Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le cadre de la géométrie discrète, une discipline ayant pour objectif de définir un cadre théorique pour transposer dans Z^n les bases de la géométrie euclidienne -- les notions discrètes définies étant le plus proche possible des notions continues que nous connaissons (telles que distance, droite, convexité, ...). De nombreuses études ont déjà été menées au sein de cette discipline, pour en définir l'espace de travail ainsi que les objets fondamentaux manipulés et en saisir leurs propriétés. Des algorithmes de reconnaissance pour ces primitives discrètes ont été développés et utilisés dans des problèmes comme la reconnaissance de formes, l'extraction de caractéristiques géométriques et bien d'autres encore. Néanmoins, la majorité des études ont été effectuées en se reposant sur la régularité des structures fondamentales de l'espace discret, souvent issues de définitions arithmétiques, et ces critères de régularité sont généralement essentiels aux différents algorithmes développés. Or, en pratique, les objets manipulés sont très souvent bruités par les méthodes d'acquisition (scanners, IRM, ...) qui suppriment ce caractère régulier des objets. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux objets discrets 3D et proposons une nouvelle primitive discrète, le morceau flou de plan discret, destinée à apporter plus de flexibilité dans les traitements, afin de proposer des algorithmes capables de fournir des résultats satisfaisants aussi bien sur des objets réguliers que non réguliers. Avec l'emploi de cette nouvelle primitive discrète, nous définissons différents estimateurs de caractéristiques géométriques au bord d'objets discrets et montrons comment les utiliser dans des problèmes de segmentation et de polyédrisation d'objets discrets possiblement bruités. / The context of this thesis is the digital geometry. An aim of this field is to develop a theoretical framework to implement in Z^n the basis of the Euclidean geometry. The discrete concepts are thus defined as close as possible to their continuous counterparts (such as distance, straight line, convexity, ...). Many studies have already been led within this research area to define the workspace, the fundamental objects and figure their properties out. Recognition algorithms have been designed for these discrete primitives and used in problems such as pattern recognition, geometric features estimation and many more. However, most of these studies rely on the regularity of fundamental structures of the digital space, that usually comes from their arithmetical definitions. But in practice, objects may be corrupted by the acquisition devices (like scanners or MRI) which eliminate this regularity. This thesis is focused on 3D digital objects. We introduce a new discrete primitive: the blurred piece of a discrete plane. Its aim is to bring some flexibility in treatments in order to design algorithms that yield statisfying results on both noisy and non-noisy digital objects. Relying on this new primtive, we define different geometric feature estimators on the border of such objects and show how to use them to guide the segmentation and polyhedrization processes of this border.

En informatique, les images sont numériques et donc composées de pixels en 2D et de voxels en 3D. Dans une scène virtuelle 3D, il est impossible de manipuler directement les objets comme des ensembles de voxels en raison du trop gros volume de données. Les objets sont alors polyédrisés, c'est-à-dire remplacés par une collection de facettes. Pour ce faire, il est primordial de savoir décider si un sous-ensemble de voxels peut être transformé en une facette dans la représentation polyédrique. Ce problème est appelé reconnaissance de plans discrets. Pour le résoudre, nous mettons en place un nouvel algorithme spécialement adapté pour les ensembles de voxels denses dans une boite englobante. Notre méthode atteint une complexité quasi-linéaire dans ce cas et s'avère efficace en pratique. En parallèle, nous nous intéressons à un problème algorithmique annexe intervenant dans notre méthode de reconnaissance de plans discrets. Il s'agit de calculer les deux enveloppes convexes des points de Z2 contenus dans un domaine vertical borné et situés de part et d'autre d'une droite quelconque. Nous proposons une méthode de complexité optimale et adaptative pour calculer ces enveloppes convexes. Nous présentons le problème de manière détournée : déterminer le nombre rationnel à dénominateur borné qui approxime au mieux un nombre réel donné. Nous établissons le lien entre ce problème numérique et son interprétation géométrique dans le plan. Enfin, nous proposons indépendamment un nouvel algorithme pour calculer l'épaisseur d'un ensemble de points dans le réseau Zd. Notre méthode est optimale en 2D et gloutonne mais efficace en dimension supérieure

En informatique, les images sont numériques et donc composées de pixels en 2D et de voxels en 3D. Dans une scène virtuelle 3D, il est impossible de manipuler directement les objets comme des ensembles de voxels en raison du trop gros volume de données. Les objets sont alors polyédrisés, c’est-à-dire remplacés par une collection de facettes. Pour ce faire, il est primordial de savoir décider si un sous-ensemble de voxels peut être transformé en une facette dans la représentation polyédrique. Ce problème est appelé reconnaissance de plans discrets. Pour le résoudre, nous mettons en place un nouvel algorithme spécialement adapté pour les ensembles de voxels denses dans une boite englobante. Notre méthode atteint une complexité quasi-linéaire dans ce cas et s’avère efficace en pratique. En parallèle, nous nous intéressons à un problème algorithmique annexe intervenant dans notre méthode de reconnaissance de plans discrets. Il s’agit de calculer les deux enveloppes convexes des points de Z2 contenus dans un domaine vertical borné et situés de part et d’autre d’une droite quelconque. Nous proposons une méthode de complexité optimale et adaptative pour calculer ces enveloppes convexes. Nous présentons le problème de manière détournée : déterminer le nombre rationnel à dénominateur borné qui approxime au mieux un nombre réel donné. Nous établissons le lien entre ce problème numérique et son interprétation géométrique dans le plan. Enfin, nous proposons indépendamment un nouvel algorithme pour calculer l’épaisseur d’un ensemble de points dans le réseau Zd. Notre méthode est optimale en 2D et gloutonne mais efficace en dimension supérieure / In computer science, pictures are digital and so, they are composed of pixels in 2D or of voxels in 3D. In 3D virtual scenes, we cannot directly manipulate objects as sets of voxels because the data are too huge. As a result, the objects are transformed into polyhedra, i.e. collections of facets. For this, we must be able to decide if a subset of voxels can be replaced by a facet in the polyhedrisation. This problem is called digital plane recognition. To solve it, we design a new algorithm especially adapted for sets of voxels which are dense in a bounding box. Our method achieves a quasi-linear worst-case time complexity in this case and it is efficient in practice. In parallel, we study another algorithmic problem which occures in our digital plane recognition algorithm. It is computing the two convex hulls of grid points lying in a bounded vertical domain and located on either side of a straight line. We propose an optimal time complexity method to compute these convex hulls and which is also output sensitive. We present the problem in a different way : find the rational number of bounded denominator that best approximates a given real number. We establish the link between this numerical problem and geometry. Finally, we independently propose a new algorithm to compute the lattice width of a set of points in Zd. Our method is optimal in 2D and is greedy but efficent in higher dimension