We study the geometry of median graphs and CAT(0) cube complexes by introducing two combinatorial objects: the contact graph and the simplicial boundary. The first of these encodes the intersections of hyperplane-carriers. We prove that this graph is always quasi-isometric to a tree, and deduce that groups acting properly and cocompactly on cube complexes are weakly hyperbolic relative to the collection of hyperplane-stabilizers. Using diagrammatic techniques of Casson-Sageev-Wise, we study complete bipartite subgraphs of the contact graph, and prove a cubical version of the flat plane theorem. Similar considerations lead to a characterization of strong relative hyperbolicity of cocompactly cubulated groups relative to the hyperplane stabilizers. Motivated by the question of which contact graphs are quasi-isometric to bounded trees, we introduce the simplicial boundary of a locally finite cube complex, which is a combinatorial analogue of the Tits boundary and encodes, roughly, the cubical flat sectors in the cube complex. We establish basic properties of the simplicial boundary, and use these to characterize locally finite, essential, one-ended cube complexes with bounded contact graph. This leads to a reinterpretation and modified proof of the Caprace-Sageev rank-rigidity theorem. Finally, we relate the graph metric on the 1-skeleton of the simplicial boundary of the cube complex X to the divergence of geodesic rays in the median graph X. We show that a group G acting properly, cocompactly, and essentially on the geodesically complete cube complex X has linear divergence function if and only if the simplicial boundary of X is connected. Otherwise, the divergence function of G is at least quadratic; this partially generalizes a result of Behrstock-Charney on the divergence of right-angled Artin groups. / Nous étudions la geometrie des graphes medians et des complexes cubiques CAT(0) en introduisant deux objets combinatoires: le graphe de contact et la frontière simpliciale. Le premier de ces objets encode les intersections des porteurs des hyperplans. Nous prouvons que ce graphe est toujours quasi-isométrique à un arbre, et en déduisons que les groupes agissant de manière propre et cocompacte sur les complexes cubiques sont faiblement hyperboliques relativement à la famille des stabilisateurs des hyperplans. En utilisant des techniques diagrammatiques de Casson-Sageev-Wise, nous étudions les sous-graphes bipartis complets du graphes de contact, et prouvons une version du théorème sur l'existence d'un plongement d'un plan (le "flat plane theorem"). Des considérations similaires nous mènent à une caractérisation des groupes cocompactement cubulés qui sont fortement hyperboliques relativement aux stabilisateurs des hyperplans. Motivés par la désir de savoir quels graphes de contact sont quasi-isométriques à des pointes, nous introduisons la frontière simpliciale d'un complexe cubique localement fini, qui est un analogue combinatoire de la frontière de Tits, et encode les secteurs cubiques plats du complexe cubique. Nous établissons les propriétés élémentaires de la frontière simpliciale, et utilisons celles-ci pour caractériser les complexes cubiques localement finis, essentiels et à un bout, qui ont un graphe de contact borné. Cela nous mène à une interpretation alternative du théorème de rigidité de rang de Caprace-Sageev. Nous mettons une relation entre la frontière simpliciale d'un complexe cubique X, et la divergence des rayons géodésiques dans le graphe médian X1. Nous montrons qu'un groupe G qui agit proprement, cocompactement et essentiellement sur X, diverge demanière linéaire si et seulement si la frontière simpliciale de X est connexe. Cela généralise un résultat de Behrstock-Charney sur la divergence desgroupes d'Artin à angle droit.

This thesis has two main parts: both of which aim at computing the Zeta function of some curves. The first part contains the theoretical and practical considerations to make K. Kedlaya's algorithm and some of its generalizations work. We review important properties of the Monsky-Washnitzer cohomology, the Weil conjectures and piece the bits together in order to provide an algorithm that would compute the Zeta function of a superelliptic curve, due to P. Gaudry and N. Gürel. In the second part, we present an algorithm to compute the Zeta function of a Cab curve using deformation theory. The general strategy, due to A. Lauder, is to study the variation of the Frobenius action along a certain family. This almost fully practical algorithm generalizes similar work by R. Gerkmann and H. Hubrechts. / Cette thèse comporte deux parties principales: les deux ont pour objet de calculer la fonction Zêta de certains types de courbes. La première partie contient des considérations théoriques et pratiques pour faire fonctionner l'algorithme de K. Kedlaya et certaines de ses généralisations. On résume les propriétés importantes de la cohomologie de Monsky et Washnitzer, les conjectures de Weil et on rassemble les pièces du casse-tête pour en arriver à un algorithme de P. Gaudry et N. Gürel pour calculer la fonction Zêta d'une courbe superelliptique. Dans la deuxième partie, nous présentons un algorithme pour calculer la fonction Zêta d'une courbe Cab en utilisant la théorie de la déformation. La stratégie générale, attribuée à A. Lauder, est d'étudier la variation de l'action de Frobenius le long d'une certaine famille de courbes. Cet algorithme, presque prêt à utiliser, généralise des travaux similaires de R. Gerkmann et H. Hubrechts.

Though the tryptophan operon has received a fair amount of experimental study over recent decades, modeling e?orts have been relatively few and disparate in some of their conclusions regarding the behavior of the operon. We consider a selection of existing models of the tryptophan operon and analyze them from the standpoints of stability, response to periodic signals in the biochemistry, and existence of attracting invariant manifolds in the model state space. We ?nd that the stability properties of these models may depend greatly upon small changes in parameters that are in keeping with updated experimental data. Further, we show the ability of the tryptophan operon to act as a classical band-pass ?lter to periodic ?uctuations ostensibly caused by the periodic nature of the cell cycle. Finally, a functional iteration technique for the approximate computation of attracting invariant manifolds is presented and the manifold for one of the models is computed. / Bien que l'opéron de tryptophane ait fait l'objet d'un nombre d'essais expérimentaux considérables dans les dernières décennies, les e?orts dans la modélisation ont été rel- ativement peu et disparates quant à leurs conclusions concernant le comportement de l'opéron. Nous considérons un choix de modèles existants de l'opéron de tryptophane et les analysons des points de vue de leur stabilité, de leur réponse aux signaux périodiques en biochimie, et de l'existence d'attractions de variétés invariantes dans l'espace d'états du modèle. Nous constatons que les propriétés de stabilité de ces modèles peuvent dépendre considérablement de petits changements des paramètres qui sont en accord avec des données expérimentales mises à jour. De plus, nous montrons la capacité de l'opéron de tryptophane à agir comme ?ltre passe-bande classique aux ?uctuations périodiques en apparence provoquées par la nature périodique du cycle cellulaire. En conclusion, une technique fonctionnelle d'itération pour le calcul approximatif de l'attraction de variété invariante est présentée et la variété pour un des modèles est calculée. fr

We recast the theory of labelled Markov processes in a new setting, in a way "dual" to the usual point of view. Instead of considering state transitions as a collection of subprobability distributions on the state space, we view them as transformers of real-valued functions. By generalizing the operation of conditional expectation, we build a category consisting of labelled Markov processes viewed as a collection of operators; the arrows of this category behave as projections on a smaller state space. We define a notion of equivalence for such processes, called bisimulation, which is closely linked to the usual definition for probabilistic processes. We show that we can categorically construct the smallest bisimilar process, and that this smallest object is linked to a well-known modal logic. We also expose an approximation scheme based on this logic, where the state space of the approximants is finite; furthermore, we show that these finite approximants categorically converge to the smallest bisimilar process. / Nous reconsidérons les processus de Markov étiquetés sous une nouvelle approche, dans un certain sens "dual'' au point de vue usuel. Au lieu de considérer les transitions d'état en état en tant qu'une collection de distributions de sous-probabilités sur l'espace d'états, nous les regardons en tant que transformations de fonctions réelles. En généralisant l'opération d'espérance conditionelle, nous construisons une catégorie où les objets sont des processus de Markov étiquetés regardés en tant qu'un rassemblement d'opérateurs; les flèches de cette catégorie se comportent comme des projections sur un espace d'états plus petit. Nous définissons une notion d'équivalence pour de tels processus, que l'on appelle bisimulation, qui est intimement liée avec la définition usuelle pour les processus probabilistes. Nous démontrons que nous pouvons construire, d'une manière catégorique, le plus petit processus bisimilaire à un processus donné, et que ce plus petit object est lié à une logique modale bien connue. Nous développons une méthode d'approximation basée sur cette logique, où l'espace d'états des processus approximatifs est fini; de plus, nous démontrons que ces processus approximatifs convergent, d'une manière catégorique, au plus petit processus bisimilaire.

In this thesis, we explain the connection between completely integrable systems of evolution equations and the evolution of the differential invariants of group actions in the particular case of a curve in Rⁿ acted on by an affine group defined as the semidirect product of G and Rⁿ, where G is semisimple, as it is presented in the work of Marì-Beffa. This connection involves Fels and Olver's work on the theory of moving frames, infinite-dimensional Hamiltonian systems and Poisson brackets, and centrally extended loop groups and algebras. We also summarize the relevant theory both of Lie groups and Lie algebras and of differential invariants and symmetries of differential equations. groups and algebras. We also summarize the relevant theory both of Lie groups and Lie algebras and of differential invariants and symmetries of differential equations. / Dans cette thèse, on explique le lien entre les systèmes d'équations d'évolution complètement intégrables et l'évolution des invariants différentiels de l'action d'un groupe dans le cas particulier d'une courbe dans Rⁿ , sous l'action du produit semidirect d'un groupe G avec Rⁿ, où G est semisimple, tel que présenté par Marì-Beffa. Cette connection fait intervenir la théorie de repères mobiles de Fels et Olver, les systèmes hamiltoniens de dimension infinie et les crochets de Poisson, ainsi que les groupes et algèbres de lacets à extension centrale. On présente aussi un ré́sumé de la théorie pertinente des groupes et algèbres Lie et des invariants différentiels ainsi que les symmétries d'équations différentielles.

This dissertation reports on two independent studies in the fields of deterministic and stochastic partial differential equations.In the first part, we introduce a novel spatio-temporal model of the bone remodelling process. Bone remodelling is crucial for the removal of fatigue damage and the renewal of old bone tissue in the vertebrate skeleton. Responsible for remodelling are the bone multicellular units (BMUs), complex entities consisting of several interacting cell types. We develop a nonlinear mixed PDE model capturing the dynamics of a single BMU in trabecular bone. Several pathological remodelling events are studied numerically, and new insights into the RANKL/RANK/OPG pathway are presented. Finally, the model is adapted to study the role of OPG in bone metastases. In silico experiments demonstrate that depending on the expression rate, tumour-derived OPG can increase or decrease osteolysis and tumour growth. In particular, this mechanism is able to explain a set of seemingly contradictory experimental studies. In the second part, we study the well-posedness of the two-dimensional Allen-Cahn equation with additive space-time white noise. We first introduce a high frequency cut-off in the noise field and then study the corresponding regularized problems in the limit where the cut-off goes to infinity. Based on numerical experiments and heuristic arguments, we conjecture that the approximations converge to the zero-distribution. A rigorous proof of the conjecture is provided. The result demonstrates that a series of published numerical studies are problematic: shrinking the mesh size in these simulations does not lead to the recovery of a physically meaningful limit. / Au sein de cette thèse nous présentons deux études indépendantes dans le contexte général des équations aux dérivées partielles (EDP), déterministes ainsi que stochastiques. Lors de la première partie nous développons un nouveau modèle spatio-temporel du processus de remodelage osseux. Le remodelage osseux est essentiel pour la réparation de fissures microscopiques ainsi que le renouvellement périodique du tissu osseux à travers le squelette vertébré. Le remodelage est effectué par les unités fonctionelles de remodelage (UFR): des entités complexes constituées de plusieurs types de cellules interagissantes. Nous développons un modèle mixte d'EDP nonlinéaires pour décrire l'évolution d'une UFR à travers le tissu trabéculaire. A l'aide de simulations numériques, nous étudions plusieurs régimes pathologiques de remodelage, et nous présentons de nouvelles perspectives concernant la voie biochimique RANKL/RANK/OPG. Enfin, le modèle est adapté pour étudier le rôle d'OPG dans les métastases osseuses. Les expériences numériques démontrent que, selon le taux d'expression, OPG exprimée par le tumeur peut soit augmenter soit diminuer l'ostéolyse et ainsi la croissance tumorale. En particulier, ce mécanisme est capable d'expliquer un ensemble d'études expérimentales apparemment contradictoires. Lors de la deuxième partie, nous investigons l'équation d'Allen-Cahn soujette à un bruit blanc additif, et cela en deux dimensions spatiales. Après avoir regularisé le bruit par une coupure à hautes fréquences, nous étudions la suite de problèmes regularisés ainsi obtenue. A l'aide d'expériences numériques et d'arguments heuristiques, nous faisons la conjécture que ces approximations convergent vers la distribution nulle dans la limite du bruit blanc. Une preuve rigoureuse de cette conjécture est fournie. Le résultat démontre que toute une série de travaux numériques publiés dans la litérature sont problématiques: en effet, lorsque la taille de la grille tend vers zéro, on obtient une limite sans signification physique.

We prove two theorems regarding the algorithmic theory of groups. First, that the compressed word problem in every finitely generated fully residually free group can be decided in polynomial time. As a corollary, the word problem in the automorphism group of such a group has a polynomial time solution. Second, for any torsion-free hyperbolic group H and any group G that is finitely generated and fully residually H, we construct a finite collection of homomorphisms, at least one of which is injective, from G to groups obtained from H by extensions of centralizers. As corollaries, we obtain an effective embedding of any finitely generated residually H group into a finite direct product of groups obtained from H by extensions of centralizers, and we prove that the word problem in any finitely generated residually H group can be decided in polynomial time. / On prouve deux théorèmes dans le domaine de la théorie algorithmique des groupes. D'abord on démontre que le problème de l'identité des mots compressés est soluble en temps polynomial dans tout groupe de type fini et discriminé par un groupe libre. Il s'en suit que le problème de l'identité de mots dans le groupe d'automorphismes d'un tel groupe est soluble en temps polynomial. Ensuite, pour tout groupe hyperbolique sans torsion H et tout groupe G de type fini qui est discriminé par H, on construit une collection finie d'homomorphismes, au moins un desquels est injective, entre G et des groupes obtenus de H par des extensions des centralisateurs. De ce fait, on obtient une inclusion algorithmique de tout groupe de type fini et séparé par H dans un produit direct fini de groupes obtenus de H par extensions des centralisateurs et on démontre que le problème de l'identité dans tout groupe de type fini et séparé par H est soluble en temps polynomial.

The heat equation, while well understood in R^n , presents many novel difficulties in curved spaces. Among the techniques developed to deal with these new intricacies are differential Harnack inequalities. Beginning with the work of Li and Yau in [9] this paper will discuss the motivations and methods leading up to differential Harnack estimates culminating in Hamilton's full matrix Harnack inequality [7]. A new tool called the constant rank theorem will thereupon be developed and deployed to reprove Hamilton's result by a different route. This new proof deviates from the original substantially, but achieves the same result under the same assumptions without recourse to Hamilton's matrix maximum principle. The possible implications of this new proof are discussed in closing. / L'équation de la chaleur, bien comprise dans les espaces plats, présete un certain degré de difficulté sur les variétés Riemannienne. Parmi les outils importants pour comprendre ses solutions, on trouve l'inégalité matricielle d'Hamilton [7]. Ensuite, nous présenterons un nouvel outil qui est le théorèm de rang invariable et nous l'utiliserons afin de créer une nouvelle prueve de l'inégalité matricielle d'Hamilton. Cette nouvelle prueve nous fournie le meme hypotèses mais sans avoir recours au principe du maximum pour les systèmes d'équations d'Hamilton [6]. Finalement, nous discuterons les implications potentielles de cette nouvelle technique de preuve.

Biochemical regulatory networks are involved in many essential processes of life, such as maintaining homeostatic conditions, cell-cycle division, and responding to environmental stimuli. Such networks contain a staggering degree of complexity, inhibiting our ability to understand how they function. Two major challenges in quantitative biology are addressed in this thesis. First, the problem of identifying regulatory models from observational data. Second, characterizing how regulatory networks evolve. Making use of a simple regulatory model that is based on piecewise linear differential equations, investigations into these questions are undertaken. A novel method for inferring regulatory networks from knowledge of the dynamics is presented. This result is used to derive an atlas of networks with highly robust limit cycle dynamics in dimensions 3,4 and 5. Additionally, a new theoretical approach is used to identify two families of regulatory networks: cyclic, negative feedback and sequential disinhibition, with robust periodic dynamics that exist in all higher dimensions too. Smooth generalizations of the piecewise linear case, called continuous homologues, are also considered. For the family of cyclic, negative feedback networks it is shown that for the continuous homologue, a limit cycle exists and provided it is hyperbolic, it is asymptotically stable. Regulatory networks share many features across different species, raising the question of how they evolved. A simple evolutionary model in which piecewise linear networks are subject to mutation processes with selective pressure for chaotic dynamics is considered. Investigation into the evolutionary process reveals that the robustness (insensitivity of dynamics to mutations of the components of the network) has an important impact on the ability to innovate increasingly chaotic dynamics. An explicit analytical description of how evolutionary processes / Biochemical réglementaire des réseaux sont impliqués dans de nombreux processusessentiels de la vie, tels que les conditions en restant homéostatique, le cycle dedivision cellulaire, et de répondre 'a l'environnement stimuli. Ces réseaux contiennentun grand degré de complexité, qui nous empéche de comprendre comment ils fonctionnent.Deux défis majeurs dans la biologie quantitative sont abordées dans cetteth'ese. Tout d'abord, le probl'eme de l'identification des mod'eles de réglementation 'apartir de données d'observation. Deuxi'emement, révélant les processus par lesquelsles réseaux de régulation évoluent. L'utilisation d'une simple réglementation mod'elequi est basé sur les équations différentielles linéaires par morceaux; les enquêtes surces questions sont mises en oeuvre.Une nouvelle méthode pour déduire des réseaux de réglementation de la connaissancede la dynamique est présenté. Ce résultat est utilisé pour tirer un atlasdes réseaux tr'es robuste cycle de limite dynamiques dans les dimensions 3,4 et 5.En outre, une nouvelle approche théorique est également utilisé pour identifier deuxfamilles de réseaux de régulation: la rétroaction négative de réseaux et séquentieldisinhibition, avec de solides périodiques dynamiques qui existe aussi dans toutes lesdimensions supérieures aussi. Les généralisations de linéaire par lisse morceaux del'esp'ece, appelée continue homologues, sont également considérée. Pour la famillede cyclique, la rétroaction négative de réseaux, il est montré que, dans le homologuecontinue, un cycle de limite existe et il est prévu hyperbolique, il est alors asymptotiquementstable.Réglementaire des réseaux part de nombreuses fonctionnalités 'a travers les différentesesp'eces, ce qui soul'eve la question de savoir comment ils évoluent. Un mod'ele simpleévolutif dans lequel les réseaux sont linéaires par morceaux soumis 'a$

The theory of complex multiplication has been a powerful tool for studying various aspects of classical modular forms along with their generalizations. With the recent work of Borcherds there has been an increase in the interest in studying modular forms on orthogonal groups of signature (2,n) as well as the spaces on which they live. In this thesis, we study the special points (or CM-points) that exist on these spaces. We develop cohomological classifications relating the special points, their associated CM-fields and the spaces in which these points can be found. / La théorie de la multiplication complexe nous donnent des outils puissants pour étudier des aspects divers des formes modulaires classiques, ainsi que leurs généralisations. Les travaux récents de Borcherds donne une nouvelle motivation pour étudier les formes modulaires sur des groupes orthogonaux de signature (2,n), ainsi que les espaces sur lesquels elles agissent. Dans cette thèse, nous étudierons les points spéciaux (ou points-CM) qui existent dans ces espaces. Nous développerons des classifications cohomologiques concernant les points spéciaux, les corps-CM associés et les espaces dans lesquels ces points peuvent être trouvées.