La thèse consiste de deux parties. Dans la première partie, on montre la pureté des fibres de Springer affines pour $\gl_{4}$ dans le cas non-ramifié. Plus précisément, on construit une famille de pavages non standard en espaces affines de la grassmannienne affine, qui induisent des pavages en espaces affines de la fibre de Springer affine. Dans la deuxième partie, on introduit une notion de $\xi$-stabilité sur la grassmannienne affine $\xx$ pour le groupe $\gl_{d}$, et on calcule le polynôme de Poincaré du quotient $\xx^{\xi}/T$ de la partie $\xi$-stable $\xxs$ par le tore maximal $T$ par une processus analogue de la réduction de Harder-Narasimhan.

Dans cette thèse, nous montrons que le groupe de K-théorie $K_0$ de la $C^*$-algèbre associée aux pavages de type pinwheel est isomorphe à la somme de $\ZZ \oplus \ZZ^6$ et d'un groupe cohomologique $H$.\\ Cette $C^*$-algèbre est de plus munie d'une trace qui induit une application linéaire sur ce groupe de $K$-théorie.\\ Nous calculons explicitement l'image, sous cette application, du sommant $\ZZ \oplus \ZZ^6$, montrant que l'image de $\ZZ$ est nulle et que l'image de $\ZZ^6$ est contenue dans le module de fréquences des patchs du pavage de type pinwheel.\\ Nous montrons également que l'on peut appliquer le théorème de l'indice mesuré dû à A. Connes pour relier l'image de $H$ à une formule cohomologique plus calculable.\\ Pour l'étude de cette partie cohomologique, nous adaptons la cohomologie PV, introduite par J. Savinien et J. Bellissard, au cas des pavages de type pinwheel pour montrer que le groupe de cohomologie de \v{C}ech de dimension maximale de ces pavages est isomorphe au groupe des coinvariants entiers de la transversale canonique associée à ces pavages.\\ Ce résultat nous permet alors de prouver la conjecture du gap-labeling fait par J. Bellissard, dans le cas particulier des pavages de type pinwheel.\\ Nous terminons cette étude par un calcul explicite, montrant que le gap-labeling (ou module de fréquences des patchs) est donné par $\frac{1}{264}\ZZ \left [ \frac{1}{5} \right ]$.

Dans cette thèse nous étudions deux types de pavages : des pavages par une paire de carres et des pavages sur le réseau tri-hexagonal (Kagome). Nous considérons différents problèmes combinatoires et probabilistes. Nous commençons par le cas des carres 1x1 et 2x2 sur des bandes infinies de hauteur k et obtenons des résultats sur la proportion moyenne des carres 1x1 pour les cas planaire et cylindrique pour k < 11. Nous considérons également des questions échantillonnage et comptage approximatif. Pour obtenir un échantillon aléatoire nous définissons des chaines de Markov pour les pavages par des carres et sur le réseau Kagome. Nous montrons des bornes polynomiales pour le temps de mélange pour les pavages par des carres 1x1 et sxs des régions n log net les pavages Kagome des régions en forme de losange. Nous considérons aussi des chaines de Markov avec des poids w sur les tuiles. Nous montrons le mélange rapide avec des conditions spécifiques sur w pour les pavages par des carres 1x1 et sxs et pavages Kagome. Nous présentons des simulations qui suggèrent plusieurs conjectures, notamment l'existence des régions gelées pour les pavages aléatoires par des carres et sur le réseau Kagome des régions avec des bords non plats. / In this thesis we study two types of tilings : tilings by a pair of squares and tilings on the tri-hexagonal (Kagome) lattice. We consider different combinatorial and probabilistic problems. First, we study the case of 1x1 and 2x2 squares on infinite stripes of height k and get combinatorial results on proportions of 1x1 squares for k < 11 in plain and cylindrical cases. We generalize the problem for bigger squares. We consider questions about sampling and approximate counting. In order to get a random sample, we define Markov chains for square and Kagome tilings. We show ergodicity and find polynomial bounds on the mixing time for nxlog n regions in the case of tilings by 1x1 and sxs squares and for lozenge regions in the case of restrained Kagome tilings. We also consider weighted Markov chains where weights are put on the tiles. We show rapid mixing with conditions on for square tilings by 1x1 and sxs squares and for Kagome tilings. We provide simulations that suggest different conjectures, one of which existence of frozen regions in random tilings by squares and on the Kagome lattice of regions with non flat boundaries.

L'objet de cette thèse est l'étude des codes LDPC quantiques. Dans un premier temps, nous travaillons sur des constructions topologiques de codes LDPC quantiques. Nous proposons de construire une famille de codes couleur basée sur des pavages hyperboliques. Nous étudions ensuite les paramètres d'une famille de codes basée sur des graphes de Cayley.Dans une seconde partie, nous examinons les performances de ces codes. Nous obtenons une borne supérieure sur les performances des codes LDPC quantiques réguliers sur le canal à effacement quantique. Ceci prouve que ces codes n'atteignent pas la capacité du canal à effacement quantique. Dans le cas du canal de dépolarisation, nous proposons un nouvel algorithme de décodage des codes couleur basé sur trois décodages de codes de surface. Nos simulations numériques montrent de bonnes performances dans le cas des codes couleur toriques.Pour finir, nous nous intéressons au phénomène de percolation. La question centrale de la théorie de la percolation est la détermination du seuil critique. Le calcul exacte de ce seuil est généralement difficile. Nous relions la probabilité de percolation dans certains pavages réguliers du plan hyperbolique à la probabilité d'erreur de décodage pour une famille de codes hyperboliques. Nous en déduisons une borne sur le seuil critique de ces pavages hyperboliques basée sur des résultats de théorie de l'information quantique. Il s'agit d'une application de la théorie de l'information quantique à un problème purement combinatoire. / This thesis is devoted to the study of quantum LDPC codes. The first part presents some topological constructions of quantum LDPC codes. We introduce a family of color codes based on tilings of the hyperbolic plane. We study the parameters of a family of codes based on Cayley graphs.In a second part, we analyze the performance of these codes. We obtain an upper bound on the performance of regular quantum LDPC codes over the quantum erasure channel. This implies that these codes don't achieve the capacity of the quantum erasure channel. In the case of the depolarizing channel, we propose a new decoding algorithm of color codes based on three surface codes decoding. Our numerical results show good performance for toric color codes.Finally, we focus on percolation theory. The central question in percolation theory is the determination of the critical probability. Computing the critical probability exactly is usually quite difficult. We relate the probability of percolation in some regular tilings of the hyperbolic plane to the probability of a decoding error for hyperbolic codes on the quantum erasure channel. This leads to an upper bound on the critical probability of these hyperbolic tilings based on quantum information. It is an application of quantum information to a purely combinatorial problem.

Le processus d'érosion éolienne peut entraîner plusieurs conséquences environnementales: la désertification, la dégradation des sols, la pollution de l'air, etc. Cette dernière est liée aux émissions de particules de matériaux granulaires couramment trouvés sur des sites industriels tels que le minerai et le charbon. La distribution granulométrique de ces matériaux consiste habituellement en un mélange d'une large gamme de diamètres, qui comprennent des particules plus grosses qui ne sont pas érodables même avec de fortes rafales de vent. Les particules non érodables jouent un rôle protecteur pour les particules érodables, en recouvrant la surface et en réduisant ses émissions. L'objectif principal de cette thèse est d'estimer plus précisément les émissions dues à l'érosion éolienne compte tenu de l'influence du pavage causée par des particules non érodables. Un modèle analytique a été proposé pour quantifier les émissions des lits de particules et des tas de stockage avec une large distribution granulométrique. Les effets du processus de pavage sont incorporés dans le modèle par la diminution de la vitesse de frottement moyenne sur la surface érodable puisque les particules non érodables s'accumulent. Des travaux antérieurs ont défini une relation mathématique entre l'évolution de la vitesse de frottement sur la surface érodable et la géométrie des éléments de rugosité. Néanmoins, l’equation n'est valable que pour des taux de couverture de particules non érodables limités. Des simulations numériques ont été effectuées dans ce travail pour étendre cette relation afin d'inclure d'autres cas rencontrés dans des situations réelles (avec de plus grandes quantités de particules non érodables). Le modèle d'émission proposé décrit la relation entre la valeur minimale de la vitesse de frottement (à laquelle les émissions cessent), en tirant parti des résultats numériques, et la profondeur finale érodée du lit, qui fournit à son tour la masse émise. Des expériences en soufflerie ont été réalisées afin de mieux comprendre le phénomène de pavage et estimer les émissions d'un lit de particules contenant une distribution de taille bimodale. Les résultats expérimentaux ont également été utilisés pour valider la modélisation, y compris la masse émise globale et les caractéristiques finales de la surface du lit. Un bon accord a été trouvé entre les résultats expérimentaux et modélisés pour les émissions globales et la profondeur de lit érodé. Le modèle d'érosion a été étendu pour l'application dans les tas de stockage. Dans ce cas, l'érodabilité des particules est plus complexe, puisque la vitesse de frottement et les conditions de seuil ne sont pas spatialement homogènes. L'idée du modèle était de subdiviser le tas en isosurfaces dans lesquelles les conditions de seuil et la vitesse de frottement sont constantes, et traiter chacune de ces zones comme une source différente où le modèle d'émission peut être appliqué. Des expériences en soufflerie ont été réalisées afin d'estimer les émissions d'un tas de sable contenant une distribution de taille bimodale. Les résultats modélisés et expérimentaux ont été comparés pour la configuration d'un tas isolé et un bon accord a été trouvé entre la masse émise estimée et mesurée. L'impact de la présence d'un bâtiment et d'un tas de stockage parallèle successif sur l'émission globale de particules a également été évalué. Des expériences en soufflerie et des simulations numériques ont été effectuées pour plusieurs configurations, en évaluant les effets de: (i) l'orientation du vent, (ii) la vitesse du vent, (iii) la distance entre l'obstacles et (iv) la quantité de particules non érodables. Il a été constaté que les interférences de l'écoulement entre les obstacles augmentent les émissions. Par conséquent, toutes les perturbations du vent ont un impact significatif et doivent être prises en compte dans l'estimation et la modélisation des émissions de poussières. / Wind erosion process can lead to several environmental consequences: desertification, land degradation, air pollution, etc. This last one is related to particulate matter emissions from granular materials commonly found on industrial sites, such as ore and coal. The particle size distribution of these granular materials usually consist of a mixture of a wide range of diameters, which include larger particles that are non-erodible even with strong gusts of wind. The non-erodible particles play a protective role for erodible particles, paving the surface and reducing emissions. The main objective of this thesis is to estimate more accurately emissions due to wind erosion considering the influence of the pavement caused by non-erodible particles. An analytical model was proposed to quantify emissions from particle beds and stockpiles with a wide size distribution. The effects of pavement process are incorporated in the model through the decrease of the mean friction velocity on the erodible surface as the non-erodible particles accumulate. Previous works have defined a mathematical relation between the evolution of the friction velocity over the erodible surface and the geometry of the roughness elements. Nonetheless, the formulation was only valid to limited cover rates of non-erodible particles. Numerical simulations were carried out in this work to extend the formulation in order to include other cases encountered in real situations (with larger amounts of non-erodible particles). The proposed emission model describes the relationship between the minimum value of friction velocity (at which emissions cease), taking advantage of the numerical findings, and the final eroded depth of the bed, which in turn, provides the emitted mass. Wind tunnel experiments were carried out in order to better understand the pavement phenomenon and estimate emissions from a bed of particles containing a bimodal size distribution. The experimental results were also used to validate the modeling, including the global emitted mass and the final characteristics of the bed surface. A good agreement was found between experimental and modeled results for the global emissions and the bed eroded depth. The erosion model was extended for application in stockpiles. In this case, the erodibility of the particles is more complex as the friction velocity and the threshold conditions are not spatially homogeneous. The idea of the model was to subdivide the pile in isosurfaces in which the threshold conditions and the friction velocity are constant and then treat each one of these areas as a different source where the emission model can be applied. Wind tunnel experiments were carried out in order to estimate emissions from a sand pile containing a bimodal size distribution. The modeled and the experimental results were compared for the configuration of an isolated stockpile and a good agreement was found between the estimated and the measured emitted mass. The impact of the presence of a building and a successive parallel stockpiles on the overall particles emission was also evaluated. Wind tunnel experiments and numerical simulations were carried out for several configurations evaluating the effects of: (i) main wind flow orientation, (ii) wind flow velocity, (iii) gap between the obstacle and (iv) amount of non-erodible particles. It was found that the flow interferences between the obstacles increase emissions. Therefore, all wind perturbations have a significant impact and have to be accounted in dust emission estimation and modeling. / O processo de erosão eólica pode levar a várias consequências ambientais: desertificação, degradação da terra, poluição do ar, etc. Esta última está relacionada com as emissões de partículas provenientes de materiais granulares comumente encontrados em indústrias, como minério e carvão. A distribuição granulométrica destes materiais normalmente consiste em uma mistura com uma ampla gama de tamanhos, incluindo partículas maiores que não são erodíveis mesmo com fortes rajadas de vento. As partículas não erodíveis desempenham um papel protetor para as partículas erodíveis, pavimentando a superfície e reduzindo as emissões. O objetivo principal desta tese é estimar com maior acurácia as emissões devidas à erosão eólica considerando a influência da pavimentação causada pelas partículas não-erodíveis. Um modelo analítico foi proposto para quantificar as emissões de leitos de partículas e pilhas com ampla distribuição granulométrica. Os efeitos do processo da pavimentação são incorporados no modelo por meio da diminuição da velocidade de fricção média na superfície erodível à medida que as partículas nãoerodíveis se acumulam. Trabalhos anteriores definiram uma relação matemática entre a evolução da velocidade de fricção na superfície erodível e a geometria dos elementos rugosos. No entanto, a formulação é válida apenas para limitadas taxas de cobertura de partículas não-erodíveis (< 12%). Simulações numéricas foram realizadas neste trabalho para estender a formulação de modo a incluir outros casos encontrados em situações reais (com maiores quantidades de partículas nãoerodíveis). O modelo de emissão proposto descreve a relação entre o valor mínimo da velocidade de fricção (para qual as emissões cessam), utilizando os resultados numéricos, e a profundidade final erodida do leito, que, por sua vez, fornece a massa emitida. Experimentos em túnel de vento foram realizados para melhor compreender o fenômeno da pavimentação e estimar as emissões de um leito de partículas contendo uma distribuição granulométrica bimodal. Os resultados experimentais foram também utilizados para validar a modelagem, incluindo a massa global emitida e as características finais da superfície do leito. Uma boa concordância foi encontrada entre os resultados experimentais e modelados para as emissões globais e a profundidade erodida do leito. O modelo de erosão foi estendido para aplicação em pilhas de estocagem. Neste caso, a erodibilidade das partículas é mais complexa, uma vez que a velocidade de fricção e as condições de limiar não são espacialmente homogêneas. A ideia do modelo é subdividir a pilha em isosuperfícies em que as condições de limiar e a velocidade de fricção são constantes e, em seguida, tratar cada uma dessas áreas como uma fonte diferente onde o modelo de emissão pode ser aplicado. Foram realizados ensaios experimentais em túnel de vento para estimar as emissões de uma pilha de areia contendo uma distribuição de tamanho bimodal. Os resultados experimentais e modelados foram comparados para a configuração de uma pilha isolada (orientada 60 e 90° em relação a direção do escoamento) e uma boa concordância foi encontrada entre a massa estimada e a emitida. O impacto na emissão da presença de um edifício e de uma pilha de estocagem sucessiva também foi avaliado. Experimentos em túnel de vento e simulações numéricas foram realizados para várias configurações avaliando os efeitos de: (i) orientação do vento, (ii) velocidade do vento, (iii) espaçamento entre os obstáculos e (iv) quantidade de partículas não erodíveis. Verificou-se que as interferências do escoamento entre os obstáculos aumentam as emissões. Portanto, todas as perturbações no escoamento têm um impacto significativo e devem ser contabilizadas na estimativa e modelagem de emissões de partículas.

Ce mémoire de thèse est une contribution à l'étude des canons modulo p. De nombreux outils mathématiques et informatiques ont été employés pour l'étude des canons rythmiques mosaïques. La recherche récente s'est particulièrement attachée à trouver les canons sans périodicité interne, dits de Vuza. Ces canons ont la particularité d'être une base pour la construction de tous les canons rythmiques mosaïques, cependant ils sont très difficiles à obtenir. La meilleure méthode actuellement est un algorithme exhaustif de recherche, qui malgré de récentes améliorations reste exponentiel. Plusieurs techniques ont été utilisées dans l'espoir de mieux les comprendre ou de les générer plus rapidement. Ce mémoire présente donc un nouveau sujet d'étude pour mieux comprendre le pavage apériodique. / This thesis is a contribution to the study of modulo p tiling. Many mathematical and computational tools were used for the study of rhythmic tiling canons. Recent research has mainly focused in finding tiling without inner periodicity, being called Vuza canons. Those canons are a constructive basis for all rhythmic tiling canons, however, they are really difficult to obtain. Best current method is a brut force exploration that, despite a few recent enhancements, is exponential. Many technics have been used, hoping to understand Vuza canons better or to generate them faster. Hence, this thesis presents a completely new way to study aperiodic tiling.

Demonstration videos can be found on fr.linkedin.com/in/doriangomez/ / Cette thèse porte sur la modélisation procédurale de mondes virtuels étendus dans le domaine de l’informatique graphique. Nous proposons d’exploiter les propriétés de visibilité entre régions élémentaires de la scène, que nous appelons tuiles, pour contrôler sa construction par pavage rectangulaire. Deux objectifs distincts sont visés par nos travaux : (1) fournir aux infographistes un moyen efficace pour générer du contenu 3D pour ces scènes virtuelles de très grande taille, et (2) garantir, dès la création du monde, des performances de rendu et de visualisation efficace. Pour cela, nous proposons plusieurs méthodes de détermination de la visibilité en 2D et en 3D. Ces méthodes permettent l’évaluation d’ensembles potentiellement visibles (PVS) en temps interactif ou en temps réel. Elles sont basées sur les calculs de lignes séparatrices et de lignes de support des objets, mais aussi sur l’organisation hiérarchique des objets associés aux tuiles. La première technique (2D) garantit l’occultation complète du champ visuel à partir d’une distance fixe, spécifiée par le concepteur de la scène, depuis n’importe quel endroit sur le pavage. La seconde permet d’estimer et de localiser les tuiles où se propage la visibilité, et de construire le monde en conséquence. Afin de pouvoir générer des mondes variés, nous présentons ensuite l’extension de cette dernière méthode à la 3D. Enfin, nous proposons deux méthodes d’optimisation du placement des objets sur les tuiles permettant d’améliorer leurs propriétés d’occultation et leurs impacts sur les performances de rendu tout en conservant l’atmosphère créée par l’infographiste par ses choix de placement initiaux. / This thesis deals with procedural modeling applied to extended worlds for computer graphics.We study visibility applied to tiling patterns, aiming at two distinct objectives : (1) providing artists with efficient tools to generate 3D content for very extended virtual scenes, and (2) guaranteeing that this content improves performance of subsequent renderings, during its construction. We propose several methods for 2D and 3D visibility determination, in order to achieve interactive or real-time evaluation of potentially visible sets (PVS). They are based on the concepts of separating and supporting lines/planes, as well as objects hierarchies over tiles. Our first 2D method guarantees full occlusion of the visual field (view frustum) beyond a fixed distance, regardless of the observer’s location on a tiling. The second method enables fast estimation and localization of visible tiles, and builds up a virtual world accordingly. We also extend this method to 3D. Finally, we present two methods to optimize objects locations on tiles, and show how to improve rendering performance for scenes generated on the fly.

La thèse consiste de deux parties. Dans la première partie, on montre la pureté des fibres de Springer affines pour $\gl_{4}$ dans le cas non-ramifié. Plus précisément, on construit une famille de pavages non standard en espaces affines de la grassmannienne affine, qui induisent des pavages en espaces affines de la fibre de Springer affine. Dans la deuxième partie, on introduit une notion de $\xi$-stabilité sur la grassmannienne affine $\xx$ pour le groupe $\gl_{d}$, et on calcule le polynôme de Poincaré du quotient $\xx^{\xi}/T$ de la partie $\xi$-stable $\xxs$ par le tore maximal $T$ par une processus analogue de la réduction de Harder-Narasimhan. / This thesis consists of two parts. In the first part, we prove the purity of affine Springer fibers for $\gl_{4}$ in the unramified case. More precisely, we have constructed a family of non standard affine pavings for the affine grassmannian, which induce an affine paving for the affine Springer fiber. In the second part, we introduce a notion of $\xi$-stability on the affine grassmannian $\xx$ for the group $G=\gl_{d}$, and we calculate the Poincaré polynomial of the quotient $\xx^{\xi}/T$ of the stable part $\xxs$ by the maximal torus $T$ by a process analogue to the Harder-Narasimhan reduction.

Le pavage de Penrose est une structure quasipériodique bidimensionnelle, utilisée dans la description des composés quasicristallins. Cette structure est parfaitement ordonnée, avec une symétrie de rotation cinq et elle est invariante sous un changement d'échelle par un facteur $\tau$ (le nombre d'or). On s'attend à ce que les propriétés d'un modèle d'antiferromagnétisme dans un tel système diffèrent nettement de celles des antiferromagnétiques périodiques. Nous avons étudié les propriétés d'un modèle d'Heisenberg sur le pavage de Penrose construit à partir de losanges, en utilisant une méthode de développement en ondes de spin. Les énergies et fonctions d'ondes des magnons (quantum d'une onde des spins) ont été étudiées dans le cadre d'une théorie linéarisée. A basse énergie, on trouve une loi de dispersion linéaire, comme dans d'autres antiferromagnetiques bipartites, avec une vitesse effective de l'onde de spin inférieure à celle d'un réseau carré équivalent. Les propriétés spatiales des modes propres ont été étudiées en détail. A basse énergie, nous trouvons que les états propres sont relativement étendus. Une analyse multifractale montre qu'ils sont de type “critique”, ayant une distribution d'exposants multifractaux. Aux énergies plus élevées, les états deviennent plus localisés, et, en fonction de l'énergie, l'amplitude de la fonction d'onde est non-nulle autour d'un sous-ensemble de sites d'une valeur de coordinence donnée. <br /><br />L'énergie de l'état fondamental de cette antiferromagnetique, et la distribution des aimantations locales dans cet état ont été calculés. Des projections dans l'espace perpendiculaire montrent la simplicité sous-jacente de ce état "complexe". Un simple modèle analytique, l'étoile de Heisenberg à deux niveaux, a été présenté pour expliquer de la distribution d'aimantation locales dans ce système antiferromagnétique.<br /><br />Dans une dernière partie, les effets de désordre de type “phason” sont considérés. Nous avons progressivement augmenté le désordre géometrique de la structure originale. Nous avons trouvé que l'etat fondamental conserve son ordre de Néel, mais que la forme de la distribution ainsi que la norme des aimantations sont modifiés. Nous montrons, à l'aide d'un développement en ondes des spin ainsi que par Quantum Monte Carlo, que l'aimantation alternée diminue exponentiellement vers une valeur asymptote en fonction du désordre. La distribution spatiale de magnetizations locales devient plus homogène par rapport à pavage parfait. La vitesse des ondes des spin augmente avec le désordre, et les singularités dans le spectre et les functions d'onde sont en partie lissées. Ces résultats sont comparés avec des résultats connus dans des systèmes désordonnés.

Le détecteur interférométrique d'ondes gravitationnelles Virgo est en phase de mise au point, il devrait atteindre une sensibilité lui permettant de prendre des données scientifiques dès la deuxième moitié de l'année 2006. La préparation à l'analyse de ces données est en cours et le mémoire traite de plusieurs aspects :<br />- Un environnement d'analyse, VEGA, a été mis au point. Il permet à un utilisateur physicien d'accéder et de gérer les données provenant de Virgo, de développer un code d'analyse spécifique, de disposer d'outils de traitement du signal et de manipuler et visualiser des données dépendantes du temps. L'ensemble est intégré et basé sur ROOT.<br />- Un ensemble de pages web a été développé permettant l'affichage de données de contrôle en quasi temps-réel. Il tire parti de VEGA pour la création des graphiques.<br />- Un algorithme de tessellation d'un espace de paramètres a été développé dans le cadre des recherches de signaux provenant de la coalescence de binaires d'objets compacts (étoiles à neutrons ou trous noirs). Ces recherches utilisent communément des méthodes d'extraction de signal par filtrage optimal qui rendent nécessaire l'utilisation d'un grand nombre de calques (formes d'onde théoriques) dans un espace de paramètres. La tessellation de cet espace détermine les calques qui seront utilisés. Le mémoire traite également des performances de l'algorithme observées lors de son utilisation dans la collaboration Virgo, ainsi que ses possibles extensions.