In this thesis, we will follow a paper by Bryant et al. in finding the necessary and sufficient conditions for the existence of a Levi-Civita connection within a given projective structure [gamma] on a surface. We will give an explicit formulation of a necessary condition, as an obstruction of order five in the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma]. Our approach in finding this obstruction allows us to find sufficient conditions in the real analytic case as well. In terms of the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma], the explicit forms of the sufficient conditions are of order six in generic case, and of order eight in non-generic case. All the formulations will be projectively invariant and will be expressed in point invariants of the second-order ODE whose integral curves are geodesics of [gamma]. We will use a machinery developed by Hitchin and LeBrun, that we call minitwistor theory, to find the moduli space of these integral curves. Using this machinery and the notion of densities on a manifold, we give geometric interpretations of the formulation of the problem and derive a projective property of the space of metrics whose Levi-Civita connections belong to [gamma]. / Dans cette thèse, nous analysons un travail de Bryant et al. portant sur l'obtention de conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'une connexion de Levi-Civita au sein d'une structure projective [gamma] sur une surface. Nous donnons une formulation explicite d'une condition nécessaire sous la forme d'une obstruction d'ordre cinq sur les coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma]. Dans le cas analytique, notre approche nous permet d'obtenir des conditions suffisantes. En termes des coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma], ces conditions suffisantes sont d'ordre six dans le cas générique et d'ordre huit dans le cas non-générique. Toutes les formulations obtenues sont projectivement invariantes et exprimées en termes d'invariants ponctuels des equations différentielles ordinaires d'ordre deux dont les solutions les géodésiques de [gamma]. Nous utlisons une technique développée par Hitchin et LeBrun, appelée théorie des mini-twisteurs, pour trouver l'espace des modules de ces courbes intégrales. En utlisant cette technique et la notion de densité sur une variété, nous donnons des interprétations géométriques de la formulation du problème et dérivons une propriété projectivement invariante de l'espace des métriques dont la connexion de Levi-Civita appartient a [gamma].

We give a self-contained presentation of classical results pertaining to Gaussian random fields, geared toward the application to nonequilibrium statistical mechanics of a Gaussian dynamical system. We then provide results about the existence and the form of the entropy production observable, along with the conditions necessary for the nonequilibrium steady state to occur. Finally, we consider a model consisting of two infinite chains of harmonic oscillators at different initial temperatures. By applying the general results to this model, we prove the existence of a nonequilibrium steady state and compute the expectation of the entropy production observable of this system in the steady state. As expected, the result depends on the temperature difference between the two parts of the chain so that the heat flows from hot to cold and ceases if the initial temperatures were the same. / Nous donnons une présentation indépendante de certains résultats classiques concernant les champs aléatoires gaussiens, orientée vers l'application à la mécanique statistique hors d'équilibre d'un système dynamique gaussien. Nous donnons ensuite des résultats sur l'existence et la forme de l'observable de production d'entropie, ainsi que les conditions nécessaires à l'état de non équilibre stable de se produire. Enfin, nous considérons un modèle composé de deux chaînes infinies d'oscillateurs harmoniques à températures initiales différentes. En appliquant les résultats généraux à ce modèle, nous prouvons l'existence d'un état de non équilibre stable et nous calculons l'espérance de l'observable de production d'entropie de ce système a l'état stationnaire. Comme prévu, le résultat dépend de la différence de températures entre les deux parties de la chaîne de sorte qu'il y ait un flux de chaleur du chaud au froid qui cesse si les températures initiales sont les mêmes.

In a preprint, Ian Leary inquires whether two hyperbolic finitely presented groups are residually finite. We answer in the affirmative by showing that these groups belong to a class of groups, which we call the polygonal VH or PVH groups. To prove that a group is PVH we introduce a systematic tiling method for the standard 2-complex of the group, and deduce from the work of Daniel Wise that hyperbolic PVH groups are residually finite. / Dans un prépublication, Ian Leary se demande si deux groupes finitement hyperboliques et de présentation finie sont résiduellement finis. Nous donnons une réponse positive en montrant que ces groupes appartiennent à une classe de groupes que nous appelons les groupes VH ou groupes PVH. Pour démontrer qu'un groupe est PVH, nous introduisons une méthode systématique pour couvrir d'un pavage le 2-complexe standard du groupe, et déduisons des travaux de Daniel Wise les groupes PVH hyperboliques sont résiduellement finis.

Groups acting freely on $\mathbb Z^n$-trees ($\mathbb Z^n$-free groups) play a key role in the study of non-archimedean group actions. Following Stallings' ideas, we develop graph-theoretic techniques to investigate subgroup structure of $\mathbb Z^n$-free groups. As an immediate application of the presented method, we give an effective solution to the Uniform Membership Problem and the Power Problem in $\mathbb Z^n$-free groups. / Les groupes agissant librement sur les $\mathbb Z^n$-arbres (les groupes $\mathbb Z^n$-libres) ont un rôle clé dans l'étude des actions non-archimédiennes de groupes. Suite aux idées de Stallings, nous développons des techniques graphes-théoretique afin d'étudier la structure de sous-groupes des groupes $\mathbb Z^n$-libres. Une des applications immédiate de notre méthode, est une solution algorithmique du Problème d'Occurance Uniforme et du Problème de Puissance dans les groupes $\mathbb Z^n$-libres.

In this thesis, we give a review of known results concerning the concentration of Laplace eigenfunctions in the high-energy limit. We review asymptotic bounds on Lp norms of eigenfunctions, and possible quantum limits, under a variety of hypotheses on the manifold. We prove a new result that states that if eigenfunctions converge weakly to a quantum limit on the n-torus, they must also do so on a "rescaled" n-torus. / Dans ce mémoire, nous résumons les résultats connus concernant la concentration des fonctions propres du laplacien dans la limite de haute énergie. Nous révisons les bornes asymptotiques sur les normes Lp des fonctions propres, et les limites quantiques admissibles, sous une variété d'hypothèses sur la variété. Nous prouvons un résultat nouveau qui stipule que si les fonctions propres convergent faiblement vers une limite quantique sur le n-tore, ils doivent aussi le faire sur le n-tore rééchelonné.

In this thesis, we study the space of immersions from the circle to the plane Imm(S¹,R²), modulo the group of diffeomorphisms on S¹. We discuss various Riemannian metrics and find surprisingly that the L²-metric fails to separate points. We show two methods of strengthening this metric, one to obtain a non-vanishing metric, and the other to stabilize the minimizing energy flow. We give the formulas for geodesics, energy and give an example of computed geodesics in the case of concentric circles. We then carry our results over to the larger spaces of immersions from a compact manifold M to a Riemannian manifold (N, g), modulo the group of diffeomorphisms on M. / Dans cette thése, nous étudierons l'espace d'immersions d'un cercle au plan Imm(S¹,R²), modulo le groupe de difféomorphisme sur S¹. Nous discuterons de divers métriques riemanniennes et monterons la surprenante impossibilité de séparer des points dans la métrique L². Nous présenterons deux méthodes de renforcer cette métrique, une pour obtenir une métrique non-nulle, et une autre pour stabiliser le flot d'énergie. Nous donnerons les formules pour les géodésiques et l'énergie, et donnerons un exemple de calcul de géodésiques dans le cas des cercles concentriques. Nous étendrons alors nos résultats sur la plus grande espace d'immersion d'une variété M compacte à une variété riemannienne (N,g), modulo le groupe de difféomorphisme sur M.

The main threads of this thesis are related by the theme of the complex Monge-Ampère type equations. It consists of some analysis results from the partial differential equation aspect and several geometric consequences as applications.In the first part, we study the a priori estimates for complex Hessian type equations on Hermitian manifolds. These estimates are the key ingredients for the solvability of the corresponding equations by virtue of the continuity method. In particular, we establish the first and second order derivative estimates for complex Monge-Ampère equations which are analogous to Yau's estimates on Kãhler manifolds. In Chapter 3, we investigate the interior Schauder estimates of the solutions to complex Monge-Ampère equations. Moreover, aiming to extend such regularity results to more general geometric setting, we also establish the classical Bedford-Taylor's interior second order estimate and a local version of Calabi's third order estimate on Hermitian manifolds. The last two chapters of this thesis are devoted to the geometric problems related to complex Monge-Ampère type equations. In particular, we give some results on the nonnegative representation for the boundary class of Kãhler cone and the existence of generalized Kãhler-Einstein metrics. / Dans cette thèse, il est question de l'étude des équations de type Monge-Ampère complexes. On y présente une analyse basée sur les différentes techniques utilisées dans la théorie des équations aux dérivées partielles ainsi que certaines applications géométriques. En premier lieu, nous présentons l'estimation à priori des équations de type Hessienne complexes sur des variétés hermitiennes. Ces estimations sont indispensables à la résolution de ces équations par le biais des méthodes de continuité. Au fait, nous établirons des estimations sur la première et la seconde dérivée des équations Monge-Ampère complexes de la même manière faite par Yau sur les variétés kählériennes.Au troisième chapitre, nous étudions la régularité de Hölder intérieure des dérivées secondes de la solution pour les équations de type Monge-Ampère complexes. De plus, en visant la généralisation de ce type de résultats de régularité à des géométries plus généralee, on a obtenu une estimation de deuxième ordre de type Bedford-Taylor classique et une version locale des estimations de Calabi de troisième ordre sur des variétés hermitiennes. Les deux derniers chapitres de cette thèse sont consacrés aux problèmes géométriques reliés aux équations de type Monge-Ampère complexes. Nous donnons quelques résultats sur la représentation non négative pour la classe de frontière du cône de Kähler et l'existence des métriques généralisée Kähler-Einstein.

Since their popularization by Gromov in the eighties, CAT(0) metric spaces of bounded curvature as defined by Alexandrov have been the locus of great progress in infinite group theory. Surveying ideas and constructions of geometric group theory, we express a bias towards groups acting on structures of this kind. As such, swiftly acquainting the reader with the theory of CAT(0) spaces, we provide a variety of examples obtained by gluing together families of convex polyhedra along their isometric faces. In this context, Gromov's link condition provides a local-to-global framework for non-positive curvature. Combining this with tools from knot theory, such as the Dehn complex of an alternating knot projection, we demonstrate a result of Wise which states that the fundamental group of an alternating link complement is also the fundamental group of a non-positively curved complex. Using similar ideas, we also mention a construction of Wise relating any finitely generated group to the fundamental groups of some non-positively curved complexes. Besides providing such "explicit" constructions, we make use of tower lifts of combinatorial maps to prove Bridson and Haefliger's abstract result that every subgroup of the fundamental group of a non-positively curved two dimensional polyhedral complexes is the fundamental group of some compact non-positively curved two dimensional polyhedral complex. Then, having well established the inherent structure of CAT(0) spaces, we focus on classifying their isometries, group actions upon them, and how they extend to the visual boundary. The combinatorial approach is especially effective here when we prove Haglund's result that cell-preserving isometries of CAT(0) cube complexes are semi-simple.Finally, using the theory of generalized harmonic maps, we demonstrate the superrigidity result of Monod, Gelander, Karlsson and Margulis for reduced actions with no globally fixed point of irreducible uniform lattices in locally compact, compactly generated topological groups of higher rank on complete CAT(0) spaces. / Depuis leur popularisation par Gromov durant les années quatre-vingt, la théorie des espaces métriques à courbure bornée, dits CAT(0), fut à la base de grandes percées dans notre compréhension des groupes infinis. Survolant des constructions de la théorie géométrique des groupes, nous portons donc une attention particulière aux actions sur les espaces CAT(0) et commençcons notre traité par la construction de complexes CAT(0) obtenus en identifiant certaines faces isométriques d'ensembles de polyèdres convexes. Dans ce contexte, le critère du lien de Gromov nous permet de caractériser la courbure nonpositive globale de manière locale. Combinant ces idées à certaines techniques de la théorie des noeuds, nous démontrons un théorème de Wise reliant tout groupe fondamental du complément d'un entrelac alternants à un complexe de courbure nonpositive. Nous relatons aussi une construction similaire de Wise permettant de relier tout groupe présenté de manière finie au groupe fondamental d'un complexe à courbure nonpositive. Outre ces constructions concrètes, nous utilisons les tours de relèvement d'applications combinatoires afin de démontrer un théorème abstrait de Bridson et Haefliger concernant les sous-groupes de groupes fondamentaux de complexes à courbure non-positive. Ayant établi la structure des espaces CAT(0), nous passons en second lieu à la classification de leurs isométries et de leurs extensions à la bordification de ces espaces. L'approche combinatoire est d'une aide particulière lorsque nous prouvons le résultat de Haglund concernant la semi-simplicité d'isométries de complexes cubiques et offre un contraste par rapport à un résultat analogue de Brisdon dans le contexte des complexes polyhédraux. Finalement, en faisant usage de la théorie des applications harmoniques généralisées, nous démontrons le résultat de superrigidité de Monod, Gelander, Karlsson et Margulis pour les actions réduites sans point fixe sur les espaces métriques CAT(0) complets de réseaux uniformes et irréductibles dans des groupes de rang supérieur localement compacts engendrés par un ensemble de générateurs compact.

An important aspect of Diophantine Approximation deals with the problem of approximating real or complex numbers by rational numbers or, more generally, by algebraic numbers of bounded degree. This study provides criteria to decide whether a given real or complex number is algebraic or transcendental. In this thesis we present several such results. Following Davenport & Schmidt we look at the approximation of a real number by rational numbers, by quadratic irrational numbers and by algebraic integers of degree at most 3. We also look at the related problem of simultaneous approximation of a real number and its square by rational numbers with the same denominator. We conclude with a new Gel'fond type criterion in degree 2 and show that it involves an optimal exponent of approximation.

In 2007 Babaioff, Immorlica, and Kleinberg formulated the matroid secretary problem, elegantly tying together the field of matroid theory with generalizations of the secretary problem. In this thesis, we introduce the reader to matroids and the secretary problem, before diving into Babaioff et al's definition and a survey of recent results. We then focus on the important special case of the transversal matroid secretary problem. We formulate a previously undefined class of transversal matroids and give a constant competitive algorithm for them. We also provide the tightest known analysis of Plaxton and Dimitrov's recent 2008 algorithm for the transversal matroid secretary problem and thereby give the tightest known competitive ratio for this problem. / En 2007, Babaioff, Immorlica, et Kleinberg formulèrent la version matroïdale du problème du secrétaire (matroid secretary problem), liant de façon élégante la théorie des matroïdes à des généralisations du problème du secrétaire. Dans cette thèse, nous introduisons le lecteur aux matroïdes et au problème du secrétaire, avant de nous lancer dans la définition de Babaioff et al. et dans une étude de résultats récents. En suite nous nous concentrons sur l'important cas spécial du transversal matroid secretary problem. Nous formulons une classe de matroïdes transversales qui n'a pas été defini auparavant, et présentons un algorithme c-compétitif (c une constante) pour cette classe. Nous fournissons aussi l'analyse la plus rigoureuse que l'on connaisse de l'algorithme récent (2008) de Plaxton et Dimitrov pour le transversal matroid secretary problem, ainsi donnant le meilleur rapport de compétitivité que l'on connaisse pour ce problème.