In this thesis, we study the existence, uniqueness, and regularity of systems of degenerate linear stochastic integro-differential equations (SIDEs) of parabolic type with adapted coefficients in the whole space. We also investigate explicit and implicit finite difference schemes for SIDEs with non-degenerate diffusion. The class of equations we consider arise in non-linear filtering of semimartingales with jumps. In Chapter 2, we derive moment estimates and a strong limit theorem for space inverses of stochastic flows generated by Lévy driven stochastic differential equations (SDEs) with adapted coefficients in weighted Hölder norms using the Sobolev embedding theorem and the change of variable formula. As an application of some basic properties of flows of Weiner driven SDEs, we prove the existence and uniqueness of classical solutions of linear parabolic second order stochastic partial differential equations (SPDEs) by partitioning the time interval and passing to the limit. The methods we use allow us to improve on previously known results in the continuous case and to derive new ones in the jump case. Chapter 3 is dedicated to the proof of existence and uniqueness of classical solutions of degenerate SIDEs using the method of stochastic characteristics. More precisely, we use Feynman-Kac transformations, conditioning, and the interlacing of space inverses of stochastic flows generated by SDEs with jumps to construct solutions. In Chapter 4, we prove the existence and uniqueness of solutions of degenerate linear stochastic evolution equations driven by jump processes in a Hilbert scale using the variational framework of stochastic evolution equations and the method of vanishing viscosity. As an application, we establish the existence and uniqueness of solutions of degenerate linear stochastic integro-differential equations in the L2-Sobolev scale. Finite difference schemes for non-degenerate SIDEs are considered in Chapter 5. Specifically, we study the rate of convergence of an explicit and an implicit-explicit finite difference scheme for linear SIDEs and show that the rate is of order one in space and order one-half in time.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de trois équations aux dérivées partielles et d'évolution non-locales en espace et en temps. Les solutions de ces trois solutions peuvent exploser en temps fini. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons l'équation de la chaleur nonlinéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et obtenons notamment que, dans le cas d'exposant sur-critique, le comportement asymptotique de la solution lorsque $t\rightarrow+\infty$ est déterminé par le terme de diffusion anormale. D'autre part, dans le cas d'exposant sous-critique, l'effet du terme non-linéaire domine. Dans une deuxième partie, nous étudions une équation parabolique avec le laplacien fractionnaire et un terme non-linéaire et non-local en temps. On montre que la solution est globale dans le cas sur-critique pour toute donnée initiale ayant une mesure assez petite, tandis que dans le cas sous-critique, on montre que la solution explose en temps fini $T_{\max}>0$ pour toute condition initiale positive et non-triviale. Dans ce dernier cas, on cherche le comportement de la norme $L^1$ de la solution en précisant le taux d'explosion lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_{\max}.$ Nous cherchons encore les conditions nécessaires à l'existence locale et globale de la solution. Une toisième partie est consacré à une généralisation de la deuxième partie au cas de systèmes $2\times 2$ avec le laplacien ordinaire. On étudie l'existence locale de la solution ainsi qu'un résultat sur l'explosion de la solution avec les mêmes propriétés étudiées dans le troisième chapitre. Dans la dernière partie, nous étudions une équation hyperbolique dans $\mathbb{R}^N,$ pour tout $N\geq2,$ avec un terme non-linéaire non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale de la solution sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et les exposants du terme non-linéaire. De plus on obtient, sous certaines conditions sur les exposants, que la solution explose en temps fini, pour toute condition initiale ayant de moyenne strictement positive.

Le thème de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles décrivant l'intrusion saline dans les aquifères côtiers. On a choisi d'adopter la simplicité de l'approche avec interface nette : il n'y a pas de transfert de masse entre l'eau douce et l'eau salée (resp. entre la zone saturée et la zone sèche). On compense la difficulté mathématique liée à l'analyse des interfaces libres par un processus de moyennisation verticale nous permettant de réduire le problème initialement 3D à un système d'edps définies sur un domaine, Ω, 2D. Un second modèle est obtenu en combinant l'approche 'interface nette' à celle avec interface diffuse ; cette approche est déduite de la théorie introduite par Allen-Cahn, utilisant des fonctions de phase pour décrire les phénomènes de transition entre les milieux d'eau douce et d'eau salée (respectivement les milieux saturé et insaturé). Le problème d'origine 3D est alors réduit à un système fortement couplé d'edps quasi-linéaires de type parabolique dans le cas des aquifères libres décrivant l'évolution des profondeurs des 2 surfaces libres et de type elliptique-parabolique dans le cas des aquifères confinés, les inconnues étant alors la profondeur de l'interface eau salée par rapport à eau douce et la charge hydraulique de l'eau douce. Dans la première partie de la thèse, des résultats d'existence globale en temps sont démontrés montrant que l'approche couplée interface nette-interface diffuse est plus pertinente puisqu'elle permet d'établir un principe du maximum plus physique (plus précisèment une hiérarchie entre les 2 surfaces libres). En revanche, dans le cas de l'aquifère confiné, nous montrons que les deux approches conduisent à des résultats similaires. Dans la seconde partie de la thèse, nous prouvons l'unicité de la solution dans le cas non dégénéré, la preuve reposant sur un résultat de régularité du gradient de la solution dans l'espace Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Puis nous nous intéressons à un problème d'identification des conductivités hydrauliques dans le cas instationnaire. Ce problème est formulé par un problème d'optimisation dont la fonction coût mesure l'écart quadratique entre les charges hydrauliques expérimentales et celles données par le modèle. / The theme of this thesis is the analysis of mathematical models describing saltwater intrusion in coastal aquifers. The simplicity of sharp interface approach is chosen : there is no mass transfer between fresh water and salt water (respectively between the saturated zone and the area dry). We compensate the mathematical difficulty of the analysis of free interfaces by a vertical averaging process allowing us to reduce the 3D problem to system of pde's defined on a 2D domain Ω. A second model is obtained by combining the approach of 'sharp interface' in that with 'diffuse interface' ; this approach is derived from the theory introduced by Allen-Cahn, using phase functions to describe the phenomena of transition between fresh water and salt water (respectively the saturated and unsaturated areas). The 3D problem is then reduced to a strongly coupled system of quasi-linear parabolic equations in the unconfined case describing the evolution of the DEPTHS of two free surfaces and elliptical-parabolic equations in the case of confined aquifer, the unknowns being the depth of salt water/fresh water interface and the fresh water hydraulic head. In the first part of the thesis, the results of global in time existence are demonstrated showing that the sharp-diffuse interface approach is more relevant since it allows to establish a mor physical maximum principle (more precisely a hierarchy between the two free surfaces). In contrast, in the case of confined aquifer, we show that both approach leads to similar results. In the second part of the thesis, we prove the uniqueness of the solution in the non-degenerate case. The proof is based on a regularity result of the gradient of the solution in the space Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Then we are interest in a problem of identification of hydraulic conductivities in the unsteady case. This problem is formulated by an optimization problem whose cost function measures the squared difference between experimental hydraulic heads and those given by the model.

The focus of this thesis is the theory of periodic homogenization of partial differential equations and some applicable concepts of convergence. More precisely, we study parabolic problems exhibiting both spatial and temporal microscopic oscillations and a vanishing volumetric heat capacity type of coefficient. We also consider a hyperbolic-parabolic problem with two spatial microscopic scales. The tools used are evolution settings of multiscale and very weak multiscale convergence, which are extensions of, or closely related to, the classical method of two-scale convergence. The novelty of the research in the thesis is the homogenization results and, for the studied parabolic problems, adapted compactness results of multiscale convergence type.

Parabolrinnen-Kraftwerke sind zurzeit die am häufigsten zum Einsatz kommende und wirtschaftlichste Technologie solarthermisch konzentrierender Systeme (Concentrated Solar Power – CSP) und gehören zu den linienfokussierenden Systemen [1]. In Spanien stellen die solarthermischen Parabolrinnen-Kraftwerke Andasol 1–3 mit einer Kollektorfläche von ca. 150 Millionen m² bereits 150 MW zur Verfügung, mit denen ca. 200.000 Einwohner jährlich mit Strom versorgt werden können [2]–[4]. Das Solarfeld besteht aus ca. 150 m langen, in Reihe angeordneten Kollektoren, die aus einzelnen Parabolrinnen-Kollektormodulen zusammengefasst und im Tagesverlauf der Sonne nachgeführt werden. Die Lagerung erfolgt an den Modulrändern im Schwerpunkt des Kollektormoduls, der mit der Rotationsachse zusammenfällt. Bisher werden die Kollektoren überwiegend als filigranes Stahlfachwerk mit über die Aperturweite parabelförmig, uniaxial gekrümmten und punktuell gestützten Spiegelelementen ausgeführt. Bei der Assemblierung der Stahlfachwerke und der Spiegelelemente ist schon im Bauzustand durchgehend eine hohe Präzision gefordert, um eine maximale Solarstrahlenkonzentration der einfallenden direkten solaren Strahlung auf ein in der Fokallinie befindliches Absorberrohr sicherzustellen [5]. In diesem wird ein Wärmeträgermedium, zumeist Thermoöl, auf eine Prozesstemperatur von ca. 400 °C erhitzt. In einem nachgeschalteten konventionellen Kraftwerksblock wird mittels Dampfturbine Elektrizität erzeugt. Das bisher kommerziell meist genutzte Kollektormodul ist der EuroTrough mit einer Aperturweite von ca. 5,80 m und einer Modullänge von 12 m [6], [7] (Bild 1), welches als Benchmark für die erste Förderphase des Projekts diente. Zur Verbesserung der Wirtschaftlichkeit zielen bisherige Entwicklungen auf eine Vergrößerung der Spiegelfläche zur Steigerung des Wirkungsgrades über einen erhöhten geometrischen Konzentrationsgrad, definiert als das Verhältnis von Reflektor- zu Absorptionsfläche, ab. Module wie der UltimateTrough und der SpaceTube erreichen dies durch die Vergrößerung der Aperturweite auf 7,5 m bzw. 8 m [8], [9]. Ein alternatives Strukturkonzept aus stahlfaserverstärkten Betonfertigteilen der Schweizer Firma Airlight mit einer Aperturweite von 9,7 m besteht aus durch Luftdruck in parabolische Form gebrachten Spiegelfolien als Reflektorsystem und wurde bisher in einem Pilot-Kraftwerk in Ait-Baha, Marokko, umgesetzt [10]. Wesentliche Arbeiten der zweiten Förderphase sind daher – dem Trend zu größerer Apertur folgend – an der visionären Entwicklung von Parabolschalen mit Öffnungsweiten von bis zu 10 m ausgerichtet. [Aus: Einleitung] / Parabolic trough power plants are currently the most frequently used and most economical technology of solar thermal systems (Concentrated Solar Power – CSP) and belong to the linear focus collector types [1]. In Spain, the solar thermal parabolic trough power plants Andasol 1–3 with a collector area of approx. 150 million m² already provide 150 MW, which means that approx. 200,000 inhabitants can be annually supplied with electricity [2]–[4]. The solar field consists of approx. 150 m long collectors arranged in rows, which are combined from individual parabolic trough collector modules and track the sun during the course of the day. The bearings are located at the edges of the module in the centre of gravity of the collector module, which corresponds to the axis of rotation. Up to now, the collectors have mainly been designed as a steel framework with parabolic, uniaxially curved and pointwise supported mirror elements. During the assembly of the steel framework and the mirror elements, high precision is required throughout the manufacturing in order to ensure a maximum solar radiation concentration of the incident direct solar radiation on an absorber tube located in the focal line [5]. A heat transfer medium, usually thermal oil, is heated to a process temperature of approx. 400 °C in the absorber tube. Electricity is generated in a downstream conventional power plant unit by means of a steam turbine. The most commercially used collector module is the EuroTrough with an aperture width of approx. 5.80 m and a module length of 12 m [6], [7] (Fig. 1), which served as a benchmark for the first funding phase of the project. In order to improve economic efficiency, previous developments have aimed to increase the size of the mirror surface in order to increase efficiency by a higher geometric degree of concentration, defined as the ratio of reflector surface to absorption surface. Modules like the UltimateTrough and the SpaceTube achieve this by increasing the aperture width to 7.5 m or 8 m, respectively, [8], [9]. An alternative structural concept consisting of prefabricated steel fibre-reinforced concrete elements from the Swiss company Airlight with an aperture width of 9.7 m consists of parabolic mirror foils as a reflector brought into parabolic shape by air pressure and has already been implemented in a pilot power plant in Ait-Baha, Morocco [10]. Therefore, in line with the trend towards a larger aperture, major work in the second funding phase aims at the visionary development of parabolic shells with aperture widths of up to 10 m. [Off: Introduction]

We study stochastic heat equations of the forms $[\partial_t u-\sL u]\d t\d x=\lambda\int_\R\sigma(u,h)\tilde{N}(\d t,\d x,\d h),$ and $[\partial_t u-\sL u]\d t\d x=\lambda\int_{\R^d}\sigma(u,h)N(\d t,\d x,\d h)$. Here, $u(0,x)=u_0(x)$ is a non-random initial function, $N$ a Poisson random measure with its intensity $\d t\d x\nu(\d h)$ and $\nu(\d h)$ a L\'vy measure; $\tilde$ is the compensated Poisson random measure and $\sL$ a generator of a L\'{e}vy process. The function $\sigma:\R\rightarrow\R$ is Lipschitz continuous and $\lambda>0$ the noise level. The above discontinuous noise driven equations are not always easy to handle. They are discontinuous analogues of the equation introduced in \cite{Foondun} and also more general than those considered in \cite{Saint}. We do not only compare the growth moments of the two equations with each other but also compare them with growth moments of the class of equations studied in \cite{Foondun}. Some of our results are significant generalisations of those given in \cite{Saint} while the rest are completely new. Second and first growth moments properties and estimates were obtained under some linear growth conditions on $\sigma$. We also consider $\sL:=-(-\Delta)^{\alpha/2}$, the generator of $\alpha$-stable processes and use some explicit bounds on its corresponding fractional heat kernel to obtain more precise results. We also show that when the solutions satisfy some non-linear growth conditions on $\sigma$, the solutions cease to exist for both compensated and non-compensated noise terms for different conditions on the initial function $u_0(x)$. We consider also fractional heat equations of the form $ \partial_t u(t,x)=-(-\Delta)^{\alpha/2}u(t,x)+\lambda\sigma(u(t,x)\dot{F}(t,x),\,\, \text{for}\,\, x\in\R^d,\,t>0,\,\alpha\in(1,2),$ where $\dot{F}$ denotes the Gaussian coloured noise. Under suitable assumptions, we show that the second moment $\E|u(t,x)|^2$ of the solution grows exponentially with time. In particular we give an affirmative answer to the open problem posed in \cite{Conus3}: given $u_0$ a positive function on a set of positive measure, does $\sup_{x\in\R^d}\E|u(t,x)|^2$ grow exponentially with time? Consequently we give the precise growth rate with respect to the parameter $\lambda$.

In the thesis explicit dual parabolic-elliptic models are constructed for the Konenkov flexural edge wave and the Stoneley-type flexural interfacial wave in case of thin linearly elastic plates. These waves do not appear in an explicit form in the original equations of motion within the framework of the classical Kirchhoff plate theory. The thesis is aimed to highlight the contribution of the edge and interfacial waves into the overall displacement field by deriving specialised equations oriented to aforementioned waves only. The proposed models consist of a parabolic equation governing the wave propagation along a plate edge or plate junction along with an elliptic equation over the interior describing decay in depth. In this case the parabolicity of the one-dimensional edge and interfacial equations supports flexural wave dispersion. The methodology presented in the thesis reveals a dual nature of edge and interfacial plate waves contrasting them to bulk-type wave propagating in thin elastic structures. The thesis tackles a number of important examples of the edge and interfacial wave propagation. First, it addresses the propagation of Konenkov flexural wave in an elastic isotropic plate under prescribed edge loading. For the latter, parabolic-elliptic explicit models were constructed and thoroughly investigated. A similar problem for a semi-infinite orthotropic plate resulted in a more general dual parabolic-elliptic model. Finally, an anal- ogous model was derived and analysed for two isotropic semi-infinite Kirchhoff plates under perfect contact conditions.

We develop a new method for pricing options on discretely sampled arithmetic average in exponential Lévy models. The main idea is the reduction to a backward induction procedure for the difference Wn between the Asian option with averaging over n sampling periods and the price of the European option with maturity one period. This allows for an efficient truncation of the state space. At each step of backward induction, Wn is calculated accurately and fast using a piece-wise interpolation or splines, fast convolution and either flat iFT and (refined) iFFT or the parabolic iFT. Numerical results demonstrate the advantages of the method.

In this thesis, first we study the unique classical solution of quasi-linear second order parabolic partial differential equations (PDEs). For this, we study the existence and uniqueness of the $L^2_{\rho}( \mathbb{R}^{d}; \mathbb{R}^{d}) \otimes L^2_{\rho}( \mathbb{R}^{d}; \mathbb{R}^{k})\otimes L^2_{\rho}( \mathbb{R}^{d}; \mathbb{R}^{k\times d})$ valued solution of forward backward stochastic differential equations (FBSDEs) with finite horizon, the regularity property of the solution of FBSDEs and the connection between the solution of FBSDEs and the solution of quasi-linear parabolic PDEs. Then we establish their connection in the Sobolev weak sense, in order to give the weak solution of the quasi-linear parabolic PDEs. Finally, we study the unique weak solution of quasi-linear second order elliptic PDEs through the stationary solution of the FBSDEs with infinite horizon.

Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques issus de modèles de cinétique chimique, de dynamique des populations et de la théorie de l'électromigration. On s'intéresse à des questions d'existence de solutions globales en temps, à l'unicité de solutions faibles, ainsi qu'à la limite de réaction rapide dans un système de réaction-diffusion. Dans un premier chapitre, on étudie deux systèmes aux diffusions croisées. On commence par s'intéresser à un modèle de dynamique des populations, où les effets croisés dans les interactions entre les différentes espèces sont modélisés par des opérateurs non locaux. Pour toute dimension d'espace, on prouve l'existence et l'unicité de solutions globales régulières. On s'intéresse ensuite à un système aux diffusions croisées qui apparait comme la limite de réaction rapide d'un système classique associé à la réaction chimique C1+C2=C3. On prouve alors la convergence lorsque k tend vers l'infini de la solution du système avec une vitesse de réaction finie k vers une solution globale du système limite. Le second chapitre contient de nouveaux résultats d'existence globale pour des systèmes de réaction-diffusion. Pour des réseaux de réactions chimiques élémentaires du type Ci+Cj=Ck qui suivent la loi d'Action de Masse, on montre l'existence et l'unicité de solutions globales fortes, pour des dimensions en espace N<6 dans le cas semi-linéaire et N<4 dans le cas quasi-linéaire. On montre aussi l'existence de solutions globales faibles pour une classe de systèmes paraboliques quasi-linéaires dont les non-linéarités sont au plus quadratiques et dont les données initiales sont seulement supposées positives et intégrables. Dans le dernier chapitre, on généralise un résultat d'existence globale de solutions fortes pour des systèmes de réaction-diffusion dont les non-linéarités ont une structure "triangulaire", pour lesquels on prend désormais en compte des termes d'advection et des coefficients de diffusion dépendant du temps et de la variable d'espace. Ce résultat est ensuite utilisé dans un argument de point fixe de Leray-Schauder pour prouver l'existence en toute dimension de solutions globales à un problème d'électromigration-diffusion. / This thesis is devoted to the study of parabolic systems of partial differential equations arising in mass action kinetics chemistry, population dynamics and electromigration theory. We are interested in the existence of global solutions, uniqueness of weak solutions, and in the fast-reaction limit in a reaction-diffusion system. In the first chapter, we study two cross-diffusion systems. We are first interested in a population dynamics model, where cross effects in the interactions between the different species are modeled by non-local operators. We prove the well-posedness of the corresponding system for any space dimension. We are then interested in a cross-diffusion system which arises as the fast-reaction limit system in a classical system for the chemical reaction C1+C2=C3. We prove the convergence when k goes to infinity of the solution of the system with finite reaction speed k to a global solution of the limit system. The second chapter contains new global existence results for some reaction-diffusion systems. For networks of elementary chemical reactions of the type Ci+Cj=Ck and under Mass Action Kinetics assumption, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions, for space dimensions N<6 in the semi-linear case, and N<4 in the quasi-linear case. We also prove the existence of global weak solutions for a class of parabolic quasi-linear systems with at most quadratic non-linearities and with initial data that are only assumed to be nonnegative and integrable. In the last chapter, we generalize a global well-posedness result for reaction-diffusion systems whose nonlinearities have a "triangular" structure, for which we now take into account advection terms and time and space dependent diffusion coefficients. The latter result is then used in a Leray-Schauder fixed point argument to prove the existence of global solutions in a diffusion-electromigration system.