this new validated continuation to study equilibrium solutions of partial differential equations, to prove the existence of chaos in ordinary differential equations and to follow branches of periodic solutions of delay differential equations. In the context of partial differential equations, we show that the cost of validated continuation is less than twice the cost of the standard continuation method alone.

Nous étudions dans ce travail une méthode de type éléments finis dans le but de simuler le mouvement de particules rigides immergées. La méthode développée ici est une méthode de type domaine fictif. L'idée est de chercher un prolongement régulier de la solution exacte à tout le domaine fictif afin d'obtenir une solution régulière sur tout le domaine et retrouver l'ordre optimal de l'erreur avec des éléments d'ordre 1. Le prolongement régulier est cherché en minimisant une fonctionnelle dont le gradient est donné par la solution d'un nouveau problème fluide faisant intervenir une distribution simple couche dans le second membre. Nous faisons une analyse numérique, dans le cas scalaire, de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masse de Dirac. Un des avantages de cette méthode est de pouvoir utiliser des solveurs rapides sur maillages cartésiens tout en conservant l'ordre optimal de l'erreur. Un autre avantage de la méthode vient du fait que les opérateurs ne sont pas modifiés, seul les seconds membres dépendent de la géométrie du domaine initial. Nous avons de plus écrit un code C++ parallèle en deux et trois dimensions, permettant de simuler des écoulements fluide/particules rigides avec cette méthode. Nous présentons ainsi une description des principales composantes de ce code.