Title: Modelling dependence between hydrological and meteorological variables measured on several stations Author: Bc. Marie Turčičová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Prof. RNDr. Daniela Jarušková CSc., Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mathematics Abstract: The aim of the thesis is to explore the dependence of daily discharge averages of the Opava river on high daily precipitation values in its basin. Three methods are presented that can be used for analyzing the dependence between high values of random variables. Their application on the studied data is also given. First it is the tail-dependence coefficient that measures the dependence between high values of two continuous random variables. The model for the high quantiles of the discharge at a given precipitation value was first determined non-parametrically by quantile regression and then parametrically through the peaks-over-threshold (POT) method. Keywords: extremal dependence, tail-dependence coefficient, quantile regression, peaks over threshold method

Le fonctionnement d'un système, de façon générale, peut être affecté par un incident imprévu. Lorsque cet incident a de lourdes conséquences tant sur l'intégrité du système que sur la qualité de ses produits, on dit alors qu'il se situe dans le cadre des événements dits extrêmes. Ainsi, de plus en plus les chercheurs portent un intérêt particulier à la modélisation des événements extrêmes pour diverses études telles que la fiabilité des systèmes et la prédiction des différents risques pouvant entraver le bon fonctionnement d'un système en général. C'est dans cette optique que s'inscrit la présente thèse. Nous utilisons la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) et les statistiques d'ordre extrême comme outil d'aide à la décision dans la modélisation et la gestion des risques dans l'usinage et l'aviation. Plus précisément, nous modélisons la surface de rugosité de pièces usinées et la fiabilité de l'outil de coupe associé par les statistiques d'ordre extrême. Nous avons aussi fait une modélisation à l'aide de l'approche dite du "Peaks-Over Threshold, POT" permettant de faire des prédictions sur les éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine (AGA) à la suite d'accidents extrêmes. Par ailleurs, la modélisation des systèmes soumis à des facteurs d'environnement ou covariables passent le plus souvent par les modèles à risque proportionnel basés sur la fonction de risque. Dans les modèles à risque proportionnel, la fonction de risque de base est généralement de type Weibull, qui est une fonction monotone; l'analyse du fonctionnement de certains systèmes comme l'outil de coupe dans l'industrie a montré qu'un système peut avoir un mauvais fonctionnement sur une phase et s'améliorer sur la phase suivante. De ce fait, des modifications ont été apportées à la distribution de Weibull afin d'avoir des fonctions de risque de base non monotones, plus particulièrement les fonctions de risque croissantes puis décroissantes. En dépit de ces modifications, la prise en compte des conditions d'opérations extrêmes et la surestimation des risques s'avèrent problématiques. Nous avons donc, à partir de la loi standard de Gumbel, proposé une fonction de risque de base croissante puis décroissante permettant de prendre en compte les conditions extrêmes d'opérations, puis établi les preuves mathématiques y afférant. En outre, un exemple d'application dans le domaine de l'industrie a été proposé. Cette thèse est divisée en quatre chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion générales. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Le deuxième chapitre s'intéresse aux concepts de base de l'analyse de survie, particulièrement à ceux relatifs à l'analyse de fiabilité, en proposant une fonction de risque croissante-décroissante dans le modèle à risques proportionnels. En ce qui concerne le troisième chapitre, il porte sur l'utilisation des statistiques d'ordre extrême dans l'usinage, notamment dans la détection de pièces défectueuses par lots, la fiabilité de l'outil de coupe et la modélisation des meilleures surfaces de rugosité. Le dernier chapitre porte sur la prédiction d'éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine à partir des données historiques en utilisant l'approche "Peaks-Over Threshold"

Le fonctionnement d'un système, de façon générale, peut être affecté par un incident imprévu. Lorsque cet incident a de lourdes conséquences tant sur l'intégrité du système que sur la qualité de ses produits, on dit alors qu'il se situe dans le cadre des événements dits extrêmes. Ainsi, de plus en plus les chercheurs portent un intérêt particulier à la modélisation des événements extrêmes pour diverses études telles que la fiabilité des systèmes et la prédiction des différents risques pouvant entraver le bon fonctionnement d'un système en général. C'est dans cette optique que s'inscrit la présente thèse. Nous utilisons la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) et les statistiques d'ordre extrême comme outil d'aide à la décision dans la modélisation et la gestion des risques dans l'usinage et l'aviation. Plus précisément, nous modélisons la surface de rugosité de pièces usinées et la fiabilité de l'outil de coupe associé par les statistiques d'ordre extrême. Nous avons aussi fait une modélisation à l'aide de l'approche dite du "Peaks-Over Threshold, POT" permettant de faire des prédictions sur les éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine (AGA) à la suite d'accidents extrêmes. Par ailleurs, la modélisation des systèmes soumis à des facteurs d'environnement ou covariables passent le plus souvent par les modèles à risque proportionnel basés sur la fonction de risque. Dans les modèles à risque proportionnel, la fonction de risque de base est généralement de type Weibull, qui est une fonction monotone; l'analyse du fonctionnement de certains systèmes comme l'outil de coupe dans l'industrie a montré qu'un système peut avoir un mauvais fonctionnement sur une phase et s'améliorer sur la phase suivante. De ce fait, des modifications ont été apportées à la distribution de Weibull afin d'avoir des fonctions de risque de base non monotones, plus particulièrement les fonctions de risque croissantes puis décroissantes. En dépit de ces modifications, la prise en compte des conditions d'opérations extrêmes et la surestimation des risques s'avèrent problématiques. Nous avons donc, à partir de la loi standard de Gumbel, proposé une fonction de risque de base croissante puis décroissante permettant de prendre en compte les conditions extrêmes d'opérations, puis établi les preuves mathématiques y afférant. En outre, un exemple d'application dans le domaine de l'industrie a été proposé. Cette thèse est divisée en quatre chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion générales. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Le deuxième chapitre s'intéresse aux concepts de base de l'analyse de survie, particulièrement à ceux relatifs à l'analyse de fiabilité, en proposant une fonction de risque croissante-décroissante dans le modèle à risques proportionnels. En ce qui concerne le troisième chapitre, il porte sur l'utilisation des statistiques d'ordre extrême dans l'usinage, notamment dans la détection de pièces défectueuses par lots, la fiabilité de l'outil de coupe et la modélisation des meilleures surfaces de rugosité. Le dernier chapitre porte sur la prédiction d'éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine à partir des données historiques en utilisant l'approche "Peaks-Over Threshold" / The operation of a system in general may at any time be affected by an unforeseen incident. When this incident has major consequences on the system integrity and the quality of system products, then it is said to be in the context of extreme events. Thus, increasingly researchers have a particular interest in modeling such events with studies on the reliability of systems and the prediction of the different risks that can hinder the proper functioning of a system. This thesis takes place in this very perspective. We use Extreme Value Theory (EVT) and extreme order statistics as a decision support tool in modeling and risk management in industry and aviation. Specifically, we model the surface roughness of machined parts and the reliability of the associated cutting tool with the extreme order statistics. We also did a modeling using the "Peaks-Over Threshold, POT" approach to make predictions about the potential victims in the American General Aviation (AGA) following extreme accidents. In addition, the modeling of systems subjected to environmental factors or covariates is most often carried out by proportional hazard models based on the hazard function. In proportional hazard models, the baseline risk function is typically Weibull distribution, which is a monotonic function. The analysis of the operation of some systems like the cutting tool in the industry has shown that a system can deteriorated on one phase and improving on the next phase. Hence, some modifications have been made in the Weibull distribution in order to have non-monotonic basic risk functions, more specifically, the increasing-decreasing risk function. Despite these changes, taking into account extreme operating conditions and overestimating risks are problematics. We have therefore proposed from Gumbel's standard distribution, an increasingdecreasing risk function to take into account extreme conditions, and established mathematical proofs. Furthermore, an example of the application in the field of industry was proposed. This thesis is organized in four chapters and to this must be added a general introduction and a general conclusion. In the first chapter, we recall some basic notions about the Extreme Values Theory. The second chapter focuses on the basic concepts of survival analysis, particularly those relating to reliability analysis by proposing a function of increasing-decreasing hazard function in the proportional hazard model. Regarding the third chapter, it deals with the use of extreme order statistics in industry, particularly in the detection of defective parts, the reliability of the cutting tool and the modeling of the best roughness surfaces. The last chapter focuses on the prediction of potential victims in AGA from historical data using the Peaks-Over Threshold approach.

Modeling of extreme events is a challenging statistical task. Firstly, there is always a limit number of observations and secondly therefore no experience to back test the result. One way of estimating higher quantiles is to fit one of theoretical distributions to the data and extrapolate to the tail. The shortcoming of this approach is that the estimate of the tail is based on the observations in the center of distribution. Alternative approach to this problem is based on idea to split the data into two sub-populations and model body of the distribution separately from the tail. This methodology is applied to non-life insurance losses, where extremes are particularly important for risk management. Never the less, even this approach is not a conclusive solution of heavy tail modeling. In either case, estimated 99.5% percentiles have such high standard errors, that the their reliability is very low. On the other hand this approach is theoretically valid and deserves to be considered as one of the possible methods of extreme value analysis.

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Ce travail de thèse porte sur les outils statistiques pour l'évaluation des maxima de charges de sloshing dans les cuves de méthaniers. Selon les caractéristiques du navire, son chargement et les conditions de navigation, un ballotement hydrodynamique est observé à l'intérieur des cuves, phénomène communément appelé sloshing. La détermination des charges qui s'appliquent à la structure est basée sur des mesures de pression d'impact au moyen d'essais sur maquette. Les maxima de pression par impact, extraits des mesures, sont étudiés. La durée d'un essai est équivalente à 5 heures au réel et insuffisante pour déterminer des maxima de pression associés à de grandes périodes de retour (40 ans). Un modèle probabiliste est nécessaire pour extrapoler les maxima de pression. Le modèle usuel est une loi de Weibull. Comme ce sont les valeurs extrêmes des échantillons qui nous intéressent, les ajustements sont aussi effectués par les lois des valeurs extrêmes et de Pareto généralisées via les méthodes de maximum par bloc et d'excès au-dessus d'un seuil.L'originalité du travail repose sur l'emploi d'un système alternatif, plus pertinent pour la capture des maxima de pression et d'une quantité de 480 heures de mesures disponible pour les mêmes conditions d'essai. Cela fournit une distribution de référence pour les maxima de pression et nous permet d'évaluer la pertinence des modèles sélectionnés. Nous insistons sur l'importance d'évaluer la qualité des ajustements par des tests statistiques et de quantifier les incertitudes sur les estimations obtenues. La méthodologie fournie a été implémentée dans un logiciel nommé Stat_R qui facilite la manipulation et le traitement des résultats. / This thesis focuses on statistical tools for the assessment of maxima sloshing loads in LNG tanks. According to ship features, tank cargo and sailing conditions, a sloshing phenomenon is observed inside LNG tanks. The determination of sloshing loads supported by the tank structure is derived from impact pressure measurements performed on a test rig. Pressure maxima per impact, extracted from test measurements, are investigated. Test duration is equivalent to 5 hours in full scale. This duration is not sufficient to determine pressure maxima associated with high return periods (40 years). It is necessary to use a probabilistic model in order to extrapolate pressure maxima. Usually, a Weibull model is used. As we focus on extreme values from samples, fittings are also performed with the generalized extreme value distribution and the generalized Pareto distribution using block maximum method and peaks over threshold method.The originality of this work is based on the use of an alternate measurement system which is more relevant than usual measurement system to get pressure maxima and a 480 hours measured data available for same test conditions. This provides a reference distribution for pressure maxima which is used to assess the relevance of the selected probabilistic models. Particular attention is paid to the assessment of fittings quality using statistical tests and to the quantification of uncertainties on estimated values.The provided methodology has been implemented in a software called Stat_R which makes the manipulation and the treatment of results easier.