In this work, we investigated the construction of natural, integer, rational, real, complex, quaternion and Octonion numbers. More precisely, the set of real numbers was achieved by applying two methods: Dedekind Cuts and Equivalence Classes of Cauchy Sequences. Our study is only based on using Peano Axioms, which are directly related to the natural numbers, in order to get the basic properties satis ed by these numbers. In addition, we carefully proved the elementary results involving real numbers. This process in question was developed constructively throughout of the concepts of the integer and rational numbers. Next, we show that it is possible to establish the existence of complex numbers along with their more usual arithmetic properties. Finally, we nish each chapter of our work showing some possible applications in each set worked. / No presente trabalhos, investigamos, cuidadosamente, a construção do números Naturais, inteiros, Racionais, Reais e Complexos. Sendo que, o conjunto dos números reais foi obtido através dos conhecidos métodos: Cortes de Dedekind e Classes de Equivalência por sequência de Cauchy. O estudo consistiu em utilizar os famosos Axiomas de Peano, ps quais estão relacionados aos números naturais, em ordem a obter as em conhecidas propriedades elementares, satisfeitas para todos esses números. E, a partir deste conhecimento, encontramos rigorosamente as provas dos resultados básicos envolvendo os números reais. Este processo em questão, foi desenvolvida de maneira construtiva através dos números inteiros e racionais. Em seguida, mostramos que é possível estabelecer a existência de números complexos, juntamente com suas propriedades aritméticas mais usuais. Por fim, terminamos cada capítulo do nosso trabalho, mostrando algumas possíveis aplicações em cada conjunto trabalhado.

Este trabalho apresenta a construção dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, buscando contemplar uma mediação entre alunos e professores do ensino médio que possa contribuir em uma abordagem facilitadora para o processo de ensino e aprendizagem. A construção dos conjuntos numéricos é feita de modo progressivo, apresentando leis e propriedades que definem cada um deles. Os capítulos apresentam teoremas que são provados de modo que o leitor possa conseguir, efetivamente, estabelecer um elo entre a teoria matemática e suas abstrações iniciais inerentes aos estudantes em formação. / This work presents the construction of the sets of natural, integer, rational and real numbers, aiming to contemplate a mediation between high school students and teachers that can contribute to an easy approach to the teaching and learning processes. The construction of the numerical sets is done progressively presenting laws and properties that define each one of them. The chapters present theorems that are proven so that the reader can effectively establish a link between mathematical theory and its initial abstractions inherent in the students in formation.