Den här rapporten fokuserar på att ta fram en grund i hur skapandet av spelvegetation med polygonplan som korsar varandra kan göras, utan att få problem med oönskade artefakter och skuggor. Det finns givetvis flertalet metoder för att lösa detta som varierar beroende på vilken typ av ljussättning som implementerats i spelet samt vilken spelmotor som används. I den här undersökningen kommer endast en spelmotor med grund ljussättning användas.Målet var att undersöka flertalet metoder för att nå det önskade resultatet, vilket var fungerande spelvegetation med korsande polygonplan utan några skuggor eller artefakter. Moment som inte ingick i den här undersökningen var ingående undersökningar i hur vertexnormaler fungerar på en mer matematisk nivå, samt hur dessa tekniker kan överföras till andra spelmotorer. För att uppnå dessa mål gjordes en del undersökningar i hur spelvegetations geometri och vertexnormaler påverkar resultatet, samt materialinställningar i den valda spelmotorn.Vikten av en klar bild av vilken typ av spelvegetation som ska skapas innan arbetet påbörjas visade sig tidigt i undersökningen. Organiska och mjuka former är att föredra, och det är även viktigt att kontrollera hur vertexnormalernas riktning påverkar objektet i den valda spelmotorn. I själva spelmotor är det materialet på objektet som har störst inverkan på resultatet, framförallt materialets underlagsfärg. Genom att följa dessa riktlinjer kan målet av spelvegetation, med korsande polygonplan, utan alltför tydliga skuggor och artefakter uppnås. / This report focuses on establishing a foundation in how to create game foliage with criss-crossing polygon planes, without getting unwanted artefacts or shadows. There are several different methods to achieve this depending on what kind of lighting the game has implemented, but also which game engine is being used. In this research, only one game engine with basic lighting will be used.The goal was to research several different methods that would give the desired result, which as stated above, was to create working game assets with criss-crossing polygon planes without artefacts. Stages that are not included in this research are how vertex normals work from a mathematics perspective, and how these methods would work in other game engines. Research was focused on how geometry and vertex normals affect the object visual appearance, as well as the impact the material settings in the games engine provided.The survey quickly showed the importance of having a clear vision on what type of game foliage was sought to be created before the work began. Organic and soft shapes are preferred, and it is also important to check how the vertex normals affect the object in the selected game engine. In the game engine itself, it is the material on the object that has the greatest impact on the result, especially the material's subsurface colour. By following these guidelines, the goal was achieving game foliage with less visible shadows and artefact.

Datortekniken har utvecklats vilket innebär att man kan göra mer högupplösta 3D-objekt (se ordlistan) som ser mer realistiska ut än sina föregångare vilket har skapat en trend där 3D-objekten ska vara realistiska. Vi vill bryta den realistiska trenden genom att ta inspiration från det konstnärliga fältet vilket ledde oss till att undersöka de metoder som surrealisterna kan ha använt. Surrealismen innebär att konstnären vill fånga sina inre visioner och drömbilder. Undersökningen sker med fokus på metoden kollage, utklippta bilder som sätts ihop till en bild, såsom bland annat Max Ernst utförde det. Vidare testas våra egna varianter av kollage och därefter diskuteras arbetsflödet i de olika varianterna. Resultatet visar hur kollage kan se ut när det har inslag av surrealism, samt hur kollage kan användas för att skapa 3D-objekt.

Syftet med denna systematiska litteraturstudie var att sammanställa aktiviteter som beskrevs i forskning om polygoner i geometriundervisning samt analysera vilken form av förståelse dessa ämnade utveckla. Respektive aktivitet analyserades utefter van Hieles beskrivning av olika nivåer av geometriskt tänkande för att svara på frågan vilken förståelse som aktiviteten ämnade utveckla. Resultatet visade att det fanns fyra huvudkategorier av aktiviteter och att den största kategorin utgjordes av laborativa aktiviteter vilka i huvudsak ämnade utveckla van Hieles nivå två för geometriskt tänkande. De tre resterande kategorierna varierade i vilken nivå de ämnade utveckla mellan van Hieles nivå 1–4. / Polygons are included in mathematics education for grades 4–6. The aim of this study was to compile activities described in previous research on polygons through a systematic literature review and analyze what kind of geometric thinking they intended to develop. The activities were individually analyzed through a comparison with van Hiele’s levels about how geometric thinking is developed. The results showed that the research mainly contained explorative tasks which aimed to develop van Hiele’s level two of geometric thinking. Other activities that were found varied in what level of geometric thinking they developed.

<p>Inom många tillämpningar används konforma avbildningar för att transformera tvådimensionella områden till områden med enklare utseende. Ett exempel på ett sådant område är en kanal av varierande tjocklek begränsad av en kontinuerligt deriverbar kurva. I de tillämpningar som har motiverat detta arbete, är det viktigt att dessa egenskaper bevaras i det område en approximativ konform avbildning producerar, men det är också viktigt att begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, särkilt i kanalens båda ändar.</p><p>Denna avhandling behandlar tre olika metoder för att numeriskt konstruera konforma avbildningar mellan ett enkelt standardområde, företrädesvis det övre halvplanet eller enhetscirkeln, och ett område begränsat av en kontinuerligt deriverbar kurva, där begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, exakt eller approximativt.</p><p>Den första metoden är en utveckling av en idé, först beskriven av Peter Henrici, där en modifierad Schwarz-Christoffel-avbildning avbildar det övre halvplanet konformt på en polygon med rundade hörn.</p><p>Med utgångspunkt i denna idé skapas en algoritm för att konstruera avbildningar på godtyckliga områden med släta randkurvor.</p><p>Den andra metoden bygger också den på Schwarz-Christoffel-avbildningen, och utnyttjar det faktum att om enhetscirkeln eller halvplanet avbildas på en polygon kommer ett område Q i det inre av dessa, som till exempel en cirkel med centrum i origo och radie mindre än 1, eller ett område i övre halvplanet begränsat av två strålar, att avbildas på ett område R i det inre av polygonen begränsat av en slät kurva. Vi utvecklar en metod för att hitta ett polygonalt område P, utanför det Omega som man önskar att skapa en avbildning för, sådant att den Schwarz-Christoffel-avbildning som avbildar enhetscirkeln eller halvplanet på P, avbildar Q på Omega.</p><p>I båda dessa fall används tangentpolygoner för att numeriskt bestämma den önskade avbildningen.</p><p>Slutligen beskrivs en metod där en av Don Marshalls så kallade zipper-algoritmer används för att skapa en avbildning mellan det övre</p><p>halvplanet och en godtycklig kanal, begränsad av släta kurvor, som i båda ändar går mot oändligheten som räta parallella linjer.</p> / <p>In many applications, conformal mappings are used to transform two-dimensional regions into simpler ones. One such region for which conformal mappings are needed is a channel bounded by continuously differentiable curves. In the applications that have motivated this work, it is important that the region an approximate conformal mapping produces, has this property, but also that the direction of the curve can be controlled, especially in the ends of the channel.</p><p>This thesis treats three different methods for numerically constructing conformal mappings between the upper half-plane or unit circle and a region bounded by a continuously differentiable curve, where the direction of the curve in a number of control points is controlled, exact or approximately.</p><p>The first method is built on an idea by Peter Henrici, where a modified Schwarz-Christoffel mapping maps the upper half-plane conformally on a polygon with rounded corners. His idea is used in an algorithm by which mappings for arbitrary regions, bounded by smooth curves are constructed.</p><p>The second method uses the fact that a Schwarz-Christoffel mapping from the upper half-plane or unit circle to a polygon maps a region Q inside the half-plane or circle, for example a circle with radius less than 1 or a sector in the half--plane, on a region Omega inside the polygon bounded by a smooth curve. Given such a region Omega, we develop methods to find a suitable outer polygon and corresponding Schwarz-Christoffel mapping that gives a mapping from Q to Omega.</p><p>Both these methods use the concept of tangent polygons to numerically determine the coefficients in the mappings.</p><p>Finally, we use one of Don Marshall's zipper algorithms to construct conformal mappings from the upper half--plane to channels bounded by arbitrary smooth curves, with the additional property that they are parallel straight lines when approaching infinity.</p>

Inom många tillämpningar används konforma avbildningar för att transformera tvådimensionella områden till områden med enklare utseende. Ett exempel på ett sådant område är en kanal av varierande tjocklek begränsad av en kontinuerligt deriverbar kurva. I de tillämpningar som har motiverat detta arbete, är det viktigt att dessa egenskaper bevaras i det område en approximativ konform avbildning producerar, men det är också viktigt att begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, särkilt i kanalens båda ändar. Denna avhandling behandlar tre olika metoder för att numeriskt konstruera konforma avbildningar mellan ett enkelt standardområde, företrädesvis det övre halvplanet eller enhetscirkeln, och ett område begränsat av en kontinuerligt deriverbar kurva, där begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, exakt eller approximativt. Den första metoden är en utveckling av en idé, först beskriven av Peter Henrici, där en modifierad Schwarz-Christoffel-avbildning avbildar det övre halvplanet konformt på en polygon med rundade hörn. Med utgångspunkt i denna idé skapas en algoritm för att konstruera avbildningar på godtyckliga områden med släta randkurvor. Den andra metoden bygger också den på Schwarz-Christoffel-avbildningen, och utnyttjar det faktum att om enhetscirkeln eller halvplanet avbildas på en polygon kommer ett område Q i det inre av dessa, som till exempel en cirkel med centrum i origo och radie mindre än 1, eller ett område i övre halvplanet begränsat av två strålar, att avbildas på ett område R i det inre av polygonen begränsat av en slät kurva. Vi utvecklar en metod för att hitta ett polygonalt område P, utanför det Omega som man önskar att skapa en avbildning för, sådant att den Schwarz-Christoffel-avbildning som avbildar enhetscirkeln eller halvplanet på P, avbildar Q på Omega. I båda dessa fall används tangentpolygoner för att numeriskt bestämma den önskade avbildningen. Slutligen beskrivs en metod där en av Don Marshalls så kallade zipper-algoritmer används för att skapa en avbildning mellan det övre halvplanet och en godtycklig kanal, begränsad av släta kurvor, som i båda ändar går mot oändligheten som räta parallella linjer. / In many applications, conformal mappings are used to transform two-dimensional regions into simpler ones. One such region for which conformal mappings are needed is a channel bounded by continuously differentiable curves. In the applications that have motivated this work, it is important that the region an approximate conformal mapping produces, has this property, but also that the direction of the curve can be controlled, especially in the ends of the channel. This thesis treats three different methods for numerically constructing conformal mappings between the upper half-plane or unit circle and a region bounded by a continuously differentiable curve, where the direction of the curve in a number of control points is controlled, exact or approximately. The first method is built on an idea by Peter Henrici, where a modified Schwarz-Christoffel mapping maps the upper half-plane conformally on a polygon with rounded corners. His idea is used in an algorithm by which mappings for arbitrary regions, bounded by smooth curves are constructed. The second method uses the fact that a Schwarz-Christoffel mapping from the upper half-plane or unit circle to a polygon maps a region Q inside the half-plane or circle, for example a circle with radius less than 1 or a sector in the half--plane, on a region Omega inside the polygon bounded by a smooth curve. Given such a region Omega, we develop methods to find a suitable outer polygon and corresponding Schwarz-Christoffel mapping that gives a mapping from Q to Omega. Both these methods use the concept of tangent polygons to numerically determine the coefficients in the mappings. Finally, we use one of Don Marshall's zipper algorithms to construct conformal mappings from the upper half--plane to channels bounded by arbitrary smooth curves, with the additional property that they are parallel straight lines when approaching infinity.