La présente étude concerne l'étude d'optimisation thermique d'une machine électrique. Un modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résout l'équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transitoire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants : La conduction et la convection. L'évaluation de ce modèle est effectuée par l'intermédiaire de 13 valeurs de débits de référence. C'est en faisant varier ces variables qu'on évalue la performance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l'étude d'optimisation de cettegéométrie, on a lancé une étude d'optimisation d'un cas plus simple afin de mieux comprendre les différents outils d'optimisation disponibles. L'expérience acquise avec les cas simples est utilisée dans l'optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des contraintes ont été additionnées afin d'obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème est résolu à l'aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes Génétiques.

Ce travail de thèse concerne l'étude du critère de rupture ductile des matériaux poreux en utilisant les techniques de l'homogénéisation, de l'analyse limite et des méthodes d'optimisation de type point intérieur. La validité du critère de Gurson, le plus utilisé par les codes élasto-plastiques pour les matériaux poreux, est étudiée. On se ramène donc à l'étude d'un Volume Elémentaire Représentatif (VER) dont la matrice, rigide parfaitement plastique, vérifie le critère de von Mises. Comme pour le critère de Gurson, les interactions entre les cavités et la coalescence ne sont pas prises en compte. On utilise les approches statique (ou par borne inférieure) et cinématique (ou par borne supérieure) de l'analyse limite, via une discrétisation en éléments finis du modèle. Le problème d'optimisation résultant est résolu en utilisant des codes d'optimisation commerciaux, XA ou MOSEK. L'utilisation du code XA demande une linéarisation préalable du critère de Mises, ce qui est fait grâce à un algorithme efficace. Son inconvénient est de générer un grand nombre de termes et donc de demander beaucoup de mémoire. Le second code d'optimisation utilisé, MOSEK, permet de résoudre directement (sans termes supplémentaires) le problème d'optimisation non linéaire dit de " programmation conique du second ordre " (SOCP) et ainsi de résoudre des problèmes avec un VER maillé plus finement. La mise en œuvre numérique du problème mécanique à sa formulation numérique est réalisée à l'aide de programmes fortran propres à chaque cas étudié. Pour un matériau à cavités cylindriques, le VER est un tronçon de cylindre creux. Nous avons montré que le critère de plasticité présente un point anguleux en contrainte plane et en déformation plane et qui n'est pas prévu par le critère de Gurson, ce qui n'est pas le cas du critère de Rousselier. En déformation plane généralisée, l'expression analytique de Gurson, en contraintes moyenne et équivalente, est trop restrictive et doit faire apparaître les différents paramètres de chargement. Par contre, dans le cas d'un matériau à cavités sphériques, plus proche d'un matériau réel et traité par le critère de Gurson, ce critère est confirmé pour la première fois par les deux approches de l'analyse limite. Pour cela, nous avons élaboré et mis au point un nouveau modèle complètement tridimentionnel dont l'efficacité a permis de corroborer le critère de Gurson par l'approche statique. Dans le cas d'un VER contenenant plusieurs cavités cylindriques, nous avons confirmé un critère bimodal en déformation plane généralisée de Michet et al. En contrainte plane, les interactions entre les cavités conduisent à des localisations en vitesse de déformation pour chaque cas de chargement et à des critères spécifiques pour chaque VER. Le critère de Gurson étant validé pour un matériau poreux à cavités sphériques, on étudie pour finir un matériau de Gurson homogène. Pour déterminer la borne cinématique, nous avons élaboré une méthode basée sur le champ de contraintes et utilisant un optimiseur convexe à contraintes non linéaires mis au point au CORE (Centre of Operation Research and Econometrics) de Louvain la Neuve en Belgique a été appliquée à un matériau de Gurson homogène. Cette technique constitue ainsi une méthode plus directe pour déterminer la borne cinématique, la seule information à fournir étant le critère de plasticité. Cela ouvre la perspective d'étudier un matériau homogène de tout critère dont la puissance n'est pas analytique ou n'est pas aisément utilisable.

Optimization is a scientific discipline that lies at the boundary<br />between pure and applied mathematics. Indeed, while on the one hand<br />some of its developments involve rather theoretical concepts, its<br />most successful algorithms are on the other hand heavily used by<br />numerous companies to solve scheduling and design problems on a<br />daily basis.<br /><br />Our research started with the study of the conic formulation for<br />convex optimization problems. This approach was already studied in<br />the seventies but has recently gained a lot of interest due to<br />development of a new class of algorithms called interior-point<br />methods. This setting is able to exploit the two most important<br />characteristics of convexity:<br /><br />- a very rich duality theory (existence of a dual problem that is<br />strongly related to the primal problem, with a very symmetric<br />formulation),<br />- the ability to solve these problems efficiently,<br />both from the theoretical (polynomial algorithmic complexity) and<br />practical (implementations allowing the resolution of large-scale<br />problems) points of view.<br /><br />Most of the research in this area involved so-called self-dual<br />cones, where the dual problem has exactly the same structure as the<br />primal: the most famous classes of convex optimization problems<br />(linear optimization, convex quadratic optimization and semidefinite<br />optimization) belong to this category. We brought some contributions <br />in this field:<br />- a survey of interior-point methods for linear optimization, with <br />an emphasis on the fundamental principles that lie behind the design <br />of these algorithms,<br />- a computational study of a method of linear approximation of convex <br />quadratic optimization (more precisely, the second-order cone that <br />can be used in the formulation of quadratic problems is replaced by a <br />polyhedral approximation whose accuracy can be guaranteed a priori),<br />- an application of semidefinite optimization to classification, <br />whose principle consists in separating different classes of patterns <br />using ellipsoids defined in the feature space (this approach was <br />successfully applied to the prediction of student grades).<br /><br />However, our research focussed on a much less studied category of<br />convex problems which does not rely on self-dual cones, i.e.<br />structured problems whose dual is formulated very differently from<br />the primal. We studied in particular<br />- geometric optimization, developed in the late sixties, which<br />possesses numerous application in the field of engineering<br />(entropy optimization, used in information theory, also belongs to<br />this class of problems)<br />- l_p-norm optimization, a generalization of linear and convex<br />quadratic optimization, which allows the formulation of constraints<br />built around expressions of the form |ax+b|^p (where p is a fixed<br />exponent strictly greater than 1).<br /><br />For each of these classes of problems, we introduced a new type of<br />convex cone that made their formulation as standard conic problems<br />possible. This allowed us to derive very simplified proofs of the<br />classical duality results pertaining to these problems, notably weak<br />duality (a mere consequence of convexity) and the absence of a<br />duality gap (strong duality property without any constraint<br />qualification, which does not hold in the general convex case). We<br />also uncovered a very surprising result that stipulates that<br />geometric optimization can be viewed as a limit case of l_p-norm<br />optimization. Encouraged by the similarities we observed, we<br />developed a general framework that encompasses these two classes of<br />problems and unifies all the previously obtained conic formulations.<br /><br />We also brought our attention to the design of interior-point<br />methods to solve these problems. The theory of polynomial algorithms<br />for convex optimization developed by Nesterov and Nemirovski asserts<br />that the main ingredient for these methods is a computable<br />self-concordant barrier function for the corresponding cones. We<br />were able to define such a barrier function in the case of<br />l_p-norm optimization (whose parameter, which is the main<br />determining factor in the algorithmic complexity of the method, is<br />proportional to the number of variables in the formulation and<br />independent from p) as well as in the case of the general<br />framework mentioned above.<br /><br />Finally, we contributed a survey of the self-concordancy property,<br />improving some useful results about the value of the complexity<br />parameter for certain categories of barrier functions and providing<br />some insight on the reason why the most commonly adopted definition<br />for self-concordant functions is the best possible.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale déterministes et on étudie des approximations intérieures pour deux problèmes modèles avec des contraintes de non-négativité sur la commande. Le premier modèle est un problème de commande optimale dont la fonction de coût est quadratique et dont la dynamique est régie par une équation différentielle ordinaire. Pour une classe générale de fonctions de pénalité intérieure, on montre comment calculer le terme principal du développement ponctuel de l'état et de l'état adjoint. Notre argument principal se fonde sur le fait suivant: si la commande optimale pour le problème initial satisfait les conditions de complémentarité stricte pour le Hamiltonien sauf en un nombre fini d'instants, les estimations pour le problème de commande optimale pénalisé peuvent être obtenues à partir des estimations pour un problème stationnaire associé. Nos résultats fournissent plusieurs types de mesures de qualité de l'approximation pour la technique de pénalisation: estimations des erreurs de la commande , estimations des erreurs pour l'état et l'état adjoint et aussi estimations de erreurs pour la fonction valeur. Le second modèle est le problème de commande optimale d'une équation semi-linéaire elliptique avec conditions de Dirichlet homogène au bord, la commande étant distribuée sur le domaine et positive. L'approche est la même que pour le premier modèle, c'est-à-dire que l'on considère une famille de problèmes pénalisés, dont la solution définit une trajectoire centrale qui converge vers la solution du problème initial. De cette manière, on peut étendre les résultats, obtenus dans le cadre d'équations différentielles, au contrôle optimal d'équations elliptiques semi-linéaires. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux problèmes de commande optimale stochastiques. Dans un premier temps, on considère un problème linéaire quadratique stochastique avec des contraintes de non-negativité sur la commande et on étend les estimations d'erreur pour l'approximation par pénalisation logarithmique. La preuve s'appuie sur le principe de Pontriaguine stochastique et un argument de dualité. Ensuite, on considère un problème de commande stochastique général avec des contraintes convexes sur la commande. L'approche dite variationnelle nous permet d'obtenir un développement au premier et au second ordre pour l'état et la fonction de coût, autour d'un minimum local. Avec ces développements on peut montrer des conditions générales d'optimalité de premier ordre et, sous une hypothèse géométrique sur l'ensemble des contraintes, des conditions nécessaires du second ordre sont aussi établies.

La présente étude concerne l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique. Un modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résout l’équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transitoire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants : La conduction et la convection. L’évaluation de ce modèle est effectuée par l’intermédiaire de 13 valeurs de débits de référence. C’est en faisant varier ces variables qu’on évalue la performance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l’étude d’optimisation de cettegéométrie, on a lancé une étude d’optimisation d’un cas plus simple afin de mieux comprendre les différents outils d’optimisation disponibles. L’expérience acquise avec les cas simples est utilisée dans l’optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des contraintes ont été additionnées afin d’obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème est résolu à l’aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes Génétiques. / This work relates the thermal optimization of an electrical machine. The lumped method is used to simulate the temperature field. This model solves the heat equation in three dimensions, in cylindrical coordinates and in transient or steady state. We consider two transport mechanisms: conduction and convection. The evaluation of this model is performed by means of 13 design variables that correspond to the main flow rates of the equipment. We analyse the machine cooling performance by varying these 13 flow rates. Before starting the study of such a complicated geometry, we picked a simpler case in order to better understand the variety of the available optimization tools. The experience obtained in the simpler case is applyed in the resolution of the thermal optimization problem of the electrical machine. This machine is evaluated from the thermal point of view by combining two criteria : the maximum and the mean temperature. Constraints are used to keep the problem consistent. We solved the problem using the gradient based methods (Active-set and Interior-Point) and the Genetic Algorithms.

Après une description de la méthode de Karmarkar, il est montré que la valeur du pas de déplacement peut être largement améliorée. Les principales difficultés pratiques de la méthode sont discutées. Plus particulièrement, l'hypothèse de connaitre, au départ, la valeur optimale de l'objectif. Diverses extensions et variantes sont étudiées dans le but de relaxer l'hypothèse ci-dessus

Résumé Nous présentons en premier lieu dans ce travail les principales notions de la théorie de l'Analyse Limite (AL) — ou théorie des charges limites — en mécanique. Puis nous proposons une méthode de point intérieur destinée à résoudre des problèmes de programmation convexe posés par la méthode statique de l'AL, en vue d'obtenir des bornes inférieures de la charge limite (ou de ruine) d'un système mécanique. Les principales caractéristiques de cette méthode de point intérieur sont exposées en détail, et particulièrement son itération type. En second lieu, nous exposons l'application de cet algorithme sur un problème concret d'analyse limite, sur une large gamme de tailles numériques, et nous comparons pour validation les résultats obtenus avec ceux déjà existants ainsi qu'avec ceux calculés à partir de versions linéarisées du problème statique. Nous analysons également les résultats obtenus pour des problèmes classiques avec matériaux de Gurson, pour lesquels la linéarisation ou la programmation conique ne s'applique pas. La deuxième partie de cet ouvrage a trait à la méthode cinématique de l'analyse limite, qui, elle, s'occupe de fournir des bornes supérieures des charges limites. En premier lieu, nous traitons de l'équivalence entre la méthode cinématique classique et la méthode cinématique mixe, en partant d'une l'approche variationnelle fournie précédemment par Radenkovic et Nguyen. Ensuite, prenant en compte les exigences particulières aux formulations numériques, nous présentons une méthode mixte originale, parfaitement cinématique, utilisant aussi bien des champs de vitesses linéaires que quadratiques, continus ou discontinus. Son modus operandi pratique est tiré de l'analyse des conditions d'optimalité de Karush, Kuhn et Tucker, fournissant par là un exemple significatif d'interaction fructueuse entre la mécanique et la programmation mathématique. La méthode est testée sur des problèmes classiques avec les critères de plasticité de von Mises/Tresca et Gurson. Ces test démontrent l'efficacité remarquable de cette méthode mixte — qui par ailleurs n'utilise que le critère de plasticité comme information sur le matériau — et sa robustesse, laquelle s'avère même supérieure à celle de codes commerciaux récents de programmation conique. Enfin, nous présentons une approche de décomposition, elle aussi originale, des problèmes de bornes supérieures en analyse limite. Cette approche est basée à la fois sur la méthode cinématique mixte et l'algorithme de point intérieur précédents, et elle est conçue pour utiliser jusqu'à des champs de vitesse quadratiques discontinus. Détaillée dans le cas de la déformation plane, cette approche apparaît très rapidement convergente, ainsi que nous le vérifions sur le problème du barreau comprimé de von Mises/Tresca dans le cas de champs de vitesse linéaires continus. Puis elle est appliquée, dans le cas de champs quadratiques discontinus, au problème classique de la stabilité du talus vertical de Tresca, avec des résultats particulièrement remarquables puisqu'ils améliorent nettement les solutions cinématiques connues jusqu'à présent dans la littérature sur le sujet. Cette caractéristique de forte convergence qualifie particulièrement cette méthode de décomposition comme algorithme de base pour une parallélisation directe— ou récursive — de l'approche par éléments finis de l'analyse limite. Abstract Firstly, the main notions of the theory of Limit analysis (LA) in Mechanics —or collapse load theory – is presented. Then is proposed an Interior Point method to solve convex programming problems raised by the static method of LA, in order to obtain lower bounds to the collapse (or limit) load of a mechanical system. We explain the main features of this Interior Point method, describing in particular its typical iteration. Secondly, we show and analyze the results of its application to a practical Limit Analysis problem, for a wide range of sizes, and we compare them for validation with existing results and with those of linearized versions of the static problem. Classical problems are also analyzed for Gurson materials to which linearization or conic programming does not apply. The second part of this work focuses on the kinematical method of Limit Analysis, aiming this time to provide upper bounds on collapse loads. In a first step, we detail the equivalence between the classical an general mixed approaches, starting from an earlier variational approach of Radenkovic and Nguyen. In a second step, keeping in mind numerical formulation requirements, an original purely kinematical mixed method—using linear or quadratic, continuous or discontinuous velocity fields as virtual variables—is proposed. Its practical modus operandi is deduced from the Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions, providing an example of crossfertilization between mechanics and mathematical programming. The method is tested on classical problems for von Mises/tresca and Gurson plasticity criteria. Using only the yield criterion as material data, it appears very efficient and robust, even more reliable than recent conic commercial codes. Furthermore, both static and kinematic present approaches give rise to the first solutions of problem for homogeneous Gurson materials. Finally, an original decomposition approach of the upper bound method of limit analysis is proposed. It is based on both previous kinematical approach and interior point solver, using up to discontinuous quadratic velocity. Detailed in plane strain, this method appears very rapidly convergent, as verified in the von Mises/Tresca compressed bar problem in the linear continuous velocity case. Then the method is applied, using discontinuous quadratic velocity fields, to the classical problem of the stability of a Tresca vertical cut, with very significant results as they notably improved the kinematical solutions of the literature. Moreover its strong convergence qualifies this decomposition scheme as a suitable algorithm for a direct—or recursive—parallelization of the LA finite element approach.

Optimization is a scientific discipline that lies at the boundary between pure and applied mathematics. Indeed, while on the one hand some of its developments involve rather theoretical concepts, its most successful algorithms are on the other hand heavily used by numerous companies to solve scheduling and design problems on a daily basis. Our research started with the study of the conic formulation for convex optimization problems. This approach was already studied in the seventies but has recently gained a lot of interest due to development of a new class of algorithms called interior-point methods. This setting is able to exploit the two most important characteristics of convexity: - a very rich duality theory (existence of a dual problem that is strongly related to the primal problem, with a very symmetric formulation), - the ability to solve these problems efficiently, both from the theoretical (polynomial algorithmic complexity) and practical (implementations allowing the resolution of large-scale problems) point of views. Most of the research in this area involved so-called self-dual cones, where the dual problem has exactly the same structure as the primal: the most famous classes of convex optimization problems (linear optimization, convex quadratic optimization and semidefinite optimization) belong to this category. We brought some contributions in this field: - a survey of interior-point methods for linear optimization, with an emphasis on the fundamental principles that lie behind the design of these algorithms, - a computational study of a method of linear approximation of convex quadratic optimization (more precisely, the second-order cone that can be used in the formulation of quadratic problems is replaced by a polyhedral approximation whose accuracy that can be guaranteed a priori), - an application of semidefinite optimization to classification, whose principle consists in separating different classes of patterns using ellipsoids defined in the feature space (this approach was successfully applied to the prediction of student grades). However, our research focussed on a much less studied category of convex problems which does not rely on self-dual cones, i.e. structured problems whose dual is formulated very differently from the primal. We studied in particular - geometric optimization, developed in the late sixties, which possesses numerous application in the field of engineering (entropy optimization, used in information theory, also belongs to this class of problems) - l_p-norm optimization, a generalization of linear and convex quadratic optimization, which allows the formulation of constraints built around expressions of the form |ax+b|^p (where p is a fixed exponent strictly greater than 1). For each of these classes of problems, we introduced a new type of convex cone that made their formulation as standard conic problems possible. This allowed us to derive very simplified proofs of the classical duality results pertaining to these problems, notably weak duality (a mere consequence of convexity) and the absence of a duality gap (strong duality property without any constraint qualification, which does not hold in the general convex case). We also uncovered a very surprising result that stipulates that geometric optimization can be viewed as a limit case of l_p-norm optimization. Encouraged by the similarities we observed, we developed a general framework that encompasses these two classes of problems and unifies all the previously obtained conic formulations. We also brought our attention to the design of interior-point methods to solve these problems. The theory of polynomial algorithms for convex optimization developed by Nesterov and Nemirovsky asserts that the main ingredient for these methods is a computable self-concordant barrier function for the corresponding cones. We were able to define such a barrier function in the case of l_p-norm optimization (whose parameter, which is the main determining factor in the algorithmic complexity of the method, is proportional to the number of variables in the formulation and independent from p) as well as in the case of the general framework mentioned above. Finally, we contributed a survey of the self-concordancy property, improving some useful results about the value of the complexity parameter for certain categories of barrier functions and providing some insight on the reason why the most commonly adopted definition for self-concordant functions is the best possible.

Dans cette thèse, nous nous étudions des algorithmes d’optimisation non linéaire. D’une part nous proposons des techniques de détection rapide de la non-réalisabilité d’un problème à résoudre. D’autre part, nous analysons le comportement local des algorithmes pour la résolution de problèmes singuliers. Dans la première partie, nous présentons une modification d’un algorithme de lagrangien augmenté pour l’optimisation avec contraintes d’égalité. La convergence quadratique du nouvel algorithme dans le cas non-réalisable est démontrée théoriquement et numériquement. La seconde partie est dédiée à l’extension du résultat précédent aux problèmes d’optimisation non linéaire généraux avec contraintes d’égalité et d’inégalité. Nous proposons une modification d’un algorithme de pénalisation mixte basé sur un lagrangien augmenté et une barrière logarithmique. Les résultats théoriques de l’analyse de convergence et quelques tests numériques montrent l’avantage du nouvel algorithme dans la détection de la non-réalisabilité. La troisième partie est consacrée à étudier le comportement local d’un algorithme primal-dual de points intérieurs pour l’optimisation sous contraintes de borne. L’analyse locale est effectuée sans l’hypothèse classique des conditions suffisantes d’optimalité de second ordre. Celle-ci est remplacée par une hypothèse plus faible basée sur la notion de borne d’erreur locale. Nous proposons une technique de régularisation de la jacobienne du système d’optimalité à résoudre. Nous démontrons ensuite des propriétés de bornitude de l’inverse de ces matrices régularisées, ce qui nous permet de montrer la convergence superlinéaire de l’algorithme. La dernière partie est consacrée à l’analyse de convergence locale de l’algorithme primal-dual qui est utilisé dans les deux premières parties de la thèse. En pratique, il a été observé que cet algorithme converge rapidement même dans le cas où les contraintes ne vérifient l’hypothèse de qualification de Mangasarian-Fromovitz. Nous démontrons la convergence superlinéaire et quadratique de cet algorithme, sans hypothèse de qualification des contraintes. / This thesis is devoted to the study of numerical algorithms for nonlinear optimization. On the one hand, we propose new strategies for the rapid infeasibility detection. On the other hand, we analyze the local behavior of primal-dual algorithms for the solution of singular problems. In the first part, we present a modification of an augmented Lagrangian algorithm for equality constrained optimization. The quadratic convergence of the new algorithm in the infeasible case is theoretically and numerically demonstrated. The second part is dedicated to extending the previous result to the solution of general nonlinear optimization problems with equality and inequality constraints. We propose a modification of a mixed logarithmic barrier-augmented Lagrangian algorithm. The theoretical convergence results and the numerical experiments show the advantage of the new algorithm for the infeasibility detection. In the third part, we study the local behavior of a primal-dual interior point algorithm for bound constrained optimization. The local analysis is done without the standard assumption of the second-order sufficient optimality conditions. These conditions are replaced by a weaker assumption based on a local error bound condition. We propose a regularization technique of the Jacobian matrix of the optimality system. We then demonstrate some boundedness properties of the inverse of these regularized matrices, which allow us to prove the superlinear convergence of our algorithm. The last part is devoted to the local convergence analysis of the primal-dual algorithm used in the first two parts of this thesis. In practice, it has been observed that this algorithm converges rapidly even in the case where the constraints do not satisfy the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification. We demonstrate the superlinear and quadratic convergence of this algorithm without any assumption of constraint qualification.