Along with explaining the Saito-Kurokawa lift, Eichler and Zagier's book gives the main structural theorems for Jacobi forms on the full modular subgroup. Since then much work has been published in papers generalizing these results to different types of Jacobi forms, but very little work has been done generalizing the theory to Jacobi forms for congruence subgroups. A large part of this thesis will be aimed at generalizing the work of Eichler-Zagier's book to Jacobi forms for congruence subgroups. In particular, we describe the structure for the Jacobi-Eisenstein space of the congruence subgroup Gamma(N). We will also find a bound on the number of Fourier coefficients needed to determine a Jacobi form for a congruence subgroup. The latter part of this work will cover the theory of theta series and the corresponding theory of Jacobi-theta series. The motivating problem for this thesis is to find a basis for the space of Jacobi forms for congruence subgroups. / En plus d'expliquer la soulevement Saito-Kurokawa, le livre d'Eichler et Zagier donne les theoremes principaux sur la structure des formes de Jacobi pour le sous-groupe modulaire complet. Depuis, de nombreux travaux publies generalisent ces resultats differentes sortes de formes de Jacobi, mais tres peu de travail a ete effectu en vue de generaliser la theorie des formes de Jacobi pour les sous-groupes de congruence. Une grande partie de cette these visera a generaliser les conclusions du livre d'Eichler-Zagiera des formes de Jacobi pour les sous-groupes de congruence. En particulier, nous decrirons la structure de l'espace Jacobi-Eisenstein du sous-groupe de congruence Gamma(N). Nous trouverons egalement une borne au nombre de coefficients de Fourier necessaires pour determiner une forme de Jacobi d'un sous-groupe de congruence. La derniere partie de ce travail portera sur la theorie des series theta et la theorie correspondante de la serie theta de Jacobi. Le probleme central pour cette these est de trouver une base pour l'espace des formes de Jacobi relativement aux sous-groupes de congruence.

Let G be a graph and T an even cardinality subset of its vertices. We call (G,T) a graft. A T-join is a subgraph of G whose odd-degree vertices are precisely those in T, and a T-cut is a cut delta(S) where S contains an odd number of vertices of T. An interesting question from a combinatorial optimization perspective is that of finding optimal T-joins and T-cuts. These have applications in various places. We give an overview of several such optimization problems, as well as several algorithms for finding optimal T-joins and T-cuts from the literature.We then consider a packing problem in grafts. It is a simple observation that the number of edge-disjoint T-joins is at most the number of edges in any T-cut. However it is not known exactly when these quantities are equal. It has been conjectured by Guenin that if G is planar and all T-cuts of G have the same parity and the size of every T-cut is at least k, then G contains k edge-disjoint T-joins. The case k = 3 is equivalent to the Four Colour Theorem, and the cases k = 4, which was conjectured by Seymour, and k = 5 were proved by Guenin. Recently, the case k = 6 was settled by Dvorak, Kawarabayashi and Kral. In this thesis, we give a proof of the case k = 7. / Soit G un graphe, et T un sous-ensemble de ses sommets de cardinalité pair. Nous appelons (G,T) une greffe. Définissons par T-jointure tout sous-graphe de G dans lequel les sommets de degré impair sont précisement ceux de l'ensemble T, et par T-coupure tout coupure delta(S) où S contient un nombre impair de sommets de T. Une question intéressante en optimisation combinatoire est celle de trouver les T-jointures et T-coupures optimales. Nous donnons un aperçu de divers problèmes d'optimisation auxquels ceux-ci s'appliquent, ainsi que plusieurs algorithmes pour trouver les T-jointures et T-coupures optimales.Nous considérons ensuite un problème d'empaquetage dans les greffes. C'est une observation facile que le nombre de T-jointures arête-disjointes dans le graphe G est au maximum le nombre d'arêtes dans quelconque T-coupure. Cependant on ne sait pas exactement quand ces quantités sont égales. Il a été conjecturé par Guenin que si G est planaire, que tous les T-coupures de G ont la même parité et que et le nombre d'arêtes dans chaque T-coupure est au moins k, alors G contient k T-jointures arête-disjointes. Quand k = 3 la question est équivalente au théorème des quatre couleurs, et le cas k = 4, ce qui a été conjecturé par Seymour, et k = 5 ont été prouvés par Guenin. Récemment, le cas k = 6 a été réglé par Dvorak, Kawarabayashi et Kral. Dans cette thèse, nous donnons une preuve pour le cas k = 7.

We present an O(vopt)-approximation algorithm for the maximum leaf spanning arborescence problem, where opt is the number of leaves in an optimal spanning arborescence. The result is based upon an O(1)-approximation algorithm for a special class of directed graphs called willows. Incorporating the method for willow graphs as a subroutine in a local improvement algorithm gives the bound for general directed graphs. / Nous présentons une approximation algorithmique O(vopt) pour le probléme d'envergure maximum d'arborescence o´u opt est le nombre de feuilles dans une étendue arborescente optimal. Le résultat est basé sur une approximation algorithmique O(1) pour une classe spéciale de graphiques dirigés appelés saules. En incorporant la méthode des graphiques de saules comme une sous-routine dans une amélioration algorithmique locale nous donne le lien des graphiques dirigée généraux.

We analyse the preservation of physical properties of numerical approximations tosolutions of the Lotka-Volterra system: its positivity and the conservation of theHamiltonian. We focus on two numerical methods : the symplectic Euler method andan explicit variant of it. We first state under which conditions they are symplectic andwe prove they are both Poisson integrators for the Lotka-Volterra system. Then, westudy under which conditions they stay positive. For the symplectic Euler method,we derive a simple condition under which the numerical approximation always stayspositive. For the explicit variant, there is no such simple condition. Using propertiesof Poisson integrators and backward error analysis, we prove that for initial conditionsin a given set in the positive quadrant, there exists a bound on the step size, such thatnumerical approximations with step sizes smaller than the bound stay positive overexponentially long time intervals. We also show how this bound can be estimated.We illustrate all our results by numerical experiments.

Mathematical modeling can help providing better understanding of the nature and characteristics of regulatory processes in hematology. We first review different mathematical approaches used for modeling so-called dynamical hematological diseases, which are characterized by oscillations in one or more blood cell lines. Then, we present two delay differential equation (DDE) models of the hematopoietic system designed for the study of the effects of Granulocyte-Colony Stimulating Factor (G-CSF) administration. G-CSF is used clinically for treating subjects presenting low numbers of white blood cells, a condition referred to as neutropenia that can result from different causes. However, even though G-CSF is widely used in clinical practice, it is not clear whether the standard G-CSF administration schedule is optimal. The aim of this work is to study alternative treatment regimens that would optimize the use of G-CSF using a mathematical modeling approach. The first model we propose is a comprehensive model that considers G-CSF administration for cyclical neutropenia, a dynamical disorder characterized by oscillations in the circulating neutrophil count. The second model focuses on the effects of two recombinant forms of G-CSF (filgrastim and pegfilgrastim) for the treatment of chemotherapy-induced neutropenia. For each model, we use a combination of mathematical analysis and numerical simulations to study alternative G-CSF treatment regimens that would be efficient while reducing the amount of drug. We found that the dynamical properties of the model could be exploited for designing better G-CSF treatment strategies. / La modélisation mathématique est un outil qui permet d'obtenir une meilleure compréhension des différents processus de régulation en hématologie. Dans un premier temps, nous révisons différentes approches qui sont utilisées pour modéliser les maladies hématologiques dites dynamiques. Celles-ci sont caractérisées par la présence d'oscillations dans le niveau d'un ou de plusieurs types de cellules sanguines. Ensuite, nous présentons deux nouveaux modèles d'équations différentielles à délais (EED) du système hématopoïétique, qui sont dédiés à l'étude des effets de l'administration du granulocyte-colony stimulating factor (G-CSF). Le G-CSF est utilisé en pratique pour traiter les patients dont le niveau de globules blancs est faible, une condition appelée neutropénie, qui peut survenir dans plusieurs contextes. Cependant, même si le G-CSF est largement utilisé dans le milieu médical, il n'est pas clair que le protocole d'administration standard soit optimal. L'objectif de cette thèse est d'étudier des protocoles de traitement alternatifs qui optimiseraient l'utilisation du G-CSF en utilisant une approche de modélisation mathématique. Le premier modèle que nous proposons est un modèle qui inclut tous les types de cellules sanguines et qui considère l'administration du G-CSF dans le cas de la neutropénie cyclique, une maladie caractérisée par la présence d'oscillations dans le nombre de globules blancs, de plaquettes et de globules rouges. Dans le second modèle, nous nous intéressons aux effets de deux formes de G-CSF (filgrastim et pegfilgrastim) qui sont utilisés pour traiter la neutropénie qui survient fréquemment suite à la chimiothérapie. Pour chacun des modèles, nous utilisons une combinaison d'analyse mathématique et de simulations numériques pour étudier des traitements alternatifs de G-CSF qui seraient efficaces tout en réduisant la quantité de médicament utilisée. Nos résultats suggèrent que les pr

The bifurcation diagram of a model nonlinear Langevin equation with delay is obtained. A finite delay implies non-Markovian behavior, and is the subject of current interest as such equations model delayed feedback loops in many settings, including the study of cell regulation. We show that the bifurcation remains sharp, both in the ranges of direct and oscillatory instabilities. Below threshold, the stationary distribution function is a delta function at the trivial state x = 0 despite the delay. At threshold, the stationary distribution function becomes a power law p(x) ∼ x ^a with −1 < a < 0, where a = −1 at threshold and monotonously increases with increasing value of the control parameter. Unlike the case without delay, the bifurcation threshold is shifted by fluctuations, and the shift scales linearly with the noise intensity D. / Le diagramme de bifurcation d' une équation de Langevin non linéaire retardée est obtenu. Un retard fini implique un processus non markovien. De telles équations permettent de modéliser des boucles d'autorégulation retardées dans de nombreux systèmes, incluant la régulation cellulaire. Nous démontrons que la bifurcation demeure aigüe dans les cas d'instabilités stationnaires et oscillatoires. Sous le seuil de bifurcation, la fonction de distribution de probabilité stationnaire est une fonction delta à la solution triviale x = 0, malgré la presence du retard. Au seuil de bifurcation, la distribution stationnaire devient une loi de puissance p(x) ∼ x ^a avec −1 < a < 0, où a = −1 au seuil and croît de facon monotone avec le paramètre de contrôle. Contrairement au cas non-retardé, le seuil de bifurcation est déplacé par les fluctuations, et ce déplacement augmente linéairement avec l'intensité du bruit D.

Using an analogue of Makanin-Razborov diagrams, we give an effective description of the solution set of systems of equations over a partially commutative group (right-angled Artin group) G. Equivalently, we give a parametrisation of the set Hom(H,G) of all homomorphisms from a finitely generated group H to G. / Utilisant une analogue des diagrammes de Makanin-Razborov, nous donnonsde manière algorithmique une description de l'ensemble des solutions de systèmesd'équations dans un groupe partiellement commutatif (ou un groupe d'Artin à angledroit) G. De manière équivalente, nous donnons une paramétrisation de l'ensambleHom(H,G) des homomorphisms d'un groupe de génération finie H à G.

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In the first part of the thesis, we give a description of the fully residually F quotients of F* <x,y>. The techniques we use rely extensively on the structure results of fully residually free groups developed by O. Kharlampovich, A. Miasnikov, and by Z. Sela. We also use the now classical theory of H. Bass and J.-P. Serre of the actions of groups on trees. As an application we completely recover the descriptions of the solutions sets of systems of equations in two variables given by Hmelevskii} and Ozhigov, the most precise to date, using completely algebraic methods. We also construct some examples to illustrate the richness of the theory. In the second part of the thesis, we prove some results on algorithmic complexity. First we show that the the problem of deciding the solvability of an arbitrary quadratic equation over a free group is NP-complete. We also give an algorithm for Stallings' Folding Process; a fundamental technique in geometric group theory; which, for a fixed free group, runs in worst case time O(n\log^*(n)). / Dans la première partie de cette thèse, nous décrivons les quotients de F*<x,y> qui sont des F-groupes limites. Les techniques que nous utilisons proviennent des résultats sur la structure des groupes limites développées par O. Kharlampovich, A. Miasnikov et indépendamment par Z. Sela. Nous utilisons également la théorie maintenant classique de H. Bass et de J.-P. Serre sur les actions des groupes sur les arbres. Comme application nous redérivons les descriptions des solutions des systèmes d'équations à deux variables données par Hmelevskii et Ozhigov, qui jusqu'à présent demeurent les plus précis, mais cette fois-ci en utilisant des méthodes complètement algébriques. Nous construisons également des exemples qui illustrent la richesse de la théorie.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous prouvons des résultats de complexité algorithmique. Tout d'abord nous démontrons que le problème de décider si une équation quadratique arbitraire sur un groupe libre a une solution est NP-complet. Nous donnons finalement un algorithme pour le processus du Stallings' Folding qui, donné un groupe libre fixe, opère en temps au plus O(n\log^*(n)).

Stochastic models of discrete populations appear in a broad range of contexts. In this thesis, three of these modelling settings are considered: epidemics which spread through both blood transfusion and surgery, stochastic gene expression, and the accumulation of error in velocity statistics in Molecular Dynamics simulations. We examine specific models in each case, illustrating methods for extracting quantitative statistical information from the systems, and discuss how each approach fits into the more general mathematical framework for discrete populations evolving under stochastic dynamics. / The stochastic epidemics are approximated by branching processes. Generating function techniques are used to derive distributions of the final number of infected individuals and contaminated blood or surgery products in the case that the epidemic eventually dies out (subcritical). This simple model provides a framework for extension to more complicated systems such as those that incorporate populations stratified by age or risk of exposure. To our knowledge, this mathematical approach has not been applied to these kinds of epidemic models elsewhere in the literature. / Stochastic models of gene expression are developed in a similar manner as the epidemic models, with the addition of spatial diffusion of the molecules. The presence of molecular motility leads to quantitative questions not present in the non-spatial model. We pose several of these questions and analytically calculate quantities related to the correlation of mRNA and protein molecules in the steady state. These quantities give a sense of the spatial scale of protein and mRNA clusters around a DNA point source. / Molecular Dynamics simulations typically involve the numerical integration of Newtonian dynamics governing the motion of systems of particles. Often the particles interact only through collisions, and a fixed time step integrator is used to move the system forward in time. In this case, small errors accrue in both position and velocity coordinates. By statistical mechanical considerations, we discard the positional information of the system and model it as a population of particles, distinguished only by their velocities, undergoing evolution via random collisions. Employing additional assumptions about the size of the velocity errors and the distribution of particle velocities, we construct a diffusion model for the drift in energy. This model is verified with simulations and is shown to accurately predict the energy drift in dilute systems for moderate time scales. / Les modèles stochastiques de populations discrètes apparaissent dans une variété de contextes. Dans cette thèse, nous considérons trois thèmes de la modéllisation : les épidémies qui se propagent par la transfusion sanguine et de la chirurgie, l'expression des gènes stochastique et l'accumulation d'erreurs dans les statistiques de vitesse de simulations de dynamique moleculaire. Nous examinons les modèles spécifiques dans chaque cas et en tour nous illustrons des méthodes d'extraction des statistiques quantitatives des systèmes d'information. En plus, nous discutons la façon dont les approches differentes s'inscrivent dans le cadre mathématique plus général pour des populations discrètes qui évoluent par les dynamiques stochastique. / Les épidémies stochastiques sont estimé par des processus de branchement et des techniques de fonctions génératrices les moments sont utilisés pour calculer des distributions de l'état finale du nombre de personnes infectés et des produits contaminé de sang ou de la chirugie dans le cas où l'épidémie est souscritique. Ce modèle simple fournit un cadre pour l'extension au systèmes plus complexes tels que ceux qui intègrent les populations stratifiés en fonction de l'age ou le risque d'exposition. À notre connaissance, cette approche mathématique n'a pas été appliquée À ce type d'épidémie de modèles ailleurs dans la littérature. / Les modèles stochastiques de l'expression des gènes sont développés d'un manière similaire aux modèles de l'épidémie, mais avec l'ajout de la diffusion spatiale des molécules. La présence de la motilité moléculaire mène À des nouvelles questions quantitatives qui ne sont pas posée par les modèle non-spatiales. Nous précisons plusieurs de ces questions et effectuons des calculs analytiques pour des quantités liés À la corrélation des molécules d'ARNm et de protéines À l'état stationnaire. Ces quantités donnent une idée de l'échelle spatiale de les grappes l'ARNm et de protéines autour d'un point source d'ADN. / Généralement, les simulations des Dynamiques Moléculaires impliquent l'intégration numérique des dynamiques Newtoniennes qui régissent le mouvement des systèmes de particules. Souvent, les particules interagissent uniquement par le biais de collisions et une méthode À pas de temps constant est utilisée pour intégrer les équations de motion. système dans le temps. Dans ce cas, des petites erreurs s'accumulent dans les deux coordonnées de position et de vitesse. Par des considérations de mécanique statistique, nous écartons l'information des position des particules et abordons le système comme une population de particules, distuinguée par leurs vitesses, en évolution aléatoire par des collisions. Employant des hypothèses de la taille de la vitesse d'erreurs et de la distribution des vitesses des particules, nous construisons un modèle de diffusion pour la dérive de l'énergie. Ce modèle est vérifiée par des simulations et il est indiqué de prévoir avec précision la dérive de l'énergie dans les systèmes À faibles densité avec un pas de temps modéré.