In this thesis, we are concerned with finite simple graphs. Given a subset $S$ of $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, the additive graph generated by $S$ has vertex set $V=[n]$ and edge set $E$, with $(i,j) \in E$ if and only if $i+j \in S$. The focus of this thesis is the relationship between generating sets $S$ and monotone properties in the corresponding graphs. We make the first known investigation of the \textit{Traversal by Prime Sum Problem}, in which the set $S$ is the prime numbers and the property of interest is a Hamilton cycle. A number of new results are proved concerning both these graphs and the additive graphs for which the set $S$ is the practical numbers.\\ For any subset $S$ of $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, we prove that the $|S|$-closure of the additive graph generated by $S$ is the complete graph; this allows for the determination of tight thresholds for a number of monotone properties in terms of $|S|$ using results from closure theory. These graphs are shown to be the first known wide-ranging and representative subclass of graphs with complete $k$-closure, and they afford a new and simple construction of minimum graphs with complete $k$-closure. Finally, as an example of the number-theoretic interpretations of these graphs and their properties, we generalize a theorem by Cramer concerning prime numbers to a number of different sequences. / \'tant donn\'{e} un sous-ensemble $S$ de $\{3,4,\ldots,2n-1\}$, le graphe additif engendr\' par $S$ a un ensemble de sommets $V=[n]$ et un ensemble d'arr\^tes $E$, telle que $(i,j) \in E$ si et seulement si $i+j \in S$. L'objectif de cette th\`se est l'\'{e}tude des relations entre l'ensemble $S$ et les propri\'t\'{e}s monotones du graphe additif correspondant. On effectue les premi\`{e}res recherches connue sur le \textit{Traversal By Prime Sum Problem}, probl\`{e}me dans lequel l'ensemble $S$ correspond \`{a} l'ensemble des nombres premiers et la propri\'t\'{e} de graphe recherch\'e est l'existence d'un cycle hamiltonien. De nouveaux r\'{e}sultats sont \'tablis pour ce probl\`me ainsi que dans le cas o\` $S$ est l'ensemble des entiers pratiques.\\ Pour un tel $S$ quelconque, on d\'{e}montre que la $|S|$-fermeture du graphe additif engendr\' par $S$ est un graphe complet. Ainsi, en utilisant les r\'{e}sultats de la th\'orie de la fermeture on parvient \` d\'{e}terminer le seuil pour plusieurs propri\'t\'{e}s monotones des graphes en terme de $|S|$. Ces graphes sont les premiers repr\'sentant connus d'une large sous-classe de graphe $k$-ferm\'{e}s complets. Ils permettent de donner une construction nouvelle et simple de graphe ferm\'s et complets minimaux. Enfin, comme exemple d'interpr\'{e}tation arithm\'tique de ces graphes et de leurs propri\'{e}t\'s, on g\'{e}n\'ralise un th\'{e}or\`{e}me de Cramer sur les nombres premiers \`{a} d'autres suites d'entiers.

In this thesis, three geometric problems are studied that involve Voronoi regions in $\mathbb{R}^d$ which are generated by codimension $k$ sets, $k\in\{1,...,d\}$. Hereafter, these sets will be called \textit{generators}. The Voronoi regions they generate will be referred to as \textit{generalized Voronoi regions}. The first problem considered is that of computing the measures of (equivalently, integrals over) generalized Voronoi regions. To this end, a Markov operator is constructed that yields a sequence of measures, and converges to a measure concentrated in a fixed neighborhood of the generators. It is shown that the neighborhoods of the generators are the invariant sets of the operator, and moreover that they are attractive. Furthermore, it is proven that the mass concentrated on each invariant set yields a first order approximation of the measure of each Voronoi region. Next, the operator is discretized on a regular computational grid, and a scheme to iterate the operator numerically is derived. The scheme is shown to be convergent, and offers a first-order approximation of the true measure. A variety of numerical examples in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$ are shown for curves and curved surfaces, though the algorithm applies in any dimension. The second problem investigated is a geometric optimization problem known as the Centroidal Voronoi Tessellation (CVT). This problem is concerned with finding, for a fixed number of codimension $d$ generators (i.e., points), the configuration that minimizes the squared distance from any point in the domain to the closest generator. As this problem is formulated in terms of codimension $d$ generators , in the current work, this formulation is now generalized to the case of codimension $k$ generators, $k \in \{1,...,d-1\}$. Energy derivatives are calculated for the codimension $k$ case, and an algebraic approximation of the energy is proposed whose minimizers have a geometric Lloyd-type characterization. The implementation of a generalized quasi-Newton method is discussed. Results for the optimization are shown in a variety of cases in $\mathbb{R}^2$, which serve to highlight the strengths and limitations of the quasi-Newton method. Finally, the energy landscape associated with the non-convex CVT optimization problem is considered. A study of the CVT energy landscape for circular generators in $\mathbb{R}^2$ is presented for varying numbers of generators with possibly heterogeneous radii. This demonstrates the difference in energies between the local minimizers of the CVT energy. The arrangement of the lowest energy configurations are presented. / Cette thèse porte sur trois problèmes géométriques impliquants les régions de Voronoï dans $\mathbb{R}^d$ associées à des ensembles de codimension $k$, $k\in\{1,...,d\}$. Nous appellerons désormais ces ensembles les \textit{germes}, tandis que les régions de Voronoï qui leur sont associées seront designées par le terme \textit{régions généralisées de Voronoï}. Le premier problème dont nous traitons est le calcul des mesures (ce qui revient à évaluer des intégrales sur) des régions généralisées de Voronoï. À cette fin, un opérateur de Markov générant une séquence de mesures est construit, et converge vers une mesure concentrée en un voisinage fixe des germes.Il est demontré que les voisinages des germes sont des ensembles invariants de l'opérateur, et qu'ils sont attractifs. De plus, il est prouvé que la masse concentrée sur chaque ensemble invariant constitue une approximation au premier ordre de la mesure de chaque région de Voronoï. Par la suite, l'opérateur est discrétisé sur une grille, et un schéma qui itère numériquement l'opérateur est obtenu. Il est démontré que le schéma qui résulte est convergent, et donne une approximation au premier ordre de la mesure exacte. Un certain nombre d'exemples numériques ayant pour germes des courbes et des surfaces courbées sont présentés dans $\mathbb{R}^2$ et dans $\mathbb{R}^3$, bien que l'algorithme s'applique à un nombre arbitraire de dimensions. Le deuxième problème dont il est question est un problème d'optimisation géométrique connu sous le nom de Tesselation Centroïde de Voronoï (TCV). Le but de ce problème est de trouver, étant donné un nombre fixe de germes de codimension $d$ (c-à-d des points), la configuration qui minimise le carré de la distance entre n'importe quel point du domaine et le germe le plus proche. La formulation TCV que nous proposons est étendue au cas de germes de codimension $k$, $k \in \{1,...,d-1\}$. Les dérivées énergétiques sont calculées pour le cas où les germes ont codimension $k$, et une approximation algébrique de l'énergie dont les minimaux ont une caractérisation géométrique dite du type de Lloyd est proposée. L'implémentation d'une méthode généralisée quasi-Newton est discutée. Les résultats de l'optimisation sont présentés pour divers cas dans $\mathbb{R}^2$, afin d'illustrer les avantages et inconvénients de méthod quasi-Newton. Finalement, la configuration énergétique associée au problème d'optimisation TCV non-convexe est considérée. Une étude de la configuration énergétique TCV pour des germes circulaires dans $\mathbb{R}^2$ est présentée pour un nombre irréguliers de germes, avec des rayons possiblement hétérogènes. Ceci illustre les différences d'énergie entre les mimimaux locaux de l'énergie TCV. Les arrangements correspondants aux configurations énergétiques les plus basses sont présentées.

We consider the one dimensional discrete Schrödinger operator h = h_0 + V on the full line and half line, where h_0 is the discrete Laplacian and V is a real-valued potential. We explain the Spectral theorem for the operator and give explicit formulas of the Green's function and spectral measures in case of the Laplacian. We explore the rank one potentials and compute their scattering operator. We also explore periodic potentials on the full line. We introduce random Schrödinger operators, and reproduce the proof of the celebrated theorem of Pastur that the spectrum is almost surely the same set. To illustrate ergodic families of random operators, we study the Anderson model in one dimension. / L'objet de la thèse est l'opérateur de Schrödinger discret h = h_0 + V en une dimension, sur la ligne et la demi-ligne, où h_0 est le Laplacien discret et V est un potential à valeurs réelles. Nous expliquons le théorème spectral pour cet opérateur et donnons des formules explicites dans le cas du Laplacien. Nous explorons les perturbations du premier ordre. Nous explorons aussi les potentiels périodiques sur la ligne. Après avoir introduit les opérateurs de Schrödinger aléatoirs, nous reproduisons le célèbre théorème de Pastur établissant l'existence d'un spectre identique presque partout. Afin d'illustrer les familles d'opérateurs de Schrödinger aléatoirs ergodiques, nous étudions le modèle d'Anderson.

We study lattices arising from ideals in cyclotomic fields. We begin with some general theory about lattices. We introduce certain important lattices, namely the root lattices and the Niemeier lattices. We then describe how to obtain lattices using ideals in number fields and we determine some of their basic properties. We continue our study by specializing to cyclotomic fields. We determine all the root lattices and all the Niemeier lattices that are similar to ideals in cyclotomic fields as well as all the cyclotomic fields in which they can be obtained. We give many examples and even a few examples of even unimodular lattices in dimension 32. We mainly follow the work of E. Bayer. / Nous étudions les réseaux qui surviennent d'idéaux dans des corps cyclotomiques. Nous commençons avec de la théorie générale sur les réseaux. Nous introduisons certains importants réseaux, les réseaux racines et les réseaux de Niemeier. Nous décrivons ensuite comment obtenir des réseaux en utilisant des idéaux dans des corps de nombres et nous déterminons quelques-unes de leurs propriétés. Nous continuons notre étude en nous spécialisant aux corps cyclotomiques. Nous déterminons tous les réseaux racines et les réseaux de Niemeier qui sont similaires à des idéaux dans des corps cyclotomiques ainsi que tous les corps cyclotomiques dans lesquels ils peuvent être obtenus. Nous donnons plusieurs exemples et même quelque exemples de réseaux unimodulaires pairs en dimension 32. Nous suivons principalement certains travaux de E. Bayer.

In [Buell(1977)] and [Soleng(1994)], Buell and Soleng found explicit homomorphismsbetween the Mordell-Weil group of elliptic curves and the ideals class group of quadraticelds, which turn out to be essentially equivalent. After recalling the basic conceptsin the theories of quadratic forms, quadratic elds and elliptic curves, we prove thatSoleng's homomorphism can be obtained via a height pairing introduced by Mazur andTate [Mazur and Tate(1983)], under certain conditions. Then the technique developed inthe proof of this result is used to nd new homomorphisms. Examples of explicit computationsof the Mazur-Tate pairing are also given. / Dans les articles [Buell(1977)] et [Soleng(1994)], Buell et Soleng mettent en évidencedes homomorphismes explicites entre le groupe de Mordell-Weil des courbes elliptiques etle groupe des classes d'idéaux des corps quadratiques. Après avoir introduit les théories desformes quadratiques, des corps quadratiques et des courbes elliptiques, il sera démontré quel'homomorphisme de Soleng, qui est essentiellement équivalent à celui de Buell, peut êtreobtenu à l'aide d'un accouplement de hauteur dû à Mazur et Tate [Mazur and Tate(1983)].Par la suite, les idées rencontrées dans la preuve de ce résultat seront utilisées pour découvrirde nouveaux homomorphismes. Des exemples de calculs explicites de l'accouplement deMazur-Tate sont aussi donnés.

Core-selecting auction mechanisms are auctions that select player utilities which satisfy certain stability properties. They are currently of theoretical and practical interest in mechanism design, having already been used to conduct multi-billion dollar auctions. We generalize the concept of a Core-selecting auction mechanism to a large class of complete information games and demonstrate that several well-known games can be described by these Core-selecting mechanisms. Our main result is a bound on the Price of Anarchy of Core-selecting mechanisms. Provided some simple conditions are met, there are Core-selecting mechanisms with Price of Anarchy at most 1 + 1/D^2, where D in [0,1] is a measure of the degree of submodularity of the game's social welfare function, expressed as a set function. In addition to this result, we show that there exist special Core-selecting mechanisms which have two additional properties: they are player-Pareto optimal and they provide a local, individual utility guarantee. / Les mécanismes d'enchères de Coeur-sélection (Core-selecting auction mechanisms) sont des enchères qui sélectionnent les utilités des joueurs qui satisfont certains propriétés de stabilité. Ils occupent présentement une place d'intérêt théorique et pratique dans la théorie de la conception des mécanismes, ayant été utilisés pour effectuer des enchères avec des recettes en milliards de dollars. Nous généralisons la notion d'un mécanisme d'enchères de Coeur-sélection pour les appliquer à des jeux des informations complètes. Nous démontrons que ces mécanismes décrivent plusieurs jeux bien connus. Notre résultat principal est un majorant pour le Prix de l'Anarchie (Price of Anarchy) des mécanismes de Coeur-sélection. Nous démontrons que, si certaines conditions simples sont atteintes, il existe des mécanismes de Coeur-sélection avec un Prix de l'Anarchie d'au plus que 1+1/D^2, où D, entre 0 et 1, est une measure du degré du Sous-modularité (Submodularity) de la fonction du Bien-être du jeu, encodée sous forme de fonction d'ensemble. En plus de cette garantie, nous démontrons qu'il éxiste des mécanismes de Coeur-sélection qui ont aussi deux autres caractéristiques: ils sont Joueur-Optimales (Player Optimal), et ils garantissent un minimum pour le bien-être individuel.

In (HLR86), Harder et al. presented a proof of the Tate conjecture, an important conjecture in the field of arithmetic geometry, for the non-CM part of the cohomology of Hilbert modular surfaces. In this thesis, we present a general strategy for a study of the Tate conjecture for some unitary Shimura varieties. As in the work cited above, we do this by studying the notion of distinction. Distinction on a unitary group is related to distinction on a general linear group through a comparison of relative trace formulas. In the latter setting, work of Jacquet and his collaborators has led to simple criteria in terms of base change and L-functions for the existence of distinguished representations of GL(N). The main result of this thesis is then a proof of a special case of a relative fundamental lemma, the first ingredient of the comparison, when the unitary group is of rank 4. / Dans leur article (HLR86), Harder et al. présente une preuve de la conjecture de Tate, une importante conjecture en géométrie arithmétique, pour la partie sans CM de la cohomologie des surfaces modulaires de Hilbert. Cette thèse propose une stratégie générale pour l'étude de la conjecture de Tate pour certaines variétés de Shimura unitaires. Comme dans le travail cité ci-haut, la méthode proposée passe par l'étude de la notion de distinction. La distinction sur un groupe unitaire est reliée à la distinction sur un groupe général linéaire par le biais d'une comparaisonde formules des traces relatives. Dans ce dernier contexte, le travail de Jacquet et ses collaborateurs donne des critères simples, en termes de changement de base et de fonctions L, pour l'existence de représentations distinguées sur GL(N). Le résultat principal de cette thèse est donc une preuve d'un cas spécial d'un lemme fondamental relatif, premier ingrédient d'une comparaison, lorsque le groupe unitaire est de rang 4.

The subject of this thesis is the detection of Lagrangian Coherent Structures (LCS) in three-dimensional steady flows. LCS are influential material surfaces that act as skeletons of observed mixing patterns in a dynamical system. We review recent variational results for the construction of LCS in two-dimensional flows, and develop our own numerical implementation of these methods. We first test these implementations on two-dimensional examples, in which we obtain some new results and insights. Next, we apply the two-dimensional variational theory to the two-dimensional Poincaré map of a three-dimensional steady flow. For the Poincaré map of the classic ABC flow, we obtain Elliptic and Parabolic LCS at a previously unseen level of detail. Some of these structures, such as twistless KAM curves, have been previously unknown for this flow. Using the flow map, we finally extend the two-dimensional findings to uncover exact transport barrier surfaces in the full ABC flow. This approach applies to transport barrier detection in any three-dimensional, autonomous dynamical system. / Le contenu de cette thèse porte sur la détection des Structures Cohérentes de Lagrange (LCS) au sein des flots tri-dimensionnels stationnaires. Les LCS sont des surfaces matérielles de haute importance, qui font office de squelettes parmi les patterns mélangeants observés dans un système dynamique. Nous présentons tout d'abord des résultats variationnels récents sur la construction des LCS dans les flots bi-dimensionnels, puis développons nos propres implémentations numériques de ces méthodes. En premier lieu, nous testons ces implémentations sur des exemples bi-dimensionnels, et obtenons à la fois des résultats inédits et de nouvelles perspectives concernants ces problèmes. Nous appliquons ensuite la théorie du calcul variationnel en deux dimensions à l'application de Poincaré bi-dimensionnelle d'un flot stationnaire tri-dimensionnel. Dans le cas de l'application de Poincaré du flot ABC classique, nous obtenons des LCS elliptiques et paraboliques d'une résolution précédemment inegalée. Certaines de ces structures, telles que des courbes KAM non-tourbillonantes, n'étaient pas connues auparavant comme étant présentes dans ce flot. À l'aide du flot, nous étendons ces résultats bi-dimensionnels et mettons au jour des surfaces de barrière au transport dans l'entièreté du flot ABC. Cette approche s'applique à la détection des barrières au transport dans n'importe quel système dynamique autonome tri-dimensionnel.

We prove that the problem of deciding whether or not two group elements are conjugate can be solved using a logarithmic amount of space for the following groups: Grigorchuk's group, free solvable groups and the wreath product of two groups having log-space decidable conjugacy problems. We show that in free metabelian groups every element can be rewritten into a unique normal form in logarithmic space. Additionally, we show that the Magnus embedding, which embeds a free solvable group in the wreath product of a free abelian group with a free solvable group of lesser degree, is a quasi-isometric embedding. / On prouve que le problème de conjugaison dans les groupes suivants peut être résolu en n'utilisant qu'un espace logarithmique: le groupe de Grigorchuk, les groupes solubles libres et les produits en couronne de deux groupes dans lesquels le problème de conjugaison peut être résolu en espace logarithmique. On démontre aussi que tout élément d'un groupe métabelien libre peut être réécrit en tant que forme normale unique. De plus, on démontre que le plongement de Magnus, qui permet de voir un groupe soluble libre en tant que sous-groupe d'un produit en couronne d'un groupe abélien libre et d'un groupe soluble libre de moindre degré, est une quasi-isométrie.

Article [8] is first placed in its historical context and the points of interestsof this article are mentioned. It follows from them a deep study in which thesteps described in this article are followed, with occasional references to otherarticles (of the same authors or not). The way the Einstein-Dirac system isobtained is described. Then, results given by [9] on the separation of the Diracequation on the three-sphere and detailed in appendix are used. These resultsalong with the classical expression for the energy-momentum tensor, for whichthe vanishing of the divergence is proved, allow the reducing of the Einstein-Dirac system to a system of coupled ODE with a normalization condition.To study this system, the Bloch formalism is briefly introduced. It is thenused to simplify the study and the resolution of this system. The resultingsystem's solutions are taken from [8] and analysed in an essentially qualitativeway. The approximate solution determined in [7] is then described and usedto find an approximate lower bound on the probability that the Big-Bang isavoided. / D'abord, l'article [8] est situé dans son contexte et les points d'intérêt decet article sont soulevés. Il en découle une étude approfondie, où les démarchesde cet article sont suivies, en se référant à d'autres articles (des mêmes auteursou non). L'obtention du système d'Einstein-Dirac dans [8] est décrite. Puis,les résultats exposés sur la séparation de l'équation de Dirac sur la sphère dedimension trois dans [9] et qui sont détaillés en annexe, sont utilisés. L'utilisationde ces résultats avec l'expression classique du tenseur d'énergie-impulsion,dont la nullité de la divergence est démontrée, permet de réduire le systèmed'Einstein-Dirac en un système de deux EDO couplées avec une condition denormalisation.Pour étudier ce système, le formalisme de Bloch est brièvement introduit.Il est ensuite utilisé de façon a simplifier l'étude et la résolution de ce système.Les solutions du système résultant sont tirées de [8] et analysées de façon essentiellementqualitative. La solution approchée déterminée dans [7] est décriteet utilisé pour poser une borne inférieure approximative sur la probabilité quele Big-Bang soit évité.