Dans ce mémoire, nous avons utilisé le logiciel R pour la programmation. / Le présent mémoire porte sur les séries chronologiques qui en plus d’être observées dans le temps, présentent également une composante spatiale. Plus particulièrement, nous étudions une certaine classe de modèles, les modèles autorégressifs spatio-temporels généralisés, ou GSTAR. Dans un premier temps, des liens sont effectués avec les modèles vectoriels autorégressifs (VAR). Nous obtenons explicitement la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles pour les modèles GSTAR en supposant que le terme d’erreur est un bruit blanc gaussien, ce qui représente une première contribution originale. De ce résultat, des tests de type portemanteau sont proposés, dont les distributions asymptotiques sont étudiées. Afin d’illustrer la performance des statistiques de test, une étude de simulations est entreprise où des modèles GSTAR sont simulés et correctement ajustés. La méthodologie est illustrée avec des données réelles. Il est question de la production mensuelle de thé en Java occidental pour 24 villes, pour la période janvier 1992 à décembre 1999. / In this master thesis, time series models are studied, which have also a spatial component, in addition to the usual time index. More particularly, we study a certain class of models, the Generalized Space-Time AutoRegressive (GSTAR) time series models. First, links are considered between Vector AutoRegressive models(VAR) and GSTAR models. We obtain explicitly the asymptotic distribution of the residual autocovariances for the GSTAR models, assuming that the error term is a Gaussian white noise, which is a first original contribution. From that result, test statistics of the portmanteau type are proposed, and their asymptotic distributions are studied. In order to illustrate the behaviour of the test statistics, a simulation study is conducted where GSTAR models are simulated and correctly fitted. The methodology is illustrated with monthly real data concerning the production of tea in west Java for 24 cities from the period January 1992 to December 1999.

Le présent mémoire porte sur les séries chronologiques qui en plus d’être observées dans le temps, présentent également une composante spatiale. Plus particulièrement, nous étudions une certaine classe de modèles, les modèles autorégressifs spatio-temporels généralisés, ou GSTAR. Dans un premier temps, des liens sont effectués avec les modèles vectoriels autorégressifs (VAR). Nous obtenons explicitement la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles pour les modèles GSTAR en supposant que le terme d’erreur est un bruit blanc gaussien, ce qui représente une première contribution originale. De ce résultat, des tests de type portemanteau sont proposés, dont les distributions asymptotiques sont étudiées. Afin d’illustrer la performance des statistiques de test, une étude de simulations est entreprise où des modèles GSTAR sont simulés et correctement ajustés. La méthodologie est illustrée avec des données réelles. Il est question de la production mensuelle de thé en Java occidental pour 24 villes, pour la période janvier 1992 à décembre 1999. / In this master thesis, time series models are studied, which have also a spatial component, in addition to the usual time index. More particularly, we study a certain class of models, the Generalized Space-Time AutoRegressive (GSTAR) time series models. First, links are considered between Vector AutoRegressive models(VAR) and GSTAR models. We obtain explicitly the asymptotic distribution of the residual autocovariances for the GSTAR models, assuming that the error term is a Gaussian white noise, which is a first original contribution. From that result, test statistics of the portmanteau type are proposed, and their asymptotic distributions are studied. In order to illustrate the behaviour of the test statistics, a simulation study is conducted where GSTAR models are simulated and correctly fitted. The methodology is illustrated with monthly real data concerning the production of tea in west Java for 24 cities from the period January 1992 to December 1999. / Dans ce mémoire, nous avons utilisé le logiciel R pour la programmation.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

The main objective of the thesis was to investigate the feasibility of accurately and precisely fore- casting the number of both national and provincial bene ciaries of social security grants in South Africa, using simple autoregressive integrated moving average (ARIMA) models. The series of the monthly number of bene ciaries of the old age, child support, foster care and disability grants from April 2004 to March 2010 were used to achieve the objectives of the thesis. The conclusions from analysing the series were that: (1) ARIMA models for forecasting are province and grant-type spe- ci c; (2) for some grants, national forecasts obtained by aggregating provincial ARIMA forecasts are more accurate and precise than those obtained by ARIMA modelling national series; and (3) for some grants, forecasts obtained by modelling the latest half of the series were more accurate and precise than those obtained from modelling the full series. / Mathematical Sciences / M.Sc. (Statistics)

Dans la modélisation statistique, nous sommes le plus souvent amené à supposer que le phénomène étudié est généré par une structure pouvant s’ajuster aux données observées. Cette structure fait apparaître une partie principale qui représente le mieux possible le phénomène étudié et qui devrait expliquer les données et une partie supposée négligeable appelée erreur ou innovation. Cette structure complexe est communément appelée un modèle, dont la forme peut être plus ou moins complexe. Afin de simplifier la structure, il est souvent supposé qu’elle repose sur un nombre fini de valeurs, appelées paramètres. Basé sur les données, ces paramètres sont estimés avec ce que l’on appelle des estimateurs. La qualité du modèle pour les données à notre disposition est également fonction des estimateurs et de leurs propriétés, par exemple, est-ce que les estimateurs sont raisonnablement proches des valeurs idéales, c’est-à-dire les vraies valeurs. Des questions d’importance portent sur la qualité de l’ajustement d’un modèle aux données, ce qui se fait par l’étude des propriétés probabilistes et statistiques du terme d’erreur. Aussi, l’étude des relations ou l’absence de ces dernières entre les phénomènes sous des hypothèses complexes sont aussi d’intérêt. Des approches possibles pour cerner ce genre de questions consistent dans l’utilisation des tests portemanteaux, dits également tests de diagnostic. La thèse est présentée sous forme de trois projets. Le premier projet est rédigé en langue anglaise. Il s’agit en fait d’un article actuellement soumis dans une revue avec comité de lecture. Dans ce projet, nous étudions le modèle vectoriel à erreurs multiplicatives (vMEM) pour lequel nous utilisons les propriétés des estimateurs des paramètres du modèle selon la méthode des moments généralisés (GMM) afin d’établir la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles. Ceci nous permet de proposer des nouveaux tests diagnostiques pour ce type de modèle. Sous l’hypothèse nulle d’adéquation du modèle, nous montrons que la statistique usuelle de Hosking-Ljung-Box converge vers une somme pondérée de lois de khi-carré indépendantes à un degré de liberté. Un test généralisé de Hosking-Ljung-Box est aussi obtenu en comparant la densité spectrale des résidus de l’estimation et celle présumée sous l’hypothèse nulle. Un avantage des tests spectraux est qu’ils nécessitent des estimateurs qui convergent à la vitesse n−1/2 où n est la taille de l’échantillon, et leur utilisation n’est pas restreinte à une technique particulière, comme par exemple la méthode des moments généralisés. Dans le deuxième projet, nous établissons la distribution asymptotique sous l’hypothèse de faible dépendance des covariances croisées de deux processus stationnaires en covariance. La faible dépendance ici est définie en terme de l’effet limité d’une observation donnée sur les observations futures. Nous utilisons la notion de stabilité et le concept de contraction géométrique des moments. Ces conditions sont plus générales que celles de l’invariance des moments conditionnels d’ordre un à quatre utilisée jusque là par plusieurs auteurs. Un test statistique basé sur les covariances croisées et la matrice des variances et covariances de leur distribution asymptotique est alors proposé et sa distribution asymptotique établie. Dans l’implémentation du test, la matrice des variances et covariances des covariances croisées est estimée à l’aide d’une procédure autorégressive vectorielle robuste à l’autocorrélation et à l’hétéroscédasticité. Des simulations sont ensuite effectuées pour étudier les propriétés du test proposé. Dans le troisième projet, nous considérons un modèle périodique multivarié et cointégré. La présence de cointégration entraîne l’existence de combinaisons linéaires périodiquement stationnaires des composantes du processus étudié. Le nombre de ces combinaisons linéaires linéairement indépendantes est appelé rang de cointégration. Une méthode d’estimation en deux étapes est considérée. La première méthode est appelée estimation de plein rang. Dans cette approche, le rang de cointégration est ignoré. La seconde méthode est appelée estimation de rang réduit. Elle tient compte du rang de cointégration. Cette dernière est une approche non linéaire basée sur des itérations dont la valeur initiale est l’estimateur de plein rang. Les propriétés asymptotiques de ces estimateurs sont aussi établies. Afin de vérifier l’adéquation du modèle, des statistiques de test de type portemanteau sont considérées et leurs distributions asymptotiques sont étudiées. Des simulations sont par la suite présentées afin d’illustrer le comportement du test proposé. / In statistical modeling, we assume that the phenomenon of interest is generated by a model that can be fitted to the observed data. The part of the phenomenon not explained by the model is called error or innovation. There are two parts in the model. The main part is supposed to explain the observed data, while the unexplained part which is supposed to be negligible is also called error or innovation. In order to simplify the structures, the model are often assumed to rely on a finite set of parameters. The quality of a model depends also on the parameter estimators and their properties. For example, are the estimators relatively close to the true parameters ? Some questions also address the goodness-of-fit of the model to the observed data. This question is answered by studying the statistical and probabilistic properties of the innovations. On the other hand, it is also of interest to evaluate the presence or the absence of relationships between the observed data. Portmanteau or diagnostic type tests are useful to address such issue. The thesis is presented in the form of three projects. The first project is written in English as a scientific paper. It was recently submitted for publication. In that project, we study the class of vector multiplicative error models (vMEM). We use the properties of the Generalized Method of Moments to derive the asymptotic distribution of sample autocovariance function. This allows us to propose a new test statistic. Under the null hypothesis of adequacy, the asymptotic distributions of the popular Hosking-Ljung-Box (HLB) test statistics are found to converge in distribution to weighted sums of independent chi-squared random variables. A generalized HLB test statistic is motivated by comparing a vector spectral density estimator of the residuals with the spectral density calculated under the null hypothesis. In the second project, we derive the asymptotic distribution under weak dependence of cross covariances of covariance stationary processes. The weak dependence is defined in term of the limited effect of a given information on future observations. This recalls the notion of stability and geometric moment contraction. These conditions of weak dependence defined here are more general than the invariance of conditional moments used by many authors. A test statistic based on cross covariances is proposed and its asymptotic distribution is established. In the elaboration of the test statistics, the covariance matrix of the cross covariances is obtained from a vector autoregressive procedure robust to autocorrelation and heteroskedasticity. Simulations are also carried on to study the properties of the proposed test and also to compare it to existing tests. In the third project, we consider a cointegrated periodic model. Periodic models are present in the domain of meteorology, hydrology and economics. When modelling many processes, it can happen that the processes are just driven by a common trend. This situation leads to spurious regressions when the series are integrated but have some linear combinations that are stationary. This is called cointegration. The number of stationary linear combinations that are linearly independent is called cointegration rank. So, to model the real relationship between the processes, it is necessary to take into account the cointegration rank. In the presence of periodic time series, it is called periodic cointegration. It occurs when time series are periodically integrated but have some linear combinations that are periodically stationary. A two step estimation method is considered. The first step is the full rank estimation method that ignores the cointegration rank. It provides initial estimators to the second step estimation which is the reduced rank estimation. It is non linear and iterative. Asymptotic properties of the estimators are also established. In order to check for model adequacy, portmanteau type tests and their asymptotic distributions are also derived and their asymptotic distribution are studied. Simulation results are also presented to show the behaviour of the proposed test.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles de moyennes conditionnelles de séries temporelles à valeurs entières. Tout d’abord, nous proposons l’estimateur de quasi maximum de vraisemblance de Poisson (EQMVP) pour les paramètres de la moyenne conditionnelle. Nous montrons que, sous des conditions générales de régularité, cet estimateur est consistant et asymptotiquement normal pour une grande classe de modèles. Étant donné que les paramètres de la moyenne conditionnelle de certains modèles sont positivement contraints, comme par exemple dans les modèles INAR (INteger-valued AutoRegressive) et les modèles INGARCH (INteger-valued Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedastic), nous étudions la distribution asymptotique de l’EQMVP lorsque le paramètre est sur le bord de l’espace des paramètres. En tenant compte de cette dernière situation, nous déduisons deux versions modifiées du test de Wald pour la significativité des paramètres et pour la moyenne conditionnelle constante. Par la suite, nous accordons une attention particulière au problème de validation des modèles des séries temporelles à valeurs entières en proposant un test portmanteau pour l’adéquation de l’ajustement. Nous dérivons la distribution jointe de l’EQMVP et des autocovariances résiduelles empiriques. Puis, nous déduisons la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles estimées, et aussi la statistique du test. Enfin, nous proposons l’EQMVP pour estimer équation-par-équation (EpE) les paramètres de la moyenne conditionnelle des séries temporelles multivariées à valeurs entières. Nous présentons les hypothèses de régularité sous lesquelles l’EQMVP-EpE est consistant et asymptotiquement normal, et appliquons les résultats obtenus à plusieurs modèles des séries temporelles multivariées à valeurs entières. / The framework of this PhD dissertation is the conditional mean count time seriesmodels. We propose the Poisson quasi-maximum likelihood estimator (PQMLE) for the conditional mean parameters. We show that, under quite general regularityconditions, this estimator is consistent and asymptotically normal for a wide classeof count time series models. Since the conditional mean parameters of some modelsare positively constrained, as, for example, in the integer-valued autoregressive (INAR) and in the integer-valued generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (INGARCH), we study the asymptotic distribution of this estimator when the parameter lies at the boundary of the parameter space. We deduce a Waldtype test for the significance of the parameters and another Wald-type test for the constance of the conditional mean. Subsequently, we propose a robust and general goodness-of-fit test for the count time series models. We derive the joint distribution of the PQMLE and of the empirical residual autocovariances. Then, we deduce the asymptotic distribution of the estimated residual autocovariances and also of a portmanteau test. Finally, we propose the PQMLE for estimating, equation-by-equation (EbE), the conditional mean parameters of a multivariate time series of counts. By using slightly different assumptions from those given for PQMLE, we show the consistency and the asymptotic normality of this estimator for a considerable variety of multivariate count time series models.

The main objective of the thesis was to investigate the feasibility of accurately and precisely fore- casting the number of both national and provincial bene ciaries of social security grants in South Africa, using simple autoregressive integrated moving average (ARIMA) models. The series of the monthly number of bene ciaries of the old age, child support, foster care and disability grants from April 2004 to March 2010 were used to achieve the objectives of the thesis. The conclusions from analysing the series were that: (1) ARIMA models for forecasting are province and grant-type spe- ci c; (2) for some grants, national forecasts obtained by aggregating provincial ARIMA forecasts are more accurate and precise than those obtained by ARIMA modelling national series; and (3) for some grants, forecasts obtained by modelling the latest half of the series were more accurate and precise than those obtained from modelling the full series. / Mathematical Sciences / M.Sc. (Statistics)