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In this thesis we outline the mathematical principles behind density functional theory, and describe the iterative Kohn-Sham formulation for computation of electronic density calculations in nano devices. The model for computation of the density of electrons in such device is a non-linear eigenvalue problem that is solved iteratively using the resolvent formalism. There are several bottlenecks to this approach and we propose methods to resolve them. This iterative method involves a matrix inversion. This matrix inversion is called upon when calculating the Green's function for a particular system, the two-probe device. A method to speed up this calculation is to use a preconditioning technique to accelerate the convergence of the iterative metho d. Tests the existing algorithm for a one-dimensional system are presented. The results indicate that these preconditioning methods reduce the condition number of the matrices. / Dans cette thèse, nous présentons les principes mathématiques à la base de la théorie de la fonctionnelle de la densité, et nous décrivons la formule Kohn-Sham itérative pour le calcul des densités d'électron dans les composants nano-électroniques. Le modèle de densité électronique est un problème de valeurpropre non-linéaire que l'on résout de manière itérative. Il y a plusieurs complications liées à cette technique et nous proposons des méthodes pour y remédier. On formule le système à l'aide du calcul de l'opérateur hamiltonien dans une base particulière. Cette inversion de matrice est nécessaire lors du calcul de la fonction de Green pour le système en question: l'appareil à deux sondes. Afin d'accélérer ce calcul, nous utilisons une technique de préconditionnement basée sur la nature itérative du problème. Nous présentons les résultats de nos essais avec différents préconditionneurs. Ceux-ci indiquent que ces méthodes réduisent le nombre de conditionnement de notre matrice. Ce préconditionnement est donc appliqué à des algorithmes d'inversion itératives classiques tels que la méthode de Gauss-Seidel et la méthode du résidu minimal généralisée. En effet, nous observons une réduction du nombre d'itérations nécessaires pour le calcul de la matrice inverse.

Using an analogue of Makanin-Razborov diagrams, we give a description of the solution set of systems of equations over an equationally Noetherian free product of groups $G$. Equivalently, we give a parametrisation of the set $\Hom(H, G)$ of all homomorphisms from a finitely generated group $H$ to $G$. Furthermore, we show that every algebraic set over $G$ can be decomposed as a union of finitely many images of algebraic sets of NTQ systems. If the universal Horn theory of $G$ (the theory of quasi-identities) is decidable, then our constructions are effective. / Utilisant un analogue des diagrammes de Makanin-Razborov, nous donnons une description de l'ensemble des solutions de systémes d'équations dans un produit libre équationallement Noetherien $G$. De maniére équivalente, nous donnons une paramétrisation de l'ensemble $\Hom(H,G)$ des homomorphismes d'un groupe de génération finie $H$à $G$.Si la théorie universelle de Horn de $G$ est décidable, nos constructions sont algorithmique.

Many nonlinear differential equations have solutions that cease to exist in finite time because their norm becomes infinite. We say that the solution blows up in finite time. In general, this phenomenon is especially important in the physical interpretation of the results, but unfortunately most of these differential equations can not be explicitly solved. Moreover numerically approximating blow-up phenomena is a delicate problem and most standard methods only yield poor results. / In this thesis we suggest ways to construct fixed-step numerical methods, specialized in the approximation of a blow-up solution, the so-called B-methods (in case of partial differential equations, we obtain semi-discretizations in time). Two approaches are presented in detail: one consists of a splitting method while the other comes from a variation of the constant. Both approaches are based on the same idea: to exploit the fact that the solution of a simplified equation (made up of the nonlinear part that is responsible for the blow-up) can be explicitly written. / We start by properly defining the problem and presenting an extensive literature review concerning both theoretical and numerical results. Then, after explaining the two methods of construction on an example, we apply them to different models and so we obtain numerous B-methods. All these methods are implemented and extensive numerical experiments illustrate the superiority of the performance of B-methods over standard methods. Finally a chapter is devoted to the theoretical study of some B-methods. Theorems which are proven reinforce the promising results of the numerical tests. / De nombreuses équations différentielles non-linéaires ont des solutions qui cessent d'exister en temps fini car leur norme devient infinie. On dit alors que la solution explose en temps fini. Ce phénomène revêt généralement une grande importance dans l'interprétation physique des résultats, malheureusement la plupart de ces équations différentielles ne peuvent pas être résolues explicitement. De plus l'approximation numérique du phénomène d'explosion est délicat et la plupart des méthodes standards ne donnent que des résultats médiocres. / Dans cette thèse nous proposons des façons de construire des méthodes numériques à pas de temps fixe, spécialisées dans l'approximation d'une solution qui explose, les B-méthodes (dans le cas d'équations aux dérivés partielles, nous obtenons des semi-discrétisations en temps). Deux approches sont présentées en détail : l'une consiste en une "splitting method" tandis que l'autre provient d'une variation de la constante. Toutes deux se basent sur la même idée : exploiter le fait que la solution d'une équation simplifiée (formée de la partie non-linéaire responsable de l'explosion) peut être écrite explicitement. / Nous commençons par bien définir le problème et présentons une revue étendue de la littérature consacrée au sujet, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. Puis, après avoir expliqué ces deux méthodes de construction sur un exemple, nous les appliquons à différents modèles et obtenons ainsi de nombreuses B-méthodes. Toutes ces méthodes sont ensuite programmées et des tests numériques étendus viennent illustrer la supériorité des performances des B-méthodes sur celles des méthodes standards. Un chapitre est également consacré à l'étude théorique de quelques B-méthodes. Les théorèmes qui y sont prouvés viennent supporter les résultats prometteurs des tests numériques.

In this thesis we study abelian number fields and in particular their zeta functions at the negative integers. The prototypical examples of abelian number fields are the oft-studied cyclotomic fields, a topic upon which many texts have been almost exclusively dedicated to (see for example \cite{washington1997introduction} or nearly any text on global class field theory). \\ We begin by building up our understanding of the characters of finite abelian groups and how they are related to Dedekind zeta functions. We then use tools from number theory such as the Kronecker-Weber theorem and Bernoulli numbers to find a simple algorithm for determining the values of these zeta functions at negative integers. We conclude the thesis by comparing the relative complexity of our method to two alternative methods that use completely different theoretical tools to attack the more general problem of non-abelian number fields. / Dans cette thèse nous étudions les corps de nombres abéliens et en particulier leurs fonctions zeta aux entiers négatifs. Les exemples-type de corps de nombres abéliens sont les corps cyclotomiques que l'on étudie fréquemment, un sujet auquel de nombreux textes ont été entièrement consacrés (voir par exemple \cite{washington1997introduction} ou presque tous les textes sur la théorie globale des corps de classes). / Nous commençons par construire notre comprehension des caractères des groupes abéliens finis et de ce qui les lie aux fonctions zeta de Dedekind. Ensuite nous utilisons des outils de théorie des nombres comme le théorème de Kronecker-Weber et les nombres de Bernouilli pour trouver un algorithme simple pour déterminer les valeurs de ces fonctions zeta aux entiers négatifs. Nous concluons la thèse en comparant la complexité relative de notre méthode a deux méthodes alternatives qui utilisent des outils théoriques complètement différents pour attaquer le problème plus général des corps de nombres non-abéliens.

Harmonic weak Maass forms are instances of real analytic modular forms which have recently found applications in several areas of mathematics. They provide a framework for Ramanujan's theory of mock modular forms , arise naturally in investigating the surjectivity of Borcherds' singular theta lift , and their Fourier coefficients seem to encode interesting arithmetic information. Until now, harmonic weak Maass forms have been studied solely as complex analytic objects. The aim of this thesis is to recast their definition in more conceptual, algebro-geometric terms, and to lay the foundations of a p-adic theory of harmonic weak Maass forms analogous to the theory of p-adic modular forms formulated by Katz in the classical context. This thesis only discusses harmonic weak Maass forms of weight 0. The treatment of more general integral weights requires no essentially new idea but involves further notational complexities which may obscure the main features of our approach. / Les formes de Maass faiblement harmoniques ont recemment trouve des applications dans plusieurs domaines des mathématiques. Elles fournissent un cadre pour la théorie des ``Mock Modular forms" de Ramanujan, surviennent naturellement dans l'etude de la surjectivite de la correspondance de Borcherds et leurs coefficients de Fourier semblent donner des informations arithmetiques sur les derivees des tordues quadratiques de certaines fonctions L associees aux formes modulaires. Jusqu'a present, les formes de Maass faiblement harmoniques ont uniquement ete etudiees en tant qu' objets analytiques sur les nombres complexes. L'objectif de cette these est de les decrire dans un cadre algebrique plus conceptuel, et de jeter les bases d'une theorie p-adique des formes de Maass faiblement harmoniques, par analogie avec le point de vue geometrique de Katz sur la theorie des formes modulaires p-adiques. Cette these traite uniquement du cas des formes de Maass faiblement harmoniques de poids 0.

We introduce an abstract framework concerning non-equilibrium statistical mechanics in the specific context of Markov chains. This framework encompasses both the Evans-Searles and the Gallavotti-Cohen fluctuation theorems. To support and expand on these concepts, several results are proven, among which a central limit theorem and a large deviation principle. The interest for Markov chains is twofold. First, they model a great variety of physical systems. Secondly, their simplicity allows for an easy introduction to an otherwise complicated field encompassing the statistical mechanics of Anosov and Axiom A diffeomorphisms. We give two examples relating the present framework to physical cases modelled by Markov chains. One of these concerns chemical reactions and links key concepts from the framework to their well known physical counterpart. / Nous présentons une structure mathématique de la physique statistique hors d'équilibre appliquée aux chaînes de Markov. Cette structure comprend les théoremes de fluctuations de Evans-Searles et de Gallavotti-Cohen. Afin de supporter et enrichir ces concepts, plusieurs résultats sont presentés, notamment un théoreme central limite ainsi qu'un principe de grandes deviations. Il y a deux principales raisons d'étudier les chaînes de Markov. Premièrement, elles modélisent une grand variété de systèmes physiques. Ensuite, leur simplicité permet une introduction facile a un vaste champ comprenant la mécanique statistique des difféomorphismes d'Anosovet Axiome A. Nous présentons deux examples permettant de lier la structure présente a des cas physiques modelés par des chaînes de Markov. Un de ces examples concerne les réactions chimiques et établit un lien entre les concepts clés de la structure et leurs homologues physiques bien connus.

In this thesis we consider cutsets in graphs which can be expressed as unionsof sets each of which is spanned by a tree of diameter at most d-1 for someinteger d ≥ 1; we call these sets galaxy cutsets. These galaxycutsets generalise both star-cutsets and vertex-cuts, and serve as simple models for virus-like attacks on or cascading failures in networks,the crucial property being that neighbours of affected vertices may alsofail and cease to function. We approach our subject from four different pointsof view. We begin by exploring the connection between galaxiesand a suitable type of flow, proving a min-max result for planargraphs. Then, after tackling the fundamental issue of recognising whethera given graph is susceptible to virus-like attacks, i.e. whether it contains a galaxy cutset, we consider a weighted version of the flows that are dualto the galaxies, and prove Θ(log n) lower and upper approximability boundsfor the problem of finding a maximum such flow. We then investigate the problem of network design, that is tosay, the problem of constructing low cost spanning subgraphs of a given graph which are not vulnerable to cascading failures. Finally, weembark on a detailed analysis of the structure of star-cutsets in planar graphs and useour results to derive a polynomial time algorithm for the problem ofneutralising every star-cutset by protecting edges. / Dans cette thèse, nous considerons des séparateurs dans les graphes qui peuvent être éxprimés sous forme d'une union d'ensembles de sommets dans laquelle chaque ensemble est couvert par un arbre de diamètre d-1 pour un nombre entier d ≥ 1; nous appellons ces séparateurs des galaxies séparatrices. Les galaxies séparatrices genéralisent les étoiles séparatrices et les séparateurs formés par un ensemble de sommets, et elles servent comme simple modèle pour des attaques de virus sur ou des cascades de défaillances dans un réseau, la proprieté distinguante étant que les voisins des sommets qui sont affectés peuvent eux aussi faillir. Nous approchons le sujet depuis quatre points de vue différents. Nous commençons par explorer le lien entre les galaxies et un type de flot approprié, et nous prouvons un résultat de type min max pour les graphes planaires. Ensuite, après avoir résolu la question fondamentale de reconnaitre si un graphe donné est sensible aux attaques de virus, c'est-à-dire s'il contient une galaxie séparatrice, nous introduisons des capacités dans les flots correspondants aux galaxies, et demontrons une borne d'approximabilité inférieure et supérieure de Θ(log n)pour le problème de trouver un flot maximum. Ensuite, nous enquêtons sur le problème de dessein de réseau, c'est-à-dire le problème de construire des sous-graphes couvrants peu coûteux qui ne sont pas sensibles aux cascades de défaillances. Finalement, nous nous lançons dans une analyse détaillée de la structure des étoiles séparatrices dans les graphes planaires, et nous utilisons nos résultats pour développer un algorithme polynomial qui résout le problème de neutraliser toutes les étoiles séparatrices en protégeant des arêtes.

As solutions of the Einstein-Maxwell field equations, the Kerr-Newman-de Sitter geometries are spacetimes that model the outer geometry of a charged, rotating black hole. We re-derive, using a lemma of Brandon Carter, first-order conserved quantities for the motion of zero rest mass and massive test particles in the Kerr-Newman-de Sitter spacetimes. The Liouville-Arnol'd integrability theory allows us to use first integral equations in place of second-order equations in the dynamical analysis. In examining the effects of first integral data on the equations, we expose some differences between particle dynamics in the electrically-neutral, asymptotically-flat Kerr geometries and those in the charged, de Sitter geometries. / Les géométries de Kerr-Newman-de Sitter sont des solutions des équations d'Einstein-Maxwell avec constante cosmologique modélisant la partie extérieure de l'espace-temps au voisinage d'une configuration d'équilibre d'un trou noir en rotation. Nous calculons a l'aide d'un lemme de Brandon Carter les quantités conservées du premier ordre associées au mouvement de particules d'épreuve de masse nulle et non-nulle dans la métrique de Kerr-Newman-de Sitter. Le théorème d'intégrabilité de Liouville-Arnol'd nous permet d'utiliser ces quantités conservées pour analyser la dynamique. Ceci nous permet de mettre en evidence les différences entre la dynamique des particules selon que l'on introduit ou non un champ électromagnétique et une constante cosmologique.

We show that the gap between the least costly 3-edge-connected metric graph and the least costly 3-vertex-connected metric graph is at most $3$. The approach relies upon tree decompositions, and a degree limiting theorem of Bienstock et al. As well, we explore the tree decomposition approach for general k-edge and vertex-connected graphs, and demonstrate a large amount of the required background theory. / Nous démontrons que l'écart entre un graphe métrique 3-arête-connexe de coût minimum et un graphe métrique 3-sommet-connexe de coût minimum est au plus 3. Notre approche repose sur l'existence de décompositions arborescentes et sur un théorème de Bienstock et al qui limite les degrés des sommets. De plus, nous explorons la décomposition arborescente pour le cas plus général des graphes k-arête et sommet connexes et nous exposons en grande partie les résultats nécessaires pour accéder à notre travail.