Wir berichten über eine experimentelle Studie zu lokalen Suchverfahren für das Pairing-Problem bei Fluggesellschaften unter Benutzung realer Testdatensätze mit bis zu 4600 Fl"ugen kurzer Reichweite. Unter einer Run-Cutting Formulierung vergleichen wir Verfahren wie Simulated Annealing, Modifikationen der Wasserspiegel-Algorithmen nach Dueck, eine elementare Implementation von Tabu Suche sowie einen GRASP Ansatz. Es zeigt sich, da"s die Wasserspiegel-Algorithmen vergleichbare Ergebnisse wie Simulated Annealing, und um etwa 40% bessere Ergebnisse als blo"se lokale Verbesserungsheuristiken liefern, w"ahrend Tabu Suche und GRASP hier ungeeignet erscheinen. Die Ergebnisse von Simulated Annealing und der Wasserspiegel-Algorithmen k"onnen sich auch mit den LP-Schranken f"ur die SET PARTITIONING Formulierung mit Packungsungleichungen und bis zu 3.9 Millionen Spalten messen. Eine Clustering-Parallelisierung des Simulated Annealings auf einem Parallelrechner GigaCluster PowerPlus weist eine sehr gute Beschleunigung auf. / For the airline pairing problem using a run-cutting formulation. Computational results are reported for some real-world short-haul testproblems with up to 4600 flights per month. In particular, we evaluate the relative performance of simulated annealing, modified versions of the waterlevel algorithms proposed by Dueck, an elementary tabu search, and a GRASP approach. We find that the waterlevel algorithms compare well with simulated annealing and both improve on mere improvement heuristics by about 40%. Tabu search and GRASP do not yield competitive results here. Simulated annealing and the waterlevel algorithms also compare favourably with LP-bounds for a SET PARTITIONING formulation with knapsack constraints containing up to 3.9 million columns. A clustering parallelization of simulated annealing on a GigaCluster PowerPlus parallel computer exhibits an excellent speed-up.

The traveling salesperson or salesman problem (TSP) is a well known and important combinatorial optimization problem. The goal is to find the shortest tour that visits each city in a given list exactly once and then returns to the starting city. Despite this simple problem statement, solving the TSP is difficult since it belongs to the class of NP-complete problems. The importance of the TSP arises besides from its theoretical appeal from the variety of its applications. In addition to vehicle routing, many other applications, e.g., computer wiring, cutting wallpaper, job sequencing or several data visualization techniques, require the solution of a TSP. In this paper we introduce the R package TSP which provides a basic infrastructure for handling and solving the traveling salesperson problem. The package features S3 classes for specifying a TSP and its (possibly optimal) solution as well as several heuristics to find good solutions. In addition, it provides an interface to Concorde, one of the best exact TSP solvers currently available. (author's abstract) / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics

Convex cycles play a role e.g. in the context of product graphs. We introduce convex cycle bases and describe a polynomial-time algorithm that recognizes whether a given graph has a convex cycle basis and provides an explicit construction in the positive case. Relations between convex cycles bases and other types of cycles bases are discussed. In particular we show that if G has a unique minimal cycle bases, this basis is convex. Furthermore, we characterize a class of graphs with convex cycles bases that includes partial cubes and hence median graphs. (authors' abstract) / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics

Die Organisation von Handelsstrukturen bringt seit je her weitreichende soziale, politische sowie ökonomische Implikationen mit sich. Da die zugrundeliegenden Dynamiken von Handelssystemen a priori unbekannt sind bieten Konzepte aus der Theorie komplexer Systeme nützliche Werkzeuge, um neue Muster zu entdecken, sowie neue Hypothesen zu den Vorgängen innerhalb der Handelssysteme zu entwickeln. Einen nützlichen Ansatz stellen dabei komplexe Netzwerke dar, da Handelsströme zwischen ökonomischen Einheiten sinnvoll als Knoten und Verbindungen im Netzwerk darstellbar sind. In dieser Arbeit erweitern wir spezielle Methoden auf komplexen Netzwerken, um die Netzwerk-Topologie des Handels auf globaler und auf nationaler Ebene zu untersuchen. Auf dem Level einzelner Industriesektoren erhalten wir neue Einblicke in die topologische Struktur des internationalen Handelsnetzwerks. Dazu führen wir neue Netzwerkmaße ein, welche die Funktion von Knoten in Subgraphen unter dem Blickwinkel, dass das Gesamtsystem durch ein Netzwerk aus mehreren Subnetzwerken dargestellt wird, beschreiben. Im Zuge der Globalisierung gewinnen bilaterale Handelsabkommen bei Entscheidungsträgern an Aufmerksamkeit und werden in zunehmender Zahl verhandelt. Wir entwickeln in dieser Arbeit einen neuen Ansatz, um die Auswirkungen dieser Abkommen auf die beteiligten Ökonomien zu analysieren und zu quantifizieren. Weiterhin behandeln wir die Fragestellung, in welchem Maß Handel als ein Übermittler von Nachfrage- und Angebotsveränderungen auf andere Industrien angesehen werden kann. Schließlich betrachten wir Handelsnetzwerke auf der Ebene von einzelnen Firmen und beschreiben die Funktion von einzelnen Knoten, insbesondere deren Rolle innerhalb von 3er-Motiven. Obwohl alle Methoden und Maße, die wir im Zuge dieser Arbeit einführen, aus Fragen im Kontext des Handels motiviert sind, sind die methodischen Konzepte auf komplexe Netzwerke in anderen Forschungsrichtungen anwendbar. / The organization of trade and its patterns and structures have always had far reaching implications among social, political and economic dimensions. The underlying dynamics of trade systems are often a priori unknown and concepts from complex system theory provide useful tools to discover new patterns and to develop new hypotheses on the mechanisms of the system. Complex networks offer a particularly useful approach to trade systems, as trade flows between economic entities can be intuitively and meaningfully represented as nodes and links in a network. In this thesis, we extend specific methods of complex networks with a focus on the relations between different subnetworks to investigate the network topology of trade on both the global and national scale. On an aggregation level considering individual industries as nodes, we obtain new insights about the topological structure of the international trade network by introducing new network measures that characterize the roles of nodes in subnetworks from a network of networks perspective. During the process of globalization bilateral trade agreements have received rising attention among policy makers and have been negotiated at an increasing pace. Here, we develop a framework to analyze and quantify impacts of these agreements on the involved economies. A further question that we address is to what extent trade can be regarded as a mediator of demand and supply spillovers to other industries. Finally, we look into trade networks at the scale of individual business firms and describe the role of nodes with a focus on 3-node motifs. Although all new methods and measures introduced in this thesis are motivated by questions in the context of trade, the methodological concepts are widely applicable to complex networks of other research disciplines.

Unter dem Evolutionsprozeß eines Objekts, das aus einer gegebenen Klasse zufällig ausgewählt wird, versteht man das folgende Gedankenexperiment. Zu einem geeigneten Parameter der Objekte der Klasse betrachtet man die Teilklasse derjenigen Objekte, bei denen dieser Parameter einen bestimmten Wert x annimmt. Dadurch stellen sich die folgenden Fragen: Wie sieht ein typisches Objekt dieser Teilklasse aus? Wieviele Objekte gibt es in der Teilklasse? Und: Wie verändern sich die Antworten auf die ersten beiden Fragen, wenn sich x verändert? Die vorliegende Dissertation behandelt Phasenübergänge im Evolutionsprozeß teilweiser Ordnungen und bestimmt die Anzahl teilweiser Ordnungen mit einer gegebenen Anzahl vergleichbarer Paare. Wir bezeichnen durch Pn,d die Klasse aller teilweisen Ordnungen mit n Punkten und dn2 vergleichbaren Paaren. 1978 bestimmte Dhar |Pn,d| im Intervall 1/8 < d < 3/16 und zeigte, daß hier eine typische Ordnung aus drei "Ebenen" besteht. 1979 bestimmten Kleitman und Rothschild |Pn,d| im Intervall 0 < d < 1/8 und zeigten, daß hier eine typische Ordnung aus zwei Ebenen besteht, also bipartit ist. Das Hauptergebnis der Dissertation ist es, ein vollständiges Bild des Evolutionsprozesses zu geben. Wir bestimmen |Pn,d| im gesamten Intervall 0 < d < 1/2 und zeigen, daß es unendlich viele Phasenübergänge gibt. Abschließend beschreiben wir, wie sich die Struktur einer typischen Ordnung während dieser Phasen verändert. / The evolution process of a random structure from a certain class denotes the following "experiment". Choose a parameter of the objects in the class under consideration and consider only the subclass of those objects where the parameter is equal to a fixed value x. Then the following questions arise quite naturally: What does a typical object from this subclass look like? How many objects are there in this subclass? And how do the answers to the first two questions change when x changes? This thesis investigates the phase transitions in the evolution of partially ordered sets and determines the number of partially ordered sets with a given number of comparable pairs. Denote by Pn,d the class of all n-point posets with dn2 comparable pairs. In 1978, Dhar determined |Pn,d| in the range 1/8 < d < 3/16 and showed that here a typical poset consists of three layers. In 1979, Kleitman and Rothschild determined |Pn,d| in the range 0 < d < 1/8 and showed that here a typical poset consists of two layers, i.e. it is bipartite. The main result of this thesis is to complete the picture by describing the whole evolution process of Pn,d in the range 0 < d < 1/2. We determine |Pn,d| for any d and show that there exist an infinite number of phase transitions. Finally we describe how the structure of a typical partially ordered set changes during these phases.

Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Untersuchung einer Klasse von Diskretisierungsmethoden für nichtlineare optimale Steuerungsprobleme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und Steuerungsbeschränkung sowie die Durchführung von numerischen Experimente. Die theoretischen Untersuchungen basieren aus einem gekoppeltes Parametrisierungs-Diskretisierungsschema aus stückweise polinomialen Ansatz für die Steuerung und einen Runge-Kutta-Verfahren zur Integration der Zustands-Differentialgleichung. Die Konvergenzordnung der Lösung wird unter Regularitätsbedingung und Optimalitätsbedingung 2.Ordnung ermittelt. Außerdem wird eine Möglichkeit zur numerischen Berechnung der Gradienten über internen numerischen Differentiation erläutert. Schließlich werden einige numerischen Resultate gegeben und die Abhängigkeiten zur den theoretischen Konvergenzresultate diskutiert. / The focal point of this work is the investigation of a class of discretization methods for nonlinear optimal control problems governed by ordinary differential equations with control restrictions, as well as the implementation of some numerical experiments. The theoretical investigations are based on a coupledparameterization-discretization pattern, a piecewise linear parameterization representation of the control, and the application of a Runge Kutta method for the integration of the differential state equation. The rate of convergence of the solution is obtained with the help of regularity conditions and the second order optimality conditions. Furthermore, we also present in this paper a possibility of the numerical computation of the gradients via numerical differentiation. Finally some numerical results are given and their relationship to the theoretical convergence results are discussed.

Beim Graphisomorphieproblem geht es um die Frage, ob zwei Graphen bis auf Knotenumbenennungen die gleiche Struktur haben. Es ist eines der wenigen verbleibenden natürlichen Probleme, für die weder ein Polynomialzeitalgorithmus noch NP-Härte bekannt ist. Aus dieser Situation ist ein Forschungszweig erwachsen, der effiziente Isomorphiealgorithmen für eingeschränkte Graphklassen entwickelt. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht in Logspace-Algorithmen, die das Isomorphieproblem für k-Bäume, Intervallgraphen, sowie Helly- und Proper-Kreisbogengraphen lösen. Dies verbessert zuvor bekannte parallele Algorithmen und führt zu einer vollständigen Klassifikation der Komplexität dieser Probleme, da für sie auch Logspace-Härte nachgewiesen wird. Tatsächlich leisten die vorgestellten Algorithmen mehr: Im Fall der k-Bäume berechnet der Algorithmus kanonische Knotenbenennungen mit O(k log n) Platz. Eine alternative Implementation des Algorithmus kommt mit O((k+1)!n) Zeit aus – hierbei ist n die Anzahl der Knoten – und ist damit der schnellste bekannte FPT-Algorithmus für Isomorphie von k-Bäumen. Die Algorithmen für Intervall- und Kreisbogengraphen berechnen kanonische Repräsentationen – das heißt, sie weisen jedem Knoten ein Intervall (beziehungsweise einen Kreisbogen) zu, sodass diese sich genau dann schneiden, wenn die zugehörigen Knoten benachbart sind, und isomorphe Eingabegraphen das gleiche Intervallmodell (beziehungsweise Kreisbogenmodell) erhalten. Außerdem werden auch Logspace-Algorithmen angegeben, die Intervallrepräsentationen mit zusätzlichen Eigenschaften berechnen – oder erkennen, dass dies nicht möglich ist: Für die resultierenden Intervallmodelle kann gefordert werden, dass sie proper sind (also kein Intervall ein anderes enthält), dass sie unit sind (also alle Intervalle die gleiche Länge haben) oder dass die Längen der paarweisen Schnitte (und optional der einzelnen Intervalle) vorgegebenen Werten entsprechen. / The graph isomorphism problem deals with the question if two graphs have the same structure up to renaming their vertices. It is one of the few remaining natural problems for which neither a polynomial-time algorithm nor NP-hardness is known. This situation has led to a branch of research that develops efficient algorithms for special cases of the graph isomorphism problem, where the input graphs are required to be from restricted graph classes. The main contribution of this thesis comprises of logspace algorithms that solve the isomorphism problem for k-trees, interval graphs, Helly circular-arc graphs and proper circular-arc graphs. This improves previously known parallel algorithms and leads to a complete classification of the complexity of these problems, as they are also shown to be hard for logspace. In fact, these algorithms achieve more: In the case of k-trees, the algorithm computes canonical labelings in space O(k log n). An alternative implementation runs in time O((k+1)!n), where n is the number of vertices, yielding the fastest known FPT algorithm for k-tree isomorphism. The algorithms for interval and circular-arc graphs actually compute canonical representations, i.e., each vertex is assigned an interval (or arc) such that these intersect each other if and only if the corresponding vertices are adjacent, and isomorphic input graphs receive the same interval (or arc) model. This thesis also presents logspace algorithms that compute interval representations with additional properties, or detect that this is not possible: The resulting interval models can be required to be proper (no interval contains another), unit (all intervals have the same length), or to satisfy prescribed lengths for pairwise intersections (and possibly prescribed lengths of intervals).

In dieser Arbeit wird zuerst das Theorem von Chung, Graham und Wilson über quasi-zufällige Graphen zur sogenannten schwachen Quasi-Zufälligkeit für k-uniforme Hypergraphen verallgemeinert und somit eine Reihe äquivalenter Eigenschaften bestimmt. Basierend auf diesen Resultaten werden nichtbipartite Graphen gefunden, welche die Quasi-Zufälligkeit für Graphen ``forcieren''''. Zuvor waren nur bipartite Graphen mit dieser Eigenschaft bekannt. Desweiteren ist ein konzeptionell einfacher Algorithmus zum Verifizieren nicht erfüllbarer zufälliger k-SAT Formeln angegeben. Dann richtet sich der Fokus auf Anwendungen verschiedener Regularitätslemmata für Hypergraphen. Zuerst wird die Menge aller bezeichneten 3-uniformen Hypergraphen auf n Knoten, die keine Kopie des Hypergraphen der Fano Ebene enthalten, studiert. Es wird gezeigt, dass fast jedes Element aus dieser Menge ein bipartiter Hypergraph ist. Dies führt zu einem Algorithmus, der in polynomiell erwarteter Zeit einen zufälligen Fano-freien (und somit einen zufälligen bipartiten 3-uniformen) Hypergraphen richtig färbt. Schließlich wird die folgende extremale Funktion studiert. Es sind r Farben gegeben sowie ein k-uniformer Hypergraph F. Auf wie viele verschiedene Arten kann man die Kanten eines k-uniformen Hypergraphen H färben, so dass keine monochromatische Kopie von F entsteht? Welche Hypergraphen H maximieren die Anzahl erlaubter Kantenfärbungen? Hier wird ein strukturelles Resultat für eine natürliche Klasse von Hypergraphen bewiesen. Es wird für viele Hypergraphen F, deren extremaler Hypergraph bekannt ist, gezeigt, dass im Falle von zwei oder drei Farben die extremalen Hypergraphen die oben beschriebene Funktion maximieren, während für vier oder mehr Farben andere Hypergraphen mehr Kantenfärbungen zulassen. / This thesis presents first one possible generalization of the result of Chung, Graham and Wilson to k-uniform hypergraphs, and studies the so-called weak quasi-randomness. As applications we obtain a simple strong refutation algorithm for random sparse k-SAT formulas and we identify first non-bipartite forcing pairs for quasi-random graphs. Our focus then shifts from the study of quasi-random objects to applications of different versions of the hypergraph regularity lemmas; all these versions assert decompositions of hypergraphs into constantly many quasi-random parts, where the meaning of ``quasi-random'''' takes different contexts in different situations. We study the family of hypergraphs not containing the hypergraph of the Fano plane as a subhypergraph, and show that almost all members of this family are bipartite. As a consequence an algorithm for coloring bipartite 3-uniform hypergraphs with average polynomial running time is given. Then the following combinatorial extremal problem is considered. Suppose one is given r colors and a fixed hypergraph F. The question is: In at most how many ways can one color the hyperedges of a hypergraph H on n vertices such that no monochromatic copy of F is created? What are the extremal hypergraphs for this function? Here a structural result for a natural family of hypergraphs F is proven. For some special classes of hypergraphs we show that their extremal hypergraphs (for large n) maximize the number of edge colorings for 2 and 3 colors, while for at least 4 colors other hypergraphs are optimal.

Die vorliegende Dissertation besteht aus zwei Teilen, deren gemeinsames Thema in der Frage besteht, wie mächtig Zufall als Berechnungsressource ist. Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit zufälligen Strukturen, die -- mit hoher Wahrscheinlichkeit -- Eigenschaften haben können, die von Computeralgorithmen genutzt werden können. In zwei konkreten Fällen geben wir bis dahin unbekannte deterministische Konstruktionen solcher Strukturen: Wir derandomisieren eine randomisierte Reduktion von Alekhnovich und Razborov, indem wir bestimmte unbalancierte bipartite Expandergraphen konstruieren, und wir geben eine Reduktion von einem Problem über bipartite Graphen auf das Problem, den minmax-Wert in Dreipersonenspielen zu berechnen. Im zweiten Teil untersuchen wir die Ausdrucksstärke verschiedener Logiken, wenn sie durch zufällige Relationssymbole angereichert werden. Unser Ziel ist es, Techniken aus der deskriptiven Komplexitätstheorie für die Untersuchung randomisierter Komplexitätsklassen nutzbar zu machen, und tatsächlich können wir zeigen, dass unsere randomisierten Logiken randomisierte Komlexitätsklassen einfangen, die in der Komplexitätstheorie untersucht werden. Unter Benutzung starker Ergebnisse über die Logik erster Stufe und die Berechnungsstärke von Schaltkreisen beschränkter Tiefe geben wir sowohl positive als auch negative Derandomisierungsergebnisse für unsere Logiken. Auf der negativen Seite zeigen wir, dass randomisierte erststufige Logik gegenüber normaler erststufiger Logik an Ausdrucksstärke gewinnt, sogar auf Strukturen mit einer eingebauten Additionsrelation. Außerdem ist sie nicht auf geordneten Strukturen in monadischer zweitstufiger Logik enthalten, und auch nicht in infinitärer Zähllogik auf beliebigen Strukturen. Auf der positiven Seite zeigen wir, dass randomisierte erststufige Logik auf Strukturen mit einem unären Vokabular derandomisiert werden kann und auf additiven Strukturen in monadischer Logik zweiter Stufe enthalten ist. / This thesis is comprised of two main parts whose common theme is the question of how powerful randomness as a computational resource is. In the first part we deal with random structures which possess -- with high probability -- properties than can be exploited by computer algorithms. We then give two new deterministic constructions for such structures: We derandomise a randomised reduction due to Alekhnovich and Razborov by constructing certain unbalanced bipartite expander graphs, and we give a reduction from a problem concerning bipartite graphs to the problem of computing the minmax-value in three-player games. In the second part we study the expressive power of various logics when they are enriched by random relation symbols. Our goal is to bridge techniques from descriptive complexity with the study of randomised complexity classes, and indeed we show that our randomised logics do capture complexity classes under study in complexity theory. Using strong results on the expressive power of first-order logic and the computational power of bounded-depth circuits, we give both positive and negative derandomisation results for our logics. On the negative side, we show that randomised first-order logic gains expressive power over standard first-order logic even on structures with a built-in addition relation. Furthermore, it is not contained in monadic second-order logic on ordered structures, nor in infinitary counting logic on arbitrary structures. On the positive side, we show that randomised first-order logic can be derandomised on structures with a unary vocabulary and is contained in monadic second-order logic on additive structures.

In der klassischen Komplexitätstheorie werden worst-case Laufzeiten von Algorithmen typischerweise einzig abhängig von der Eingabegröße angegeben. In dem Kontext der parametrisierten Komplexitätstheorie versucht man die Analyse der Laufzeit dahingehend zu verfeinern, dass man zusätzlich zu der Eingabengröße noch einen Parameter berücksichtigt, welcher angibt, wie strukturiert die Eingabe bezüglich einer gewissen Eigenschaft ist. Ein parametrisierter Algorithmus nutzt dann diese beschriebene Struktur aus und erreicht so eine Laufzeit, welche schneller ist als die eines besten unparametrisierten Algorithmus, falls der Parameter klein ist. Der erste Hauptteil dieser Arbeit führt die Forschung in diese Richtung weiter aus und untersucht den Einfluss von verschieden Parametern auf die Laufzeit von bekannten effizient lösbaren Problemen. Einige vorgestellte Algorithmen sind dabei adaptive Algorithmen, was bedeutet, dass die Laufzeit von diesen Algorithmen mit der Laufzeit des besten unparametrisierten Algorithm für den größtmöglichen Parameterwert übereinstimmt und damit theoretisch niemals schlechter als die besten unparametrisierten Algorithmen und übertreffen diese bereits für leicht nichttriviale Parameterwerte. Motiviert durch den allgemeinen Erfolg und der Vielzahl solcher parametrisierten Algorithmen, welche eine vielzahl verschiedener Strukturen ausnutzen, untersuchen wir im zweiten Hauptteil dieser Arbeit, wie man solche unterschiedliche homogene Strukturen zu mehr heterogenen Strukturen vereinen kann. Ausgehend von algebraischen Ausdrücken, welche benutzt werden können, um von Parametern beschriebene Strukturen zu definieren, charakterisieren wir klar und robust heterogene Strukturen und zeigen exemplarisch, wie sich die Parameter tree-depth und modular-width heterogen verbinden lassen. Wir beschreiben dazu effiziente Algorithmen auf heterogenen Strukturen mit Laufzeiten, welche im Spezialfall mit den homogenen Algorithmen übereinstimmen. / In classical complexity theory, the worst-case running times of algorithms depend solely on the size of the input. In parameterized complexity the goal is to refine the analysis of the running time of an algorithm by additionally considering a parameter that measures some kind of structure in the input. A parameterized algorithm then utilizes the structure described by the parameter and achieves a running time that is faster than the best general (unparameterized) algorithm for instances of low parameter value. In the first part of this thesis, we carry forward in this direction and investigate the influence of several parameters on the running times of well-known tractable problems. Several presented algorithms are adaptive algorithms, meaning that they match the running time of a best unparameterized algorithm for worst-case parameter values. Thus, an adaptive parameterized algorithm is asymptotically never worse than the best unparameterized algorithm, while it outperforms the best general algorithm already for slightly non-trivial parameter values. As illustrated in the first part of this thesis, for many problems there exist efficient parameterized algorithms regarding multiple parameters, each describing a different kind of structure. In the second part of this thesis, we explore how to combine such homogeneous structures to more general and heterogeneous structures. Using algebraic expressions, we define new combined graph classes of heterogeneous structure in a clean and robust way, and we showcase this for the heterogeneous merge of the parameters tree-depth and modular-width, by presenting parameterized algorithms on such heterogeneous graph classes and getting running times that match the homogeneous cases throughout.