We consider the zeros of a Neumann eigenfunction φ_λ on an analytic domain­solving the equation -∆ φ_λ =λ^2 φ_λ. We count the number n(λ;H) of intersection points of the nodal lines of φ_λ (components of the nodal set) with a fixed real analytic curve H contained in the interior of the domain. We identify a large family of curves H, namely C^ω-homotopic curves to the boundary, for which the nodal intersection bound for n(λ;H) is O(λ). This bound is consistent with Yau's famous conjecture on the measure of the nodal set. / On considère les zéros d'une fonction propre de Neumann φ_λ d'un domaine analytique ­, solution de l'équation -∆ φ_λ =λ^2 φ_λ. On compte le nombre d'intersectionn (λ;H) de lignes nodales des fonctions propres de Neumann (composantes de l'ensemble nodal) avec une courbe fixe analytique réelle H contenue à l'intérieur du domaine. On identifie explicitement une grande famille de courbes pour lesquelles une borne pour l'intersection nodale n(λ;H) est O(λ). Cette borne est compatible avec la conjecture célèbre de Yau sur la mesure de l'ensemble nodal.

In "Sheaf Theory and the Continuum Hypothesis", Lawvere and Tierney proved the consistency of the negation of the continuum hypothesis with the theory of Set-like toposes. In this thesis, I generalize the Lawvere-Tierney result in two directions. Lawvere and Tierney's result relies upon the law of excluded middle and the axiom of choice, and I provide a formulation and proof of the consistency of the negation of the continuum hypothesis which abandons this assumption. Moreover, I generalize the work that's been done on the continuum hypothesis and its consistency from the context of topos theory presented in the Lawvere-Tierney proof to the context of algebraic set theory. / Dans "Sheaf Theory and the Continuum Hypothesis", Lawvere et Tierney ont démontré la compatibilité de la négation de l'hypothèse du continu avec la théorie des topos qui ressemblent au Set. Dans cette thèse, j'universalise le résultat de Lawvere-Tierney dans deux directions. Le résultat de Lawvere-Tierney compte sur le principe du tiers exclu et l'axiome du choix, et je fournis une formulation et une démonstration de la consistance de la négation de l'hypothèse du continu qui abandonne cette assomption. Aussi, j'universalise tous ces résultats sur l'hypothèse du continu et sa consistance de la contexte de la théorie du topos à la contexte de la théorie algébrique des ensembles.

A class of graphs is minor closed if it contains all the minors of its elements. In this thesis, we discuss optimization algorithms for the graphs in certain minor-closed classes that exploit their structural properties. The algorithms use special tree- decompositions of these graphs as well as some other structural theorems. We present new results on finding odd cycle covers of bounded size. We present a new algorithm to do so in arbitrary graphs, and show that a variant of this algorithm runs in linear time on the class of graphs obtained by excluding any fixed graph H as a minor. / Une classe de graphes est dite close par mineur si elle contient tous les mineurs de ses éléments. Dans cette thèse, nous discutons des algorithmes d'optimisation pour certaines classes closes par mineur qui exploitent leur structure. Ces algorithmes sont basés sur des décompositions arborescentes spéciales de ces graphes et quelques autres théorèmes structurels. Nous présentons de nouveaux résultats sur la recherche de couvertures de cycles impairs de taille limitée. Nous présentons un nouvel algorithme pour résoudre ce problème dans un graphe arbitraire, et montrons qu'une variante de cet algorithme prend un temps linéaire sur la classe de graphes obtenus en excluant n'importe quel graphe fixe H comme mineur.

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This thesis studies network flow problems. More specifically, we mostly consider single-sink multicommodity flows with constraints on how nodes may "process" flow. In the unsplittable flow problem, the demand sent from a source to its destination must follow a single path. In d-furcated flows, each node is allowed to send flow to at most d out-neighbours. The special case with d equal to 1 is called confluent flow. We make a survey of many of the known algorithms to tackle these problems. Finally, we present a new result which uses confluent flows and a special type of clustering we call rooted clustering to give an approximation algorithm for the maximum edge-disjoint path problem. This algorithm routes a constant fraction of the demand with maximum edge congestion at most 3, thus improving the previous known bound of 4. / Cette thèse étudie les problèmes de flots sur réseau. Plus particulièrement, nous portons notre attention sur les flots à puits unique et à multiples sources avec des contraintes de degré. Dans le problème de flot indivisible, la demande envoyée par une source doit suivre un chemin unique. Dans le problème de flot d-furqué, chaque sommet peut envoyer du flot à d voisins au plus. Le cas particulier avec d égal à 1 est appelé flot confluent. Nous présentons un survol de certains des algorithmes utilisés pour attaquer ces problèmes. Finalement, nous présentons un nouveau résultat qui utilise les flots confluents et un type particulier de regroupement des sommets que nous appelons regroupement enraciné pour obtenir un algorithme d'approximation pour le problème de maximisation des chemins disjoints (en terme d'arêtes). Cet algorithme satisfait une fraction constante de la demande totale avec une congestion d'arête d'au plus 3. Il s'agit donc d'une amélioration de la meilleure borne précédente de 4.

In this thesis, we study the rate of convergence of eigenfunctions of the Laplace operator on $n$-dimensional at tori. After stating some well known results about the convergence of the eigenfunctions and their Fourier expansion due to Bourgain, Jakobson, and Mockenhaupt, we prove Jakobson's conjecture, which states that the Fourier expansion of the square of eigenfunctions on $n$-dimensional tori are in $l^n$. The proof is given by a geometric lemma that uses the convexity of $S^n$ / Dans cet exposé, nous étudions la convergence des fonctions propres del'opérateur Laplace sur un tore plat de dimension $n$. Après avoir énoncéquelques résultats bien connus sur la convergence de ces fonctions propres etde leur décomposition de Fourier dus à Bourgain, Jakobson et Mockenhaupt,nous prouvons la conjecture de Jakobson dont l'énoncé dit que la série deFourier du carré d'une fonction propre de l'opérateur Laplace sur un toreplat de dimension $n$ est dans $l^n$. La preuve utilise un lemme qui exploite laconvexité de $S^n$.

We consider discontinuous Galerkin finite element methods for the discretization of linearized elasticity problems in two space dimensions. Inf-sup stability results on the continuous and discrete level are provided. Furthermore, we derive lower and upper a posteriori error bounds that are robust with respect to nearly incompressible materials, and can easily be implemented within an automatic mesh refinement procedure. The theoretical results are illustrated with a series of numerical experiments. / Nous considérons les méthodes de Galerkin pour la discrétisation des relations déformations-déplacements linéaires en deux dimensions d'espace. Des résultats du stabilité inf-sup sur les niveaux continus et discrets sont fournis. En plus, nous dérivons des limites inférieurs et supérieures pour l'erreur a posteriori qui peuvent être utilisées dans des procédures de maillage automatisées sans difficulté et qui demeurent robustes dans le cas des matériaux qui ne sont presque pas compressibles. Les résultats théoriques sont illustrés par des expériences numériques.

Robust network design takes the very successful framework of robust optimization and applies it to the area of network design, motivated by applications in communication networks. The main premise is that demands across the network are not fixed, but are variable or uncertain. However, they are known to fall within a prescribed uncertainty set. Our solution must have sufficient capacity to route any demand in this set; moreover, the routing must be oblivious, meaning it must be fixed up front, and not depend on the particular choice of demand from within the uncertainty set. A particular choice of uncertainty set within this framework yields the "hose model", which has received particular attention due to applications to virtual private networks. A 2-approximation was known for the problem, using a solution template in the form of a tree. It was conjectured that this tree solution is actually always optimal; this became known as the "VPN Conjecture". As one of the central results of this thesis, we prove this conjecture in full generality. In addition, we demonstrate a counterexample to a stronger multipath (fractional routing) version of the conjecture which had also been proposed. We initiate a study of the robust network design problem more generally, with a focus on approximability. In the general model, where the uncertainty set is given by an arbitrary separable polyhedron, we give a strong inapproximability result. We then consider a new and natural model generalizing the symmetric hose model, based on demands routable on a given tree, and provide a constant factor approximation algorithm. Lastly, we compare oblivious routing with the much more flexible (but also less practical) dynamic routing scheme where the routing may vary depending on the demand pattern. We show that in the worst case, the cost of an optimal oblivious routing solution can be much more expensive than the dynamic optimum, by up to a logarithmic factor. / Motivé par les applications concernantes les réseaux de communication, le dessein des réseaux robustes applique les méthodes très réusies provenant de l'optimisation robuste. La prémisse principale est que les demandes sur le réseau ne sont pas fixes, mais variables ou incertaines. Cependant, nous savons qu'elles sont tirées d'un ensemble d'incertitude prescrit. Il faut que la solution ait une capacité suffisante pour pouvoir router toute demande appartenant à cet ensemble. En outre, il faut que le routage soit oublieux, ce qui signifie qu'il peut être fixé à l'avance, et ne dépends pas du choix particulier de la demande appartenant de l'ensemble d'incertitude. Dans ce cadre, il existe un choix particulier d'ensemble d'incertitude qui mène au « modèle de tuyau ». Ce modèle a reçu une attention particulière à causede ses applications aux réseaux privés virtuels. On connaissait un 2-rapprochement utilisant une solution en forme d'arbre. La « Conjecture de VPN » énonce que cette solution en forme d'arbre est toujours optimale. L'un des résultats principaux de cette thèse démontre cette conjecture en toute généralité. En outre, nous donnons un contre-exemple à une version plus forte de la conjecture concernant les chemins multiples (le routage étant fractionnel) qui avait également été proposée. Nous initions l'étude du problème de la conception de réseaux robustes dans une plus grande généralité, en insistant sur l'approximabilité. Dans le modèle général, où l'ensemble d'incertitude est un polyèdre séparable arbitraire, nous donnons un résultat fort d'inapproximabilité. Nous considérons ensuite un nouveau modèle naturel généralisant le modèle de tuyau symétrique, qui est basé sur des demandes qui peuvent être routées sur un arbre donné, et nous fournissons un algorithme ayant un facteur de rapprochement constant. Finalement, nous comparons le routage oublieux avec le schéma beaucoup plus flexible (

Let f be a modular form of weight k ≥ 4 on a Shimura curve, let K be a quadratic imaginary field, and fix a rational prime p which is inert in K and di- vides the level of f. The goal of this thesis is to construct and study a collection of algebraic cycles on an appropriate Chow motive which encode data about the anticyclotomic p-adic L-function Lp(f,K,s) attached to f and K introduced by Bertolini-Darmon-Iovita-Spieß in [BDIS02]. In our setting, this function of a p-adic variable s vanishes in the critical range s = 1,...,k−1, and we study its derivative. After constructing this motive and the corresponding cycles, we compute their im- age under a p-adic analogue of the Griffiths-Weil Abel-Jacobi map, and show how this recovers the derivatives of the p-adic L-function at all the points in the critical range. Our main result can be viewed as a generalization of the result obtained by Iovita-Spieß in [IS03], which gives a similar formula for the “central” value s = k/2. It can also be seen as an extension of the construction of Bertolini-Darmon-Prasanna appearing in [BDP09] to the Shimura curve setting. / Soit f une forme modulaire de poids k ≥ 4 sur une courbe de Shimura, soit K un corps quadratique imaginaire, et soit p un premier fixé qu'on suppose inerte dans K. Le but de cette thèse est de construire une collection de cycles algébriques sur un motif de Chow approprié, et de démontrer qu'ils sont liés à la fonction-L p-adique anti-cyclotomique Lp(f,K,s) attachée à f et K introduite par Bertolini-Darmon-Iovita-Spieß dans [BDIS02]. Cette fonction d'une variable p-adique s s'annule dans l'intervalle critique s = 1,...,k−1, et nous nous intéressons à sa dérivée. Après avoir construit le motif et les cycles correspondants, nous calculons leur image par un analogue p-adique de l'application d'Abel-Jacobi, et nous retrouvons la dérivée de Lp(f,K,s) dans l'intervalle critique. Notre résultat principal est une généralisation du théorème obtenu par Iovita-Spieß dans [IS03], qui donne une formule du même genre pour la valeur centrale s = k/2. Cette thèse étend également les constructions introduites par Bertolini-Darmon-Prasanna dans [BDP09] au cadre des courbes de Shimura.