Dans cette thèse,nous proposons de nouvelles techniques de réduction de variance, pourles simultions Monté Carlo. Par un simple changement de variable, nous modifions la loi de simulation de façon paramétrique. L'idée consiste ensuite à utiliser une version convenablement projetée des algorithmes de Robbins-Monro pour déterminer le paramètre optimal qui "minimise" la variance de l'estimation. Nous avons d'abord développé une implémentation séquentielle dans laquelle la variance est réduite dynamiquement au cours des itératons Monte Carlo. Enfin, dans la dernière partie de notre travail, l'idée principale a été d'interpréter la réduction de variance en termes de minimisation d'entropie relative entre une mesure de probabilité optimale donnée, et une famille paramétrique de mesures de probabilité. Nous avons prouvé des résultats théoriques généraux qui définissent un cadre rigoureux d'utilisation de ces méthodes, puis nous avons effectué plusieurs expérimentations en finance et en fiabilité qui justifient de leur efficacité réelle.

Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté essentielle réside dans la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Schématiquement, deux types de méthodes permettent l'étude de la dynamique de l'interface : l'approche eulérienne, aussi dite de capture de front ("front capturing method") et l'approche lagrangienne, de suivi de front ("front tracking method"). Nos travaux sont plutôt basés sur la méthode de capture de front. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation du premier ordre traduisant le bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système physique. Ce système doit être fermé par une loi de pression du mélange gaz-liquide pour que sa résolution soit possible. Cette loi de comportement doit être choisie soigneusement, puisqu'elle conditionne les bonnes propriétés du système comme l'hyperbolicité ou l'existence d'une entropie de Lax. Les méthodes d'approximation doivent permettre de traduire au niveau discret ces propriétés. Les schémas conservatifs classiques de type Godunov peuvent être appliqués au modèle bifluide. Ils conduisent cependant à des imprécisions qui les rendent inutilisables en pratique. Enfin, l'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé. La structure complexe des solutions nécessite alors des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est donc indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Au cours de cette thèse, nous allons aborder partiellement chacune de ces problématiques : construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur.

Les techniques avancées pour l’approximation de rang faible des matrices sont des outils de réduction de dimension fondamentaux pour un grand nombre de domaines du calcul scientifique. Les approches hiérarchiques comme les matrices H2, en particulier la méthode multipôle rapide (FMM), bénéficient de la structure de rang faible par bloc de certaines matrices pour réduire le coût de calcul de problèmes d’interactions à n-corps en O(n) opérations au lieu de O(n2). Afin de mieux traiter des noyaux d’interaction complexes de plusieurs natures, des formulations FMM dites ”kernel-independent” ont récemment vu le jour, telles que les FMM basées sur l’interpolation polynomiale. Cependant elles deviennent très coûteuses pour les noyaux tensoriels à fortes dimensions, c’est pourquoi nous avons développé une nouvelle formulation FMM efficace basée sur l’interpolation polynomiale, appelée Uniform FMM. Cette méthode a été implémentée dans la bibliothèque parallèle ScalFMM et repose sur une grille d’interpolation régulière et la transformée de Fourier rapide (FFT). Ses performances et sa précision ont été comparées à celles de la FMM par interpolation de Chebyshev. Des simulations numériques sur des cas tests artificiels ont montré que la perte de précision induite par le schéma d’interpolation était largement compensées par le gain de performance apporté par la FFT. Dans un premier temps, nous avons étendu les FMM basées sur grille de Chebyshev et sur grille régulière au calcul des champs élastiques isotropes mis en jeu dans des simulations de Dynamique des Dislocations (DD). Dans un second temps, nous avons utilisé notre nouvelle FMM pour accélérer une factorisation SVD de rang r par projection aléatoire et ainsi permettre de générer efficacement des champs Gaussiens aléatoires sur de grandes grilles hétérogènes. Pour finir, nous avons développé un algorithme de réduction de dimension basé sur la projection aléatoire dense afin d’étudier de nouvelles façons de caractériser la biodiversité, à savoir d’un point de vue géométrique. / Advanced techniques for the low-rank approximation of matrices are crucial dimension reduction tools in many domains of modern scientific computing. Hierarchical approaches like H2-matrices, in particular the Fast Multipole Method (FMM), benefit from the block low-rank structure of certain matrices to reduce the cost of computing n-body problems to O(n) operations instead of O(n2). In order to better deal with kernels of various kinds, kernel independent FMM formulations have recently arisen such as polynomial interpolation based FMM. However, they are hardly tractable to high dimensional tensorial kernels, therefore we designed a new highly efficient interpolation based FMM, called the Uniform FMM, and implemented it in the parallel library ScalFMM. The method relies on an equispaced interpolation grid and the Fast Fourier Transform (FFT). Performance and accuracy were compared with the Chebyshev interpolation based FMM. Numerical experiments on artificial benchmarks showed that the loss of accuracy induced by the interpolation scheme was largely compensated by the FFT optimization. First of all, we extended both interpolation based FMM to the computation of the isotropic elastic fields involved in Dislocation Dynamics (DD) simulations. Second of all, we used our new FMM algorithm to accelerate a rank-r Randomized SVD and thus efficiently generate multivariate Gaussian random variables on large heterogeneous grids in O(n) operations. Finally, we designed a new efficient dimensionality reduction algorithm based on dense random projection in order to investigate new ways of characterizing the biodiversity, namely from a geometric point of view.

Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté centrale est la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation fermé par une loi d'état du mélange. La loi d'état conditionne les bonnes propriétés (hyperbolicité, existence d'une entropie de Lax) du système. Les schémas classiques de type Godunov conduisent à des imprécisions les rendant inutilisables en pratique. L'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé et nécessite des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Nous aborderons chacune de ces problématiques: construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur. / This thesis deals with the modeling and numerical approximation of compressible gas-liquid flows. The main difficulty lies in modeling and approximation of the liquid-gas interface. The two-fluid model is a system of conservation laws closed with a mixture pressure law. The law has to be chosen carefully, it conditions good properties of the system as hyperbolicity or existence of a Lax entropy. Classic conservative Godunov-type schemes lead to inaccuracies that make them unusable inpractice. The existence of discontinuous solutions makes it difficult to build high order schemes and requires very fine meshes to an acceptable accuracy. It is therefore essential to provide efficient algorithms for the High Performance Computing. In this thesis, we will partially treat each of these issues : construction of a "good" pressure law, building adapted numerical schemes, programming on GPU or GPU cluster.