Ce travail de recherche porte sur les aspects géométriques desmathématiques et de l'informatique.<br />Il est fortement motivé par des applications telles que la conception assistée par ordinateur,<br />l'imagerie médicale, le calcul scientifique et la simulation ou encore la réalité virtuelle et<br />le multimédia. Plus précisément, cette thèse propose une analyse de la géométrie des surfaces<br />tant d'un point de vue local que global.<br />Tout d'abord, étant donnée une surface lisse connue via un échantillonnage, nous étudions le<br />problème de l'estimation des quantités différentielles locales: normale, courbures et quantités<br />d'ordre supérieur. Une méthode d'estimation utilisant un ajustement polynomial est développée:<br />les propriétés de convergence sont établies et un algorithme est proposé et implémenté.<br />D'un point de vue global, nous analysons les lignes d'extrême de courbure sur une surface,<br />appelées ridges. Pour le cas d'une surface discrétisée par un maillage, des conditions<br />précises d'échantillonnage sont données, et sous ces hypothèses, un algorithme produisant une<br />approximation topologiquement certifiée des ridges est développé. Dans le cas d'une surface<br />paramétrée, nous établissons que les ridges ont une structure implicite globale, et étudions les<br />singularités de la courbe associée dans le domaine de paramétrage en termes de systèmes zerodimensionnels.<br />Pour une paramétrisation polynomiale, ces équations sont aussi polynomiales<br />et des méthodes spécifiques de calcul formel sont développées pour calculer la topologie de la<br />courbe singulière des ridges.