Les propriétés des ensembles localement prox-réguliers ont été étudiées par R.A. Poliquin, R.T. Rockafellar et L. Thibault. Le concept de fonction ''primal lower nice'' a été introduit en dimension finie par R.A. Poliquin et étendu au cadre Hilbertien par A.B. Levy, R.A. Poliquin et L. Thibault. Dans cette thèse, la première partie est consacrée à une étude des outils et des objets géométriques de l'Analyse non lisse tels que les fonctions primal lower nice et les ensembles localement prox-réguliers. On donnera une définition quantifiée de la prox-régularité locale. La deuxième partie établit des résultats d'existence et d'unicité de solutions d'inéquations variationnelles se présentant sous forme d'inclusions différentielles associées au cône normal d'un ensemble localement prox-régulier. / The properties of locally prox-regular sets have been studied by R.A. Poliquin, R.T. Rockafellar and L. Thibault. R.A. Poliquin also introduced the concept of ``primal lower nice function. This dissertation is devoted, on one hand to the study of primal lower nice functions and locally prox-regular sets and, on the other hand, to show existence and uniqueness of solutions of differential variational inequalities involwing such sets. Concerning the first part, we introduce a quantified viewpoint of local-prox-regularity and establish a series of characterizations for set satisfying this property. In the second part, we study differential variational inequalities with locally prox-regular sets and we show the relevance of our quantified viewpoint to prove existence results of solutions.

Le but de cette thèse est d'étudier les trois problèmes suivantes : 1) On s'intéresse à la stabilité des cônes normaux et des sous-différentiels via deux types de convergence d'ensembles et de fonctions : La convergence au sens de Mosco et celle d'Attouch-Wets. Les résultats obtenus peuvent être vus comme une extension du théorème d'Attouch aux fonctions non nécessairement convexes sur des espaces de Banach localement uniformément convexes. 2) Pour une bornologie β donnée sur un espace de Banach X, on étudie la validité de la formule suivante (…). Ici Tβ(C; x) et Tc(C; x) désignent le β -cône tangent et le cône tangent de Clarke à C en x. On montre que si, X x X est ∂β-« trusted » alors cette formule est valable pour tout ensemble fermé non vide C ⊂ X et x ∈ C. Cette classe d'espaces contient les espaces ayant une norme équivalent β-différentiable, etplus généralement les espaces possédant une fonction "bosse" lipschitzienne et β-différentiable). Comme conséquence, on obtient que pour la bornologie de Fréchet, cette formule caractérise les espaces d'Asplund. 3) On examine la convexité des ensembles de Chebyshev. Il est bien connu que, dans un espace normé réflexif ayant la propriété Kadec-Klee, tout ensemble de Chebyshev faiblement fermé est convexe. On démontre que la condition de faible fermeture peut être remplacée par la fermeture faible locale, c'est-à-dire pour tout x ∈ C il existe ∈ > 0 tel que C ∩ B(x, ε) est faiblement fermé. On montre aussi que la propriété Kadec-Klee n'est plus exigée lorsque l'ensemble de Chebyshev est représenté comme une union d'ensembles convexes fermés. / The aim of this thesis is to study the following three problems: 1) We are concerned with the behavior of normal cones and subdifferentials with respect to two types of convergence of sets and functions: Mosco and Attouch-Wets convergences. Our analysis is devoted to proximal, Fréchet, and Mordukhovich limiting normal cones and subdifferentials. The results obtained can be seen as extensions of Attouch theorem to the context of non-convex functions on locally uniformly convex Banach space. 2) For a given bornology β on a Banach space X we are interested in the validity of the following "lim inf" formula (…).Here Tβ(C; x) and Tc(C; x) denote the β-tangent cone and the Clarke tangent cone to C at x. We proved that it holds true for every closed set C ⊂ X and any x ∈ C, provided that the space X x X is ∂β-trusted. The trustworthiness includes spaces with an equivalent β-differentiable norm or more generally with a Lipschitz β-differentiable bump function. As a consequence, we show that for the Fréchet bornology, this "lim inf" formula characterizes in fact the Asplund property of X. 3) We investigate the convexity of Chebyshev sets. It is well known that in a smooth reflexive Banach space with the Kadec-Klee property every weakly closed Chebyshev subset is convex. We prove that the condition of the weak closedness can be replaced by the local weak closedness, that is, for any x ∈ C there is ∈ > 0 such that C ∩ B(x, ε) is weakly closed. We also prove that the Kadec-Klee property is not required when the Chebyshev set is represented by a finite union of closed convex sets.