De modo a satisfazer aspectos de resistência, custo ou conforto, o aperfeiçoamento do desempenho das estruturas é uma meta sempre almejada na Engenharia. Melhorias têm sido alcançadas dado ao crescente uso de materiais compósitos, pois estes apresentam propriedades físicas diferenciadas capazes de atender as necessidades de projeto. Associado ao emprego de compósitos, o estudo da plasticidade demonstra uma interessante alternativa para aumentar o desempenho estrutural ao conferir uma capacidade resistente adicional ao conjunto. Entretanto, alguns problemas podem ser encontrados na análise elastoplástica de compósitos, além das próprias dificuldades inerentes à incorporação de fibras na matriz, no caso de compósitos reforçados. A forma na qual um compósito reforçado por fibras e suas fases têm sua representação e simulação é de extrema importância para garantir que os resultados obtidos sejam compatíveis com a realidade. À medida que se desenvolvem modelos mais refinados, surgem problemas referentes ao custo computacional, além da necessidade de compatibilização dos graus de liberdade entre os nós das malhas de elementos finitos da matriz e do reforço, muitas vezes exigindo a coincidência das referidas malhas. O presente trabalho utiliza formulações que permitem a representação de compósitos reforçados com fibras sem que haja a necessidade de coincidência entre malhas. Além disso, este permite a simulação do meio e do reforço em regime elastoplástico com o objetivo de melhor estudar o real comportamento. O modelo constitutivo adotado para a plasticidade é o de von Mises 2D associativo com encruamento linear positivo e a solução deste modelo foi obtida através de um processo iterativo. A formulação de elementos finitos posicional é adotada com descrição Lagrangeana Total e apresenta as posições do corpo no espaço como parâmetros nodais. Com o intuito de averiguar a correta implementação das formulações consideradas, exemplos para validação e apresentação das funcionalidades do código computacional desenvolvido foram analisados. / In order to satisfy strength, cost or comfort aspects, the improvement of the structural performance is a mark always desired in Engineering. Progress has been achieved due to the use of composite materials, because these present different physical properties capable of attending the needs of projects. Associated to the use of composites, the study of plasticity presents an interesting alternative to raise the structural performance by providing an additional resistance capability to the set. However, some problems may be found in the elastoplastic analysis of composites, besides the inherent difficulties of fiber insertion in the matrix, in the case of fiber reinforced composites. The way that the fiber reinforced composite and its phases are represented and simulated are of extreme importance to assure that the obtained results are compatible to the reality. As more refined models are developed, problems arise concerning computational cost and the need of compatibilization of the degrees of freedom between the nodes of the mashes of the matrix and the reinforcement, many times demanding the coincidence of the refered meshes. The present work utilizes formulations that allow the representation of the fiber reinforced composite without the need of mesh coincidence. It also enables the simulation of the medium and the reinforcement at the elastoplastic regime, with the objective study better the real behaviour. The constitutive model for the plasticity adopted is the von Mises 2D associative with a positive linear hardening and the solution of this model was obtained through an iterative procedure. The positional finite element method is adopted with a Total Lagrangean description and uses the positons of the body in space as nodal parameters. With the aim to ensure the correct implementation of the considered formulations, examples for validation and presentation of the functionalities of the developed computacional code were analized.

De modo a satisfazer aspectos de resistência, custo ou conforto, o aperfeiçoamento do desempenho das estruturas é uma meta sempre almejada na Engenharia. Melhorias têm sido alcançadas dado ao crescente uso de materiais compósitos, pois estes apresentam propriedades físicas diferenciadas capazes de atender as necessidades de projeto. Associado ao emprego de compósitos, o estudo da plasticidade demonstra uma interessante alternativa para aumentar o desempenho estrutural ao conferir uma capacidade resistente adicional ao conjunto. Entretanto, alguns problemas podem ser encontrados na análise elastoplástica de compósitos, além das próprias dificuldades inerentes à incorporação de fibras na matriz, no caso de compósitos reforçados. A forma na qual um compósito reforçado por fibras e suas fases têm sua representação e simulação é de extrema importância para garantir que os resultados obtidos sejam compatíveis com a realidade. À medida que se desenvolvem modelos mais refinados, surgem problemas referentes ao custo computacional, além da necessidade de compatibilização dos graus de liberdade entre os nós das malhas de elementos finitos da matriz e do reforço, muitas vezes exigindo a coincidência das referidas malhas. O presente trabalho utiliza formulações que permitem a representação de compósitos reforçados com fibras sem que haja a necessidade de coincidência entre malhas. Além disso, este permite a simulação do meio e do reforço em regime elastoplástico com o objetivo de melhor estudar o real comportamento. O modelo constitutivo adotado para a plasticidade é o de von Mises 2D associativo com encruamento linear positivo e a solução deste modelo foi obtida através de um processo iterativo. A formulação de elementos finitos posicional é adotada com descrição Lagrangeana Total e apresenta as posições do corpo no espaço como parâmetros nodais. Com o intuito de averiguar a correta implementação das formulações consideradas, exemplos para validação e apresentação das funcionalidades do código computacional desenvolvido foram analisados. / In order to satisfy strength, cost or comfort aspects, the improvement of the structural performance is a mark always desired in Engineering. Progress has been achieved due to the use of composite materials, because these present different physical properties capable of attending the needs of projects. Associated to the use of composites, the study of plasticity presents an interesting alternative to raise the structural performance by providing an additional resistance capability to the set. However, some problems may be found in the elastoplastic analysis of composites, besides the inherent difficulties of fiber insertion in the matrix, in the case of fiber reinforced composites. The way that the fiber reinforced composite and its phases are represented and simulated are of extreme importance to assure that the obtained results are compatible to the reality. As more refined models are developed, problems arise concerning computational cost and the need of compatibilization of the degrees of freedom between the nodes of the mashes of the matrix and the reinforcement, many times demanding the coincidence of the refered meshes. The present work utilizes formulations that allow the representation of the fiber reinforced composite without the need of mesh coincidence. It also enables the simulation of the medium and the reinforcement at the elastoplastic regime, with the objective study better the real behaviour. The constitutive model for the plasticity adopted is the von Mises 2D associative with a positive linear hardening and the solution of this model was obtained through an iterative procedure. The positional finite element method is adopted with a Total Lagrangean description and uses the positons of the body in space as nodal parameters. With the aim to ensure the correct implementation of the considered formulations, examples for validation and presentation of the functionalities of the developed computacional code were analized.

O presente trabalho teve por objetivo desenvolver um código computacional com base no método dos elementos finitos, para análises termoestruturais de estruturas de aço aporticadas quando expostas a ações térmicas típicas de situações de incêndio. O código utilizado nas análises estruturais emprega elemento finito de pórtico não linear 3-D de formulação posicional. A formulação posicional utiliza como graus de liberdade as posições dos nós ao invés dos deslocamentos, resultando em uma descrição intrinsecamente não linear do comportamento geométrico das estruturas. Podem ser consideradas seções transversais quaisquer com o elemento finito em questão, e sua representação geral é tridimensional. Adota-se uma lei constitutiva tridimensional completa e a cinemática de Reissner, de modo que o modelo de plasticidade considera o efeito combinado das tensões normais e cisalhantes para verificação do critério 3-D de plasticidade. O código computacional desenvolvido permite que sejam realizadas análises térmicas transientes com base no método dos elementos finitos para se determinar campos de temperatura nas seções transversais dos elementos estruturais sujeitos ao fogo. Assim, a influência da temperatura nas propriedades dos materiais é levada em consideração para se avaliar o desempenho da estrutura em cada instante da análise em situação de incêndio, até que o colapso estrutural seja verificado. Análises de casos presentes na literatura são utilizados para validar os resultados obtidos, os quais comprovam a precisão do código computacional desenvolvido e da formulação posicional quando aplicados a análises de estruturas de aço aporticadas à temperatura ambiente e em situação de incêndio. / The present work deals with the development of a computational code based on the finite element method for thermo-structural analyses of steel framed structures when exposed to typical thermal actions of fire condition. The structural analysis is performed considering a computer code that uses 3-D frame nonlinear finite elements of positional formulation. This formulation is based on the positions of the finite element nodes, instead of displacements, which results in an intrinsically nonlinear description of the geometric behavior of structures. The cross-sections of finite elements can be of any geometry due to the tridimensional representation. A complete tridimensional constitutive law is used and, therefore, the effect of combined normal and shear stresses is taken into account for the tridimensional plasticity evolution. The developed computational code allows performing transient thermal analyses to determine the temperature field over the cross-sections of the structural elements subjected to fire. The influence of temperature on the material properties is considered to evaluate the structure response at each defined instant of the fire analysis, until the collapse occurs. The achieved results, when compared to those found in the literature, allow verifying the precision of the developed computational code when applied to steel frame analysis at ambient temperature and in fire situation.

A utilização de materiais compósitos tornou-se uma alternativa importante em muitas aplicações dentro de diversas áreas da engenharia, pois seus constituintes podem agregar propriedades mecânicas, térmicas e acústicas ao compósito, garantindo eficiência e baixo custo. Com isso, faz-se necessário um maior conhecimento do comportamento mecânico desses materiais diante das solicitações, principalmente no que diz respeito aos campos de deslocamento, deformações e tensões. O presente trabalho tem por finalidade a análise, em nível macroscópico, de estruturas bidimensionais elásticas constituídas de materiais compósitos particulados, utilizando formulação desenvolvida no contexto do Grupo de Mecânica Computacional (GMEC), do Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), da Universidade de São Paulo (USP), no qual se insere a presente pesquisa. A formulação utilizada baseia-se no Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) e foi desenvolvida em nível mesoscópico por tratar da interação entre matriz e partículas. Tal formulação possibilita a consideração da interação partícula-matriz sem a necessidade de coincidência entre as malhas da matriz e das partículas e sem o aumento do número de graus de liberdade dos problemas, admitindo-se aderência perfeita entre as fases. A formulação considera material isotrópico e comportamento não-linear geométrico das fases. A aplicação da formulação foi aqui proposta com o intuito de avaliar a influência da geometria, tamanho, fração volumétrica, distribuição e propriedades mecânicas das partículas adotadas, no comportamento global da estrutura em nível macroscópico. Foram desenvolvidos e apresentados exemplos de aplicação, com comparação dos resultados numéricos das análises com resultados de ensaios experimentais encontrados na literatura, bem como com resultados de modelos matemáticos de homogeneização e modelos numéricos propostos por outros autores, que utilizaram o método dos elementos finitos e técnicas de homogeneização assintótica. / The use of composite materials has become an important alternative in many applications in different areas of engineering, because their constituents can add mechanical, thermal and acoustic properties to the composite, ensuring efficiency and low cost. Thus, it is necessary a better understanding of the mechanical behavior of these materials, mainly regarding displacement, stress and strain fields. This study aims to analyze, in macroscopic scale, two-dimensional elastic structures made of particulate composite materials, using formulation developed in the context of the Grupo de Mecânica Computacional (GMEC), of Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), of Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), of Universidade de São Paulo (USP). The formulation is based on the Positional Finite Element Method and was developed in mesoscopic level, considering the matrix-particles interaction and neglecting the interface, by means of kinematic relations used to ensure adherence of the particles to the matrix without introducing new degrees of freedom in the problem. The formulation considers isotropic material and geometric non-linear behavior of the composite phases. The application of the formulation was proposed in this work in order to evaluate the influence of geometry, size, volume fraction, distribution and mechanical properties of the particles adopted in the global behavior of the structure in macroscopic level. Numerical examples were developed and presented in order to compare the numerical results of the analysis with results obtained in experimental studies found in the literature, as well as results of mathematical models and numerical models using finite element method and the asymptotic homogenization technique.

Neste estudo se propõe o desenvolvimento de um modelo numérico para a ligação deslizante entre elementos sólidos bidimensionais, aplicável à simulação de sistemas deslizantes de isolação de base para estruturas. A formulação implementada é baseada no Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) para análise dinâmica não linear geométrica de estruturas escrita na forma Lagrangeana total. Elementos triangulares planos e isoparamétricos de aproximação cúbica com matriz de massa completa são utilizados principalmente na elaboração da parte sólida dos dispositivos de ligação entre estruturas reticuladas e a base móvel. Esses elementos também poderm ser utilizados na modelagem da estrutura em si, porém, para esse fim, elementos finitos isoparamétricos de barra geral com massa distribuída por unidade de comprimento foram implementados. As equações de movimento são integradas no tempo aplicando o método de Newmark e o problema de deslizamento é resolvido com o algoritmo baseado na técnica dos multiplicadores de Lagrange, onde a restrição das posições de um nó escravo é feita em relação a uma sequência de superfícies mestres. Elementos de barra geral foram usados para simular as superfícies mestres de contato, o que aumenta as possibilidades de aplicações, incluindo mecanismos compostos apenas por barras gerais. Analisam-se exemplos disponíveis na literatura para a validação da formulação proposta e propõem-se aplicações diversas na engenharia das estruturas. / This study proposes the development of a numerical model for the sliding joint between two-dimensional solid elements, applicable to the simulation of sliding base isolation systems. The implemented formulation is based on the Positional Finite Element Method (PFEM) for geometrical nonlinear dynamic analysis of structures written in the total Lagrangian form. Plane and isoparametric triangular cubic approximation elements with full mass matrix are mainly used in the elaboration of the solid part of the devices of joints between reticulated structures and mobile base. These elements can also be used in the modeling of the structure itself, however, for that purpose, isoparametric elements of general bar with mass distributed per unit of length were implemented. The motion equations are integrated in time by applying the Newmark method and the sliding problem is solved with the algorithm based on the technique of Lagrange multipliers, where the constraint of the positions of a slave node is made in relation to a sequence of master surfaces. General bar elements were used to simulate the master contact surface, which increases the possibilities of applications, including mechanisms composed only of general bars. Analyze examples available in the literature for the validation of the proposed formulation and proposed diverse applications in the engineering of the structures.

A reação álcali-agregado (RAA) é uma reação química complexa envolvendo os álcalis presentes no cimento Portland e minerais silicosos presentes em alguns tipos de agregados reativos. O produto dessa reação expande quando em contato com a água, causando fissuração e deformação, o que afeta a durabilidade e importantes propriedades mecânicas das estruturas de concreto. Entretanto, estruturas que estejam sob tensão de compressão, aplicada por carregamentos ou induzida pela presença de armadura, apresentam expansão reduzida na direção comprimida. Uma das ferramentas que se utiliza para a previsão da vida útil de estruturas afetadas pela RAA é a modelagem numérica da expansão do concreto, possibilitando a previsão e projeto de reparos necessários. Nesse contexto, modelos paramétricos combinam os principais fatores que influenciam a reação (reatividade dos constituintes, porosidade, temperatura, umidade e estado de tensões), possibilitando a determinação da distribuição e da taxa de expansão na estrutura. Nessa pesquisa foi desenvolvido um modelo paramétrico cujo principal interesse foi o estudo das tensões induzidas pela presença de fibras e armadura na expansão do concreto afetado pela RAA. O modelo implementado em elementos finitos tem como parâmetros nodais as posições, uma formulação alternativa ao método dos elementos finitos baseado em deslocamentos; a medida de deformação utilizada é a de Green e a lei constitutiva dos materiais é a de Saint-Venant-Kirchhoff. O material composto é discretizado por meio de uma matriz elástica bi-dimensional reforçado por fibras lineares perfeitamente aderidas à matriz. Comparações entre os resultados obtidos por meio do modelo desenvolvido e resultados de trabalhos experimentais comprovam a aplicabilidade e potencialidade do modelo numérico apresentado. / The alkali-aggregate reaction (AAR) is a complex chemical reaction involving alkalis present in the Portland cement paste and siliceous minerals present in some types of reactive aggregates. The product of this reaction expands in contact with water, causing cracking and deformation that affects durability and important mechanical properties of the concrete structures. However, structures under compressive stress, applied or induced by the presence of rebars, the expansion is reduced in the compressed direction. One of the tools used to predict the service life of structures affected by AAR is the numerical modeling of the concrete expansion, allowing prevision and projecting repairs needed. In this context, parametric models combine the main factors that influence the reaction (reactivity of the constituents, porosity, temperature, humidity and stress state), enabling the determination of distribution and rate of expansion in the structure. In this research was developed a parametric model whose main interest was the study of stresses induced by the presence of fibers and rebars in the expansion of concrete affected by AAR. The model implemented in finite element has as nodal parameters positions, an alternative formulation to the finite element method based on displacement; the deformation measurement used is Green and the material constitutive law is the Saint-Venant-Kirchhoff. The composite material is discretized by a two-dimensional elastic matrix reinforced by perfectly adherent linear fibers. Comparisons between the results obtained from the developed model and results of experimental studies demonstrate the applicability and potential of the numerical model presented.

Neste estudo se propõe o desenvolvimento de um modelo numérico para a ligação deslizante entre elementos sólidos bidimensionais, aplicável à simulação de sistemas deslizantes de isolação de base para estruturas. A formulação implementada é baseada no Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) para análise dinâmica não linear geométrica de estruturas escrita na forma Lagrangeana total. Elementos triangulares planos e isoparamétricos de aproximação cúbica com matriz de massa completa são utilizados principalmente na elaboração da parte sólida dos dispositivos de ligação entre estruturas reticuladas e a base móvel. Esses elementos também poderm ser utilizados na modelagem da estrutura em si, porém, para esse fim, elementos finitos isoparamétricos de barra geral com massa distribuída por unidade de comprimento foram implementados. As equações de movimento são integradas no tempo aplicando o método de Newmark e o problema de deslizamento é resolvido com o algoritmo baseado na técnica dos multiplicadores de Lagrange, onde a restrição das posições de um nó escravo é feita em relação a uma sequência de superfícies mestres. Elementos de barra geral foram usados para simular as superfícies mestres de contato, o que aumenta as possibilidades de aplicações, incluindo mecanismos compostos apenas por barras gerais. Analisam-se exemplos disponíveis na literatura para a validação da formulação proposta e propõem-se aplicações diversas na engenharia das estruturas. / This study proposes the development of a numerical model for the sliding joint between two-dimensional solid elements, applicable to the simulation of sliding base isolation systems. The implemented formulation is based on the Positional Finite Element Method (PFEM) for geometrical nonlinear dynamic analysis of structures written in the total Lagrangian form. Plane and isoparametric triangular cubic approximation elements with full mass matrix are mainly used in the elaboration of the solid part of the devices of joints between reticulated structures and mobile base. These elements can also be used in the modeling of the structure itself, however, for that purpose, isoparametric elements of general bar with mass distributed per unit of length were implemented. The motion equations are integrated in time by applying the Newmark method and the sliding problem is solved with the algorithm based on the technique of Lagrange multipliers, where the constraint of the positions of a slave node is made in relation to a sequence of master surfaces. General bar elements were used to simulate the master contact surface, which increases the possibilities of applications, including mechanisms composed only of general bars. Analyze examples available in the literature for the validation of the proposed formulation and proposed diverse applications in the engineering of the structures.

A reação álcali-agregado (RAA) é uma reação química complexa envolvendo os álcalis presentes no cimento Portland e minerais silicosos presentes em alguns tipos de agregados reativos. O produto dessa reação expande quando em contato com a água, causando fissuração e deformação, o que afeta a durabilidade e importantes propriedades mecânicas das estruturas de concreto. Entretanto, estruturas que estejam sob tensão de compressão, aplicada por carregamentos ou induzida pela presença de armadura, apresentam expansão reduzida na direção comprimida. Uma das ferramentas que se utiliza para a previsão da vida útil de estruturas afetadas pela RAA é a modelagem numérica da expansão do concreto, possibilitando a previsão e projeto de reparos necessários. Nesse contexto, modelos paramétricos combinam os principais fatores que influenciam a reação (reatividade dos constituintes, porosidade, temperatura, umidade e estado de tensões), possibilitando a determinação da distribuição e da taxa de expansão na estrutura. Nessa pesquisa foi desenvolvido um modelo paramétrico cujo principal interesse foi o estudo das tensões induzidas pela presença de fibras e armadura na expansão do concreto afetado pela RAA. O modelo implementado em elementos finitos tem como parâmetros nodais as posições, uma formulação alternativa ao método dos elementos finitos baseado em deslocamentos; a medida de deformação utilizada é a de Green e a lei constitutiva dos materiais é a de Saint-Venant-Kirchhoff. O material composto é discretizado por meio de uma matriz elástica bi-dimensional reforçado por fibras lineares perfeitamente aderidas à matriz. Comparações entre os resultados obtidos por meio do modelo desenvolvido e resultados de trabalhos experimentais comprovam a aplicabilidade e potencialidade do modelo numérico apresentado. / The alkali-aggregate reaction (AAR) is a complex chemical reaction involving alkalis present in the Portland cement paste and siliceous minerals present in some types of reactive aggregates. The product of this reaction expands in contact with water, causing cracking and deformation that affects durability and important mechanical properties of the concrete structures. However, structures under compressive stress, applied or induced by the presence of rebars, the expansion is reduced in the compressed direction. One of the tools used to predict the service life of structures affected by AAR is the numerical modeling of the concrete expansion, allowing prevision and projecting repairs needed. In this context, parametric models combine the main factors that influence the reaction (reactivity of the constituents, porosity, temperature, humidity and stress state), enabling the determination of distribution and rate of expansion in the structure. In this research was developed a parametric model whose main interest was the study of stresses induced by the presence of fibers and rebars in the expansion of concrete affected by AAR. The model implemented in finite element has as nodal parameters positions, an alternative formulation to the finite element method based on displacement; the deformation measurement used is Green and the material constitutive law is the Saint-Venant-Kirchhoff. The composite material is discretized by a two-dimensional elastic matrix reinforced by perfectly adherent linear fibers. Comparisons between the results obtained from the developed model and results of experimental studies demonstrate the applicability and potential of the numerical model presented.

A utilização de materiais compósitos tornou-se uma alternativa importante em muitas aplicações dentro de diversas áreas da engenharia, pois seus constituintes podem agregar propriedades mecânicas, térmicas e acústicas ao compósito, garantindo eficiência e baixo custo. Com isso, faz-se necessário um maior conhecimento do comportamento mecânico desses materiais diante das solicitações, principalmente no que diz respeito aos campos de deslocamento, deformações e tensões. O presente trabalho tem por finalidade a análise, em nível macroscópico, de estruturas bidimensionais elásticas constituídas de materiais compósitos particulados, utilizando formulação desenvolvida no contexto do Grupo de Mecânica Computacional (GMEC), do Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), da Universidade de São Paulo (USP), no qual se insere a presente pesquisa. A formulação utilizada baseia-se no Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) e foi desenvolvida em nível mesoscópico por tratar da interação entre matriz e partículas. Tal formulação possibilita a consideração da interação partícula-matriz sem a necessidade de coincidência entre as malhas da matriz e das partículas e sem o aumento do número de graus de liberdade dos problemas, admitindo-se aderência perfeita entre as fases. A formulação considera material isotrópico e comportamento não-linear geométrico das fases. A aplicação da formulação foi aqui proposta com o intuito de avaliar a influência da geometria, tamanho, fração volumétrica, distribuição e propriedades mecânicas das partículas adotadas, no comportamento global da estrutura em nível macroscópico. Foram desenvolvidos e apresentados exemplos de aplicação, com comparação dos resultados numéricos das análises com resultados de ensaios experimentais encontrados na literatura, bem como com resultados de modelos matemáticos de homogeneização e modelos numéricos propostos por outros autores, que utilizaram o método dos elementos finitos e técnicas de homogeneização assintótica. / The use of composite materials has become an important alternative in many applications in different areas of engineering, because their constituents can add mechanical, thermal and acoustic properties to the composite, ensuring efficiency and low cost. Thus, it is necessary a better understanding of the mechanical behavior of these materials, mainly regarding displacement, stress and strain fields. This study aims to analyze, in macroscopic scale, two-dimensional elastic structures made of particulate composite materials, using formulation developed in the context of the Grupo de Mecânica Computacional (GMEC), of Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), of Escola de Engenharia de São Carlos (EESC), of Universidade de São Paulo (USP). The formulation is based on the Positional Finite Element Method and was developed in mesoscopic level, considering the matrix-particles interaction and neglecting the interface, by means of kinematic relations used to ensure adherence of the particles to the matrix without introducing new degrees of freedom in the problem. The formulation considers isotropic material and geometric non-linear behavior of the composite phases. The application of the formulation was proposed in this work in order to evaluate the influence of geometry, size, volume fraction, distribution and mechanical properties of the particles adopted in the global behavior of the structure in macroscopic level. Numerical examples were developed and presented in order to compare the numerical results of the analysis with results obtained in experimental studies found in the literature, as well as results of mathematical models and numerical models using finite element method and the asymptotic homogenization technique.