The k-path problem is to find a simple path of length k. This problem is NP-complete and has applications in bioinformatics for detecting signaling pathways in protein interaction networks and for biological subnetwork matching. There are algorithms implemented to solve the problem for k up to 13. The fastest implementation has running time O^*(4.32^k), which is slower than the best known algorithm of running time O^*(4^k). To implement the best known algorithm for the k-path problem, we need to construct (n,k)-universal set. In this thesis, we study the practical algorithms for constructing the (n,k)-universal set problem. We propose six algorithm variants to handle the increasing computational time and memory space needed for k=3, 4, ..., 8. We propose two major empirical techniques that cut the time and space tremendously, yet generate good results. For the case k=7, the size of the universal set found by our algorithm is 1576, and is 4611 for the case k=8. We implement the proposed algorithms with the OpenMP parallel interface and construct universal sets for k=3, 4, ..., 8. Our experiments show that our algorithms for the (n,k)-universal set problem exhibit very good parallelism and hence shed light on its MPI implementation. Ours is the first implementation effort for the (n,k)-universal set problem. We share the effort by proposing an extensible universal set construction and retrieval system. This system integrates universal set construction algorithms and the universal sets constructed. The sets are stored in a centralized database and an interface is provided to access the database easily. The (n,k)-universal set have been applied to many other NP-complete problems such as the set splitting problems and the matching and packing problems. The small (n,k)-universal set constructed by us will reduce significantly the time to solve those problems.

NP-hard problems have numerous applications in various fields such as networks, computer systems, circuit design, etc. However, no efficient algorithms have been found for NP-hard problems. It has been commonly believed that no efficient algorithms for NP-hard problems exist, i.e., that P6=NP. Recently, it has been observed that there are parameters much smaller than input sizes in many instances of NP-hard problems in the real world. In the last twenty years, researchers have been interested in developing efficient algorithms, i.e., fixed-parameter tractable algorithms, for those instances with small parameters. Fixed-parameter tractable algorithms can practically find exact solutions to problem instances with small parameters, though those problems are considered intractable in traditional computational theory. In this dissertation, we propose a new approach of algorithm design and analysis: discovering better measures for problems. In particular we use two measures instead of the traditional single measure?input size to design algorithms and analyze their time complexity. For several classical NP-hard problems, we present improved algorithms designed and analyzed with this new approach, First we show that the new approach is extremely powerful for designing fixedparameter tractable algorithms by presenting improved fixed-parameter tractable algorithms for the 3D-matching and 3D-packing problems, the multiway cut problem, the feedback vertex set problems on both directed and undirected graph and the max-leaf problems on both directed and undirected graphs. Most of our algorithms are practical for problem instances with small parameters. Moreover, we show that this new approach is also good for designing exact algorithms (with no parameters) for NP-hard problems by presenting an improved exact algorithm for the well-known satisfiability problem. Our results demonstrate the power of this new approach to algorithm design and analysis for NP-hard problems. In the end, we discuss possible future directions on this new approach and other approaches to algorithm design and analysis.

L'alignement de macromolécules biologiques comme les protéines, l'ADN ou encore l'ARN est une problématique biologique et bio-informatique qui a pour but de révéler une partie des mystères du fonctionnement des cellules, constituants des êtres vivants. Les ARN non-codant sont des macromolécules intervenant dans le métabolisme de tout être vivant et les deux problématiques majeurs les concernant sont: la prédiction de leur structure pour mieux comprendre leur fonctionnement et leur détection dans des bases de données ou des génomes. L'une des approches: l'alignement structure-séquence d'ARN, répond à ces deux problématiques. Le problème d'alignement structure-séquence consiste à aligner une structure connue d'un premier ARN avec la séquence d'un deuxième ARN.La structure est représentée sous la forme d'un graphe ou de façon équivalente sous la forme d'une séquence arc-annotées et la séquence représente la suite des nucléotides de l'ARN.Pour résoudre ce problème, nous cherchons à optimiser l'alignement selon une fonction de coût. C'est donc un problème d'optimisation, qui malheureusement se révèle NP-Difficile.En conséquence différents travaux définissent des classes d'instances réduites pour lesquelles ils proposent des algorithmes spécifiques mais à complexités polynomiales.Les travaux de ma thèse unifient et la généralisent les approches précédentes par la construction d'un algorithme à complexité paramétrée non spécifique à une classe d'instances. En utilisant cet algorithme, il est possible de résoudre le problème d'alignement structure-séquence pour toutes les instances possibles, et aussi efficacement que les précédentes approches sur leur domaine de résolution respectif. Cet algorithme utilise une technique empruntée à la théorie des graphes: la décomposition arborescente, c'est-à-dire qu'il transforme la structure donnée en une décomposition arborescente et c'est ensuite cette décomposition qui est alignée avec la séquence donnée. L'alignement entre une décomposition arborescente et une séquence se fait par programmation dynamique.Sa mise en place a nécessité une reformulation du problème ainsi qu'une modification importante de l'utilisation classique de la programmation dynamique pour les décompositions arborescentes. Au final, cela conduit à un algorithme paramétré dont le paramètre est entièrement lié à la décomposition arborescente. La construction des décompositions arborescentes pour lesquelles l'alignement s'effectuera plus le efficacement possible est malheureusement un problème lui aussi NP-Difficile. Néanmoins, nous avons créé une heuristique de construction de décompositions adaptée aux structures d'ARN.Nous avons alors défini des nouvelles classes de structures pour lesquelles notre algorithme (décomposition et alignement) possède une faible complexité. Ces classes incluent notamment toutes les autres classes précédemment définies et la complexité de notre algorithme est au moins aussi faible que celles des algorithmes spécifiques sur leurs classes de structures respectives. Ces classes de structures représentent la majorité des structures connues et contiennent de nombreux éléments importants jusqu'alors non pris en compte (tel que les motifs tertiaires d'ARN). Le problème de l'alignement structure-séquence tente de répondre aux problématiques de prédictions de structures et de recherche d'ARN. Néanmoins, la qualité des résultats obtenus par sa résolution dépendent de la fonction de coût utilisée. Durant ma thèse j'ai commencé la mise place de la construction par apprentissage d'une nouvelle fonction de coût, adaptée aux nouvelles classes de structures que nous avons défini. Enfin de par la nature de l'algorithme, le travail réalisé permet des améliorations non négligeables, en terme de qualité des résultats et de rapidité de calcul comme la recherche de solution sous-optimales ou l'utilisation de l'algorithme au sein d'heuristiques dérivées d'heuristiques classiques. / The alignment of biological macromolecules such as proteins, DNA or RNA is a biological and bio-informatics problematic which aims to reveal some of the mysteries of how cells works. The non-coding RNA are involved in the metabolism of all living beings. The two major issues concerning them are: the prediction of their structure to better understand their function and their detection in databases or genomes. One approach, the structure-sequence alignment of RNA, addresses these two issues. The work done during my thesis provides some constructive elements on this problem and led me to call the graph algorithmic for its resolution. The alignment problem is to align a structure of a first RNA with the sequence of a second RNA. The structure on the first RNA is represented as a graph or equivalently as an arc-annotated sequence and the sequence represents the nucleotide sequence of the second RNA.To solve this problem, we aim to compute a minimal cost alignment, according to a given cost function. So, this is an optimization problem, which turns out to be NP-hard.Accordingly, different works define several reduced structure classes for which they propose specific algorithms but with polynomial complexity. The work of my thesis unifies and generalizes previous approaches by the construction of a unique (not class specific) parameterized algorithm. Using this algorithm, it is possible to solve the problem of structure-sequence alignment for all possible instances, and as effectively as previous approaches in their respective field of resolution.This algorithm uses a technique from graph theory: the tree decomposition, that is to say, it transforms the given structure into a tree-decomposition and the decomposition is then aligned with the sequence. The alignment between a tree-decomposition and a sequence is done by dynamic programming. Its implementation requires a reformulation of the problem as well as a substantial modifications to the conventional use of dynamic programming for tree decompositions. This leads to an algorithm whose parameter is entirely related to the tree-decomposition.The construction of tree decompositions for which the alignment is the most effective is unfortunately a NP-Hard problem. Nevertheless, we have developed a heuristic construction of decompositions adapted to RNA structures. We then defined new structure classes which extend existing ones without degrading the complexity of the alignment but which can represent the majority of known structures containing many important elements that had not be taken into account previously (such as RNA tertiary motifs).The sequence-structure alignment problem attempts to answer the problem of prediction of structures and RNA research. However, the quality of the results obtained by its resolution depends on the cost function. During my PhD I started to define new cost functions adapted to the new structure classes by a machine learning approach. Finally, the work allows significant improvements in terms of quality of results and computation. For example the approach directly allows the search for sub-optimal solutions or its use within heuristics derived from traditional heuristic methods.

Cette thèse porte sur des aspects structuraux et algorithmiques des graphes. Elle est divisée en deux parties, qui comportent deux études différentes : une partie sur des algorithmes centralisés-séquentiels, et une autre sur des algorithmes distribués. Dans la première partie, on étudie des aspects algorithmiques de deux structures de graphes appelés séparateurs minimaux et cliques maximales potentielles. Ces deux objets sont au coeur d'un méta-théorème dû à Fomin, Todinca and Villanger (SIAM J. Comput. 2015), qui affirme qu'une grande famille des problèmes d'optimisation peut être résolue en temps polynomial, si le graphe d'entrée contient un nombre polynomial de séparateurs minimaux. La contribution de cette partie consiste à prolonger le méta-théorème de Fomin et al. de deux manières : d'un côté, on l'adapte pour qu'il soit valide pour une plus grande famille des problèmes ; de l'autre, on étend ces résultats à des version paramétrées, pour certains paramètres des graphes. La deuxième partie de la thèse correspond à une étude du modèle appelé « Diffusion dans une Clique Congestionnée ». Dans ce modèle, les sommets d'un graphe communiquent entre eux dans des rondes synchrones, en diffusant un message de petite taille, visible par tout autre sommet. L'objectif ici est d'élaborer des protocoles qui reconnaissent des classes de graphes, en minimisant la taille des messages et le nombre de rondes. La contribution de cette partie est l'étude du rôle du hasard dans ce modèle, et la conception de protocoles pour la reconnaissance et la reconstruction des certaines classes des graphes. / This thesis is about structural and algorithmic aspects of graphs. It is divided in two parts, which are about two different studies: one part is about centralized-sequential algorithms, and the other part is about distributed algorithms. In the first part of the thesis we study algorithmic applications of two graph structures called minimal separators and potential maximal cliques. These two objects are in the core of a meta-theorem due to Fomin, Todinca and Villanger (SIAM J. Comput. 2015), which states that a large family of graph optimization problems can be solved in polynomial time, when the input is restricted to the family of graphs with polynomially many minimal separators. The contribution of this part of the thesis is to extend the meta-theorem of Fomin et al. in two ways. On one hand, we adapt it to be valid into a larger family of problems. On the other hand, we extend it into a parameterized version, for several graph parameters. In the second part of this thesis we study the broadcast congested clique model. In this model, the nodes of a graph communicate in synchronous rounds, broadcasting a message of small size visible to every other node. The goal is to design protocols that recognize graph classes minimizing the number of rounds and the message sizes. The contribution of this part is to explore the role of randomness on this model, and provide protocols for the recognition and reconstruction of some graph classes.

In der klassischen Komplexitätstheorie werden worst-case Laufzeiten von Algorithmen typischerweise einzig abhängig von der Eingabegröße angegeben. In dem Kontext der parametrisierten Komplexitätstheorie versucht man die Analyse der Laufzeit dahingehend zu verfeinern, dass man zusätzlich zu der Eingabengröße noch einen Parameter berücksichtigt, welcher angibt, wie strukturiert die Eingabe bezüglich einer gewissen Eigenschaft ist. Ein parametrisierter Algorithmus nutzt dann diese beschriebene Struktur aus und erreicht so eine Laufzeit, welche schneller ist als die eines besten unparametrisierten Algorithmus, falls der Parameter klein ist. Der erste Hauptteil dieser Arbeit führt die Forschung in diese Richtung weiter aus und untersucht den Einfluss von verschieden Parametern auf die Laufzeit von bekannten effizient lösbaren Problemen. Einige vorgestellte Algorithmen sind dabei adaptive Algorithmen, was bedeutet, dass die Laufzeit von diesen Algorithmen mit der Laufzeit des besten unparametrisierten Algorithm für den größtmöglichen Parameterwert übereinstimmt und damit theoretisch niemals schlechter als die besten unparametrisierten Algorithmen und übertreffen diese bereits für leicht nichttriviale Parameterwerte. Motiviert durch den allgemeinen Erfolg und der Vielzahl solcher parametrisierten Algorithmen, welche eine vielzahl verschiedener Strukturen ausnutzen, untersuchen wir im zweiten Hauptteil dieser Arbeit, wie man solche unterschiedliche homogene Strukturen zu mehr heterogenen Strukturen vereinen kann. Ausgehend von algebraischen Ausdrücken, welche benutzt werden können, um von Parametern beschriebene Strukturen zu definieren, charakterisieren wir klar und robust heterogene Strukturen und zeigen exemplarisch, wie sich die Parameter tree-depth und modular-width heterogen verbinden lassen. Wir beschreiben dazu effiziente Algorithmen auf heterogenen Strukturen mit Laufzeiten, welche im Spezialfall mit den homogenen Algorithmen übereinstimmen. / In classical complexity theory, the worst-case running times of algorithms depend solely on the size of the input. In parameterized complexity the goal is to refine the analysis of the running time of an algorithm by additionally considering a parameter that measures some kind of structure in the input. A parameterized algorithm then utilizes the structure described by the parameter and achieves a running time that is faster than the best general (unparameterized) algorithm for instances of low parameter value. In the first part of this thesis, we carry forward in this direction and investigate the influence of several parameters on the running times of well-known tractable problems. Several presented algorithms are adaptive algorithms, meaning that they match the running time of a best unparameterized algorithm for worst-case parameter values. Thus, an adaptive parameterized algorithm is asymptotically never worse than the best unparameterized algorithm, while it outperforms the best general algorithm already for slightly non-trivial parameter values. As illustrated in the first part of this thesis, for many problems there exist efficient parameterized algorithms regarding multiple parameters, each describing a different kind of structure. In the second part of this thesis, we explore how to combine such homogeneous structures to more general and heterogeneous structures. Using algebraic expressions, we define new combined graph classes of heterogeneous structure in a clean and robust way, and we showcase this for the heterogeneous merge of the parameters tree-depth and modular-width, by presenting parameterized algorithms on such heterogeneous graph classes and getting running times that match the homogeneous cases throughout.