The field of discrete dynamical systems is a rich and active field of research within mathematics, with applications ranging from biology to computer science, finance, engineering and various others. In this thesis properties of certain discrete dynamical systems are studied together with number theoretic properties of the functions defining these systems. The dynamical systems studied in this thesis are defined by iteration of power series g with a fixed point at the origin, tangent to the identity, and defined over fields of prime characteristic p. We are interested in the geometric location of the periodic points in the open unit disk. Recent results have shown that there is a connection between the lower ramification numbers of g and the geometric location of the periodic points in the open unit disk. The lower ramification numbers of g can be described as the multiplicity of zero as a fixed point of p-power iterates of g. Part of this thesis concerns characterizing power series having certain sequences of ramification numbers. The other part concerns utilizing these results in order to describe the geometric location of the periodic points in terms of their distance to the origin. More precisely, we characterize all 2-ramified power series, i.e. power series having ramification numbers of the form 2(1 + p + … + pn). Moreover, we also obtain a lower bound of the absolute value of the periodic points in the open unit disk of such series.

Les formules de Thomae classiques (1869) permettent de relier au moyen d'une relation algébrique les points branches d'une courbe hyperelliptique avec les thêta constantes de sa jacobienne. Ces formules donnent notamment un moyen de calculer les thêta constantes d'une courbe hyperelliptique connaissant ses points de ramification ou bien, à l'inverse, de retrouver la courbe en connaissant le theta null point de sa jacobienne. Ceci fournit une réalisation effective du théorème de Torelli. Plus récemment, plusieurs auteurs dont Zemel et Farkas ont proposé une généralisation de ces formules pour des courbes cycliques totalement ramifiées sur la droite projective. Nous nous intéressons dans cette thèse à une généralisation de ces formules pour des courbes galoisiennes résolubles de degré n sur la droite projective. La construction de telles formules suit la stratégie décrite par Farkas et Zemel. Cependant, les points non totalement ramifiés ne décrivent pas des points de n-torsion de la Jacobienne de la courbe via l'application d'Abel-Jacobi. Pour remédier à cet obstacle, nous composons T par theta, où T agit comme une moyenne décrite par un sous-groupe du groupe de Galois de la courbe possédant certaines propriétés. Afin de décrire les zéros de translatés de cette application composée, nous écrivons un analogue du théorème de Riemann sur les zéros de theta. Enfin, nous exhibons un exemple d'une courbe définie par un revêtement de degré 2 suivi de deux revêtements de degré 3 dans laquelle on obtient des formules de Thomae généralisées. / The classical Thomae formulae (1869) provide algebraic relations between the branch points of an hyperelliptic curve and the theta constants of its Jacobian. These formula can be seen as a way to calculate these theta constants from the data of the ramification points of the hyperelliptic curve or in the other way around, to find the curve whose Jacobian is given by its theta null point. This can be seen as an effective version of Torelli's theorem. More recently, several authors including Zemel and Farkas have proposed a generalization of these formula for cyclic curves that are totally ramified on the projective line. In this thesis, we are interested in a generalization of these formula for curves of degree n with a solvable Galois group over the projective line. The construction of such formula follows the strategy developed by Farkas and Zemel. However, the points that are not totally ramified don't describe n-torsion points on the Jacobian of the curve via the Abel-Jacobi map. In order to solve this difficulty, we consider the composed map of T by theta, where T is a mean described by a sub-group of the Galois group of the curve with several properties. We write an analogous of the Riemann's theorem in order to describe the zeros of translates of this composed map. Finally, we show an example of a curve defined by a cover of degree 2 followed by two covers of degree 3 for which we can compute generalized Thomae formulae.

La croissance et le développement des plantes sont sous l’influence de nombreux facteurs génétiques et environnementaux. Parmi eux les hormones végétales participent aux multiples processus qui conduisent à la formation d’une plante via la mise en place d’un réseau complexe d’interactions et de rétro-contrôles. Le contrôle de la ramification implique trois d’entre-elles : l’auxine et les strigolactones (SLs) qui inhibent le démarrage des bourgeons et les cytokinines (CKs) qui le stimulent. Différents mécanismes d’interactions entre ces signaux dans le contrôle de la ramification sont connus. L’auxine contrôle les niveaux de SLs et de CKs, et les voies SLs et CKs convergent vers la même cible, le facteur de transcription BRC1.Chez le pois, les mutants hyper-ramifiés ramosus (rms) sont affectés dans la voie SLs. Les gènes RMS1 (PsMAX4) et RMS5 (PsMAX3) contrôlent la biosynthèse des SLs alors que RMS3 (PsD14) (récepteur) et RMS4 (PsMAX2) sont impliqués dans la perception des SLs. En plus de partager un phénotype hyper-ramifié, les mutants rms présentent un phénotype de nanisme. Cependant le rôle des SLs dans le contrôle de la taille des plantes n’était pas encore connu. Nous avons montré que les SLs contrôlent la taille des plantes en jouant sur le processus de division cellulaire indépendamment de la voie gibbérelline.Les mutants rms montrent des caractéristiques physiologiques similaires : un haut niveau d’expression des gènes de biosynthèse des SL et une faible teneur en CKs dans la sève xylémienne (X-CKs). En revanche, le mutant hyper-ramifié rms2 présente une faible expression des gènes de biosynthèse des SLs et une forte teneur en X-CKs. De précédentes études suggèrent que rms2 est affecté dans un signal tige-racine de rétro-contrôle régulant la biosynthèse des SLs et le niveau de X-CKs. La nature biochimique de ce signal est inconnue et il a été proposé que ce signal soit auxine-indépendant.Nous avons montré que le gène RMS2 est l’homologue chez le pois des gènes AFB4/5 d’Arabidopsis codant pour une protéine à boîte-F de la famille des récepteurs de l’auxine TIR1/AFBs (Auxin signaling F-Box). Ce qui suggère que le signal de rétro-contrôle RMS2-dépendant est l’auxine. De plus nos résultats montrent que les SLs jouent un rôle de répresseur du niveau d’auxine dans la tige via la régulation de l’expression des gènes du métabolisme de l’auxine.L’ensemble de ces résultats montrent que dans le processus de contrôle de la ramification les interactions entre auxine et SLs sont complexes. Les multiples mécanismes en jeux aboutissent à la formation d’une boucle de régulation dans laquelle chaque hormone est capable de contrôler la biosynthèse de l’autre. / The different processes of plant growth and development are under the influence of growth regulators which interact in complex hormonal networks and feedback mechanisms. The control of shoot branching involves 3 key plant hormones, auxin, cytokinins (CKs) and strigolactones (SLs). Auxin and SLs repress axillary bud outgrowth whereas CKs stimulate it. Different mechanisms of interactions between these signals have already been suggested in controlling shoot branching. Auxin controls SLs and CKs levels, and SLs and CKs pathways converge on the same target, the TCP transcription factor BRC1 in the axillary bud. In pea, the high shoot branching of ramosus (rms) mutants are known for being impaired in the SLs pathway. RMS1 (PsMAX4) and RMS5 (PsMAX3) genes are involved in SL biosynthesis while RMS3 (PsD14) (receptor) and RMS4 (PsMAX2) are involved in SL perception. In addition to sharing their high branching phenotype, the rms mutants display a dwarf phenotype. However the role of SLs in controlling plant height was unknown. Here we show that SLs control internode length by acting on cell division in a Gibberellin-independent way.The rms mutants show similar physiological characteristics: high expression of the SL-biosynthesis genes and very low xylem-sap CKs (X-CKs) content. In contrast, the rms2 mutant with similar shoot phenotype shows very low expression of SL-biosynthesis genes and high X-CKs content. Previous studies suggested that rms2 was affected in a shoot-to-root feedback signal controlling both SL biosynthesis and X-CKs level. Whether this feedback signal was auxin or not was highly discussed. Here we demonstrated that the RMS2 gene is the pea homologue of the Arabidopsis AFB4/5 gene, encoding an F-box protein which belongs to the TIR1/AFB (Auxin signaling F-Box) auxin receptor family. This suggests that the RMS2-dependent feedback signal is very likely auxin. Moreover our results suggest a role for SLs in the repression of auxin content in pea stem via the regulation of auxin metabolism gene expression. These results highlighted that for the control of shoot branching, interactions between auxin and strigolactones involve multiple mechanisms leading to regulation loop where both hormones are able to regulate the biosynthesis of each other.

<p>For a prime p>2 and a smooth proper p-adic formal scheme X over O_K where K is a p-adic field of absolute ramification degree e, we study a series of conditions (Cr_s), s>=0 that partially control the G_K-action on the image of the associated Breuil-Kisin prismatic cohomology RΓ_Δ(X/S) inside the A_inf-prismatic cohomology RΓ_Δ(X_Ainf/A_inf). The condition (Cr₀) is a criterion for a Breuil-Kisin-Fargues G_K-module to induce a crystalline representation used by Gee and Liu, and thus leads to a proof of crystallinity of Hⁱ_et(X_CK, Q_p) that avoids the crystalline comparison. The higher conditions (Cr_s) are used in an adaptation of a ramification bounds strategy of Caruso and Liu. As a result, we establish ramification bounds for the mod p representations Hⁱ_et(X_CK, Z/pZ) for arbitrary e and i, which extend or improve existing bounds in various situations.</p>

JSIAM Letters Vol. 6 (2014) p.33-36 / 京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第18639号 / 理博第4018号 / 新制||理||1579(附属図書館) / 31553 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 池田 保, 教授 雪江 明彦, 教授 上田 哲生 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

L’objet de cette thèse est l’étude de la propagation de la 2-birationalité pour les 2-extensions de corps de nombres. Le problème étudié se présente comme suit : étant donnés un corps 2-rationnel totalement réel K, une extension quadratique totalement imaginaire L de K, et une 2-extension totalement réelle de K de K, à quelles conditions la 2-birationalité du compositum L = KL se lit-elle sur L ? La thèse se structure en trois parties : l’étude du cas absolument quadratique d’abord, le cas relativement quadratique ensuite ; le cas général enfin. Le résultat principal de la thèse résout complètement le problème posé en toute généralité. En fin de thèse, diverses illustrations numériques sont proposées à l’aide du PARI, ainsi qu’une étude des tours d’extensions 2-birationnelles. / This thesis deals with the propagation of 2-birationality for 2-extensions of numbers fields. More precisely, le t K be a 2-rational totally real number field, L a CM quadratic extension of K, and let K be a totally real 2-extension of K. Under which conditions can one read the 2-birationaltiy of the compositum L = LK from L ? This work is divided into three parts : we first study the absolute quadratic case, then the relatively quadratic case, then finally the general case. The thesis’s main result solves the whole problem. We also illustrate the result with various numeric examples, obtained with PARI and a focus at the end on 2-birational extensions’ towers.

L'objet de cette thèse est de comprendre comment se généralise la théorie de la ramification pour des actions par des schémas en groupes affines avec un intérêt particulier pour la notion de modération. Comme contexte général pour ce résumé, considérons une base affine S := Spec(R) où R est un anneau unitaire, commutatif, X := Spec(B) un schéma affine sur S, G := Spec(A) un schéma en groupes affine, plat et de présentation finie sur S et une action de G sur X que nous noterons (X, G). Enfin, nous notons [X/G] le champ quotient associé à cette action et Y := Spec(BA) où BA est l'anneau des invariants pour l'action (X, G). Supposons de plus que le champ d'inertie soit fini.Comme point de référence, nous prenons la théorie classique de la ramification pour des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait. Afin de comprendre comment généraliser cette théorie pour des actions par des schémas en groupes, nous considérons les actions par des schémas en groupes constants en se rappelant que la donnée de telles actions est équivalente à celle d'un anneau muni d'une action par un groupe fini abstrait nous ramenant au cas classique. Nous obtenons ainsi dans ce nouveau contexte des notions généralisant l'anneau des invariants en tant que quotient, les groupes d'inertie et toutes leurs propriétés. Le cas non ramifié se généralise naturellement avec les actions libres. En ce qui concerne le cas modéré, qui nous intéresse particulièrement pour cette thèse, deux généralisations sont proposées dans la littérature. Celle d'actions modérées par des schémas en groupes affines introduite par Chinburg, Erez, Pappas et Taylor dans l'article [CEPT96] et celle de champ modéré introduite par Abramovich, Olsson et Vistoli dans [AOV08]. Il a été alors naturel d'essayer de comparer ces deux notions et de comprendre comment se généralisent les propriétés classiques d'objets modérés à des actions par des schémas en groupes affines.Tout d'abord, nous avons traduit algébriquement la propriété de modération sur un champ quotient comme l'exactitude du foncteur des invariants. Ce qui nous a permis d'obtenir aisément à l'aide de [CEPT96] qu'une action modérée définit toujours un champ quotient modéré. Quant à la réciproque, nous avons réussi à l'obtenir seulement lorsque nous supposons de plus que G est fini et localement libre sur S et que X est plat sur Y . Nous pouvons voir que la notion de modération pour l'anneau B muni d'une action par un groupe fini abstrait Γ est équivalente au fait que tous les groupes d'inertie aux points topologiques sont linéairement réductifs si l'on considère l'action par le schéma en groupes constant correspondant à Γ sur X. Il a été donc naturel de se demander si cette propriété est encore vraie en général. Effectivement, l'article [AOV08] caractérise le fait que le champ quotient [X/G] est modéré par le fait que les groupes d'inertie aux points géométriques sont linéairement réductifs.À nouveau, si l'on considère le cas des anneaux munis d'une action par un groupe fini abstrait, il est bien connu que l'action peut être totalement reconstruite à partir de l'action d'un groupe inertie. Lorsque l'on considère le cas des actions par les schémas en groupes constants, cela se traduit comme un théorème de slices, c'est-à-dire une description locale de l'action initiale par une action par un groupe d'inertie. Par exemple, lorsque G est fini, localement libre sur S, nous établissons que le fait qu'une action soit libre est une propriété locale pour la topologie fppf, ce qui peut se traduire comme un théorème de slices. Grâce à [AOV08], nous savons déjà qu'un champ quotient modéré [X/G] est localement isomorphe pour la topologie fppf à un champ quotient [X/H] où H est une extension du groupe d'inertie en un point de Y. Lorsque G est fini sur S, il nous a été possible de montrer que H est aussi un sous-groupe de G.

En 1975 H. Fujimoto a généralisé les résultats d’unicité pour des fonctions holomorphes dus à Nevanlinna pour des applications méromorphes de Cn dans CPN. Il a démontré que pour deux applications méromorphes non linéairement dégénérées f et g de Cn dans CPN, si elles ont les mêmes images réciproques, comptées avec leurs multiplicités, par rapport à (3N + 2) hyperplans de CPN en position générale, alors f g. Depuis, ce problème a été étudié d’une manière intensive par H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru, G. Dethloff-T.V.Tan, D.D.Thai-S.D.Quang, Chen-Yan et d’autres auteurs. En parallèle avec le développement de la théorie de Nevanlinna, la théorie de distribution des valeurs de l’application de Gauss des surfaces minimales dans Rm a été étudiée d’une manière intensive par R.Osserman, S.S. Chern, F. Xavier, H. Fujimoto, S.J. Kao, M. Ru et d’autres auteurs. Dans cette thèse, nous avons continué d’étudier ces problèmes. Nous avons obtenu les résultats principaux suivants: +) Théorèmes d’unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant les mêmes images réciproques par rapport è (2N + 2) hyperplans de CPN. +) Théorèmes d’unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant des cibles mobiles et un ensemble d’identité petit. +) Théorèmes d’unicité avec multiplicités tronquées des applications méromorphes de Cn dans CPN ayant des cibles fixes ou mobiles et satisfaisant des conditions sur les dérivées. +) Théorèmes de ramification de l’application de Gauss de certaines classes de surfaces minimales complètes dans Rm (m = 3,4). / In 1975, H. Fujimoto generalized Nevanlinna’s known results for meromorphic fonctions to the case of meromorphic mappings of Cn into PN(C). He proved that for two linearly nondegenerate meromorphic mappings f and g of C into PN(C). if they have the saine inverse images counted with multiplicities for 3N + 2 hyperplanes in general position in PN(C) then f = g. After that, this problem has been studied intensively by a number of mathematicans as H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru, G. Dethloff - T. V. Tan, D. D. Thai - S. D. Quang, Chen-Yan and so on. Parallel to the development of Nevanlinna theory, the value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces immersed in Rm vas studied by many mathematicans as R. Osserman, S.S. Chern, F. Xavier, H. Fujimoto, S. J. Kao, M. Ru and many other mathematicans. In this thesis, we continuous studing some problems on these directions. The main goals of the thesis are followings. • Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings of Cn into PN(C) sharing 2N + 2 fixed hyperplanes.• Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings of Cn into PN(C) for moving targets, and a small set of identity.

Mon activité de recherche, appuyée par l'encadrement d'étudiants, s'est développée autour d'une thématique centrale, l'analyse architecturale de l'arbre fruitier. Mes travaux, sur pommier essentiellement, ont tout d'abord montré l'intérêt de l'architecture comme outil de caractérisation de la variabilité génétique existante (cultivars). J'ai mis en évidence que les différences variétales de comportement architectural et fruitier pouvaient être bien expliquées par deux caractères discriminants non analysés jusque-là : la mortalité physiologique des rameaux, appelé phénomène d' « extinction », et l'aptitude au retour à fruit d'une année à la suivante sur le même rameau. Une relation positive a été mise en évidence entre ces deux phénomènes : les cultivars à forte extinction ont en général une forte aptitude au retour à fruit. Par ailleurs il a été montré que la longueur d'un rameau conditionne la probabilité de floraison terminale et, en cas de floraison, la taille de l'inflorescence et son aptitude à la nouaison. La succession temporelle des évènements joignant la formation d'un méristème à son fonctionnement pluri-annuel apparaît donc comme un système hautement intégré et à déterminisme précoce. Nos résultats suggèrent une régulation fonctionnelle et dynamique entre le nombre de bourgeons en croissance dans une architecture et leurs potentiels organogénétiques individuels. Ils nous ont conduit à formuler des hypothèses sur les effets de manipulations expérimentales (ex. taille, arcure) sur l'architecture de l'arbre entier (ex. durée et rythmicité de croissance, probabilité de floraison) et à les tester in horto. Ces travaux constituent la base de collaborations scientifiques pluridisciplinaires sur deux axes principaux. Le premier est l'analyse de l'impact de manipulations sur le climat lumineux intra-arbre et la contribution des différents types de rameaux à l'interception de la lumière. Le second est l'étude des relations entre architecture et ravageurs-maladies. Il permet de hiérarchiser les facteurs, directement ou indirectement liés à l'architecture, explicatifs du développement des bioagresseurs. Ces deux axes de recherche sont le moteur de mon implication dans différents programmes nationaux et internationaux, ainsi que dans des réseaux informels en France et à l'étranger. Mes travaux s'étendent à d'autres espèces, comme le manguier en collaboration avec le CIRAD où le couplage architecture(spatial)/phénologie(temporel) est approfondi. Mon programme scientifique actuel se recentre sur ce qui est à la base de l'édification architecturale de l'arbre, la croissance du rameau et la distribution et la nature de sa ramification axillaire. Il s'appuie sur des collaborations pluridisciplinaires. Dans une première phase la recherche porte sur des rameaux arqués. L'objectif est de mieux appréhender les mécanismes déterminant certains aspects de la ramification à l'interface entre biomécanique (ex. : contraintes liées à l'arcure) et hydraulique (ex. : lien entre conductance hydraulique des tissus xylémiens reliés au bourgeon et organogenèse). Des résultats récents permettent de formuler des hypothèses sur les rôles respectifs des effets mécaniques et environnementaux sur le patron de ramification observé.

Une entité botanique peut être considérée comme une succession ordonnée d'entités botaniques d'un niveau d'organisation inférieur (ex : une unité de croissance peut se décrire comme une succession de métamères). Pour chaque entité botanique, il est possible de mesurer un certain nombre de variables qui traduisent ses caractéristiques (longueur de l'entre-nœud, type de production axillaire). La succession des valeurs prises par une ou plusieurs variables mesurées est alors appelée « séquence d'événements botaniques ». Des travaux récents menés chez des arbres fruitiers et forestiers ont permis de développer une approche statistique adaptée à l'analyse d'échantillons de séquences allant de l'analyse exploratoire à la construction de processus Markoviens. L'objectif de cette thèse est (i) d'évaluer la pertinence d'une approche couplant analyse architecturale et analyse de séquences extraites d'architectures mesurées, (ii) d'apporter une vision et une compréhension nouvelle des phénomènes de croissance, de ramification et de floraison par l'utilisation de modèles statistiques adaptés et (iii) d'analyser les applications possibles des comparaisons de séquences et de modèles dans l'étude de l'influence du milieu et la caractérisation de la plasticité architecturale. Cette problématique est illustrée par (i) l'étude des structures de ramification des différents types d'unités de croissance des pousses annuelles mono- ou polycycliques de chêne rouge d'Amérique (Quercus rubra), (ii) des synchronismes de ramification et de floraison chez Cecropia obtusa et (iii) par l'étude de l'évolution de la phyllotaxie et des modalités de ramification au cours de l'ontogénie sur plusieurs espèces de Cupressus. Les résultats montrent que la répartition des productions axillaires sur une entité porteuse n'est pas aléatoire mais qu'elle est le plus souvent organisée en une succession de zones homogènes ou montre des motifs répétés à un niveau plus local. Les mécanismes sous-jacents potentiellement responsables des organisations révélées à diverses échelles et l'apport de la prise en compte de l'information structurelle des arbres dans la mesure et l'analyse statistique des données sont discutés