Chemnitz, Techn. Univ., Diss., 2007.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem schnellen Lösen von Randintegralgleichungen auf polygonalen oder polygonal approximierten Oberflächen basierend auf Wavelet-Galerkinverfahren. Ein besonderes Augenmerk gilt dabei der speziellen Problematik der diffusen Beleuchtungsgleichung. Während traditionelle Ansätze für Randintegralgleichungen zu vollbesetzten Systemmatrizen und damit zu einem quadratischen Aufwand führen, nutzen Waveletverfahren spezielle Multiskalenbasen, die eine Kompression der Systemmatrix zu einer dünnbesetzten Matrix und damit einen linear-logarithmischen Aufwand ermöglichen. In der Arbeit wird das H^2-Waveletverfahren als effiziente Umsetzung der Waveletverfahren auf polygonal approximierten Oberflächen basierend auf den Tausch-White-Wavelets entwickelt. Es stellt eine Kombination aus H^2-Techniken, bekannt von dem Gebiet der hierarchischen Matrizen, und rekusiven Wavelettechniken dar. Zum besseren Verständnis werden dazu innerhalb der Arbeit in eigenen Kapiteln das Wichtigste zu den Tausch-White-Wavelets, zu dem allgemeinen Waveletverfahren und der Waveletkompression sowie zu den H^2-Matrizen präsentiert, bevor das H^2-Waveletverfahren detailiert hergeleitet und der entsprechende linear-logarithmische Aufwand bewiesen wird. Der zweite Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der diffusen Beleuchtungsgleichung. Die in ihr enthaltene Sichbarkeitsproblematik verhindertete bis jetzt die Anwendung moderner schneller Verfahren und die Reduktion der Kosten auf linear-logarithmischen Aufwand. Mit Hilfe der in dieser Arbeit neu entwickelten speziell auf die diffuse Beleuchtungsgleichung angepassten Waveletkompression ist es jedoch möglich ein dünnbesetzte Systemmatrix aufzustellen und im Bereich des Speichers den gewünschten linear-logarithmischen Aufwand zu erreichen. Alle in der Arbeit entwickelten Algorithmen sind detailiert dargestellt und mit numerische Ergebnissen unterlegt.

Die Mikrosystemtechnik entwickelt sehr kleine Sensoren und Aktuatoren, deren Größe wie der Name schon sagt in Mikrometern gemessen werden kann. Die meist aus Silizium gefertigten Bauteile werden durch Dotierung elektrisch leitfähig. Die so erzeugten Elektroden können nun mittels elektrostatischer Kräfte bewegt werden. Für die numerische Simulation dieser System ist die Kenntnis der Kapazität dieser Elektrodenanordnungen notwendig. In den folgenden Kapiteln wird eine Möglichkeit der Bestimmung der Kapazitätsmatrix für solche Elektrodenanordnungen aufgezeigt. Dazu werden wir zunächst im Kapitel 2 einige Begriffe der Elektrostatik definieren und ihre Zusammenhänge erläutern. Danach werden wir im Kapitel 3 eine Randintegralgleichung herleiten mit deren Hilfe eine Bestimmung der Kapazitätsmatrix möglich ist. Um diese Gleichung zu Lösen werden wir sie im Kapitel 4 diskretisieren. Diese Diskretisierung wird zu einem vollbesetzten Gleichungssystem führen. Das Lösen dieses Gleichungssystems ist relativ teuer, daher wird in den Kapiteln 5 und 6 eine Approximation erläutert, die den Speicherbedarf und Rechenaufwand reduziert. Im Kapitel 7 werden wir die Fehler, welche durch die Diskretisierung und die Approximation entstehen, näher untersuchen. Abschließend werden wir im Kapitel 8 die Kapazitätsmatrizen einiger Beispiele berechnen und mit früheren Berechnungsergebnissen vergleichen.

Die Mikrosystemtechnik entwickelt sehr kleine Sensoren und Aktuatoren, deren Größe wie der Name schon sagt in Mikrometern gemessen werden kann. Die meist aus Silizium gefertigten Bauteile werden durch Dotierung elektrisch leitfähig. Die so erzeugten Elektroden können nun mittels elektrostatischer Kräfte bewegt werden. Für die numerische Simulation dieser System ist die Kenntnis der Kapazität dieser Elektrodenanordnungen notwendig. In den folgenden Kapiteln wird eine Möglichkeit der Bestimmung der Kapazitätsmatrix für solche Elektrodenanordnungen aufgezeigt. Dazu werden wir zunächst im Kapitel 2 einige Begriffe der Elektrostatik definieren und ihre Zusammenhänge erläutern. Danach werden wir im Kapitel 3 eine Randintegralgleichung herleiten mit deren Hilfe eine Bestimmung der Kapazitätsmatrix möglich ist. Um diese Gleichung zu Lösen werden wir sie im Kapitel 4 diskretisieren. Diese Diskretisierung wird zu einem vollbesetzten Gleichungssystem führen. Das Lösen dieses Gleichungssystems ist relativ teuer, daher wird in den Kapiteln 5 und 6 eine Approximation erläutert, die den Speicherbedarf und Rechenaufwand reduziert. Im Kapitel 7 werden wir die Fehler, welche durch die Diskretisierung und die Approximation entstehen, näher untersuchen. Abschließend werden wir im Kapitel 8 die Kapazitätsmatrizen einiger Beispiele berechnen und mit früheren Berechnungsergebnissen vergleichen.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem schnellen Lösen von Randintegralgleichungen auf polygonalen oder polygonal approximierten Oberflächen basierend auf Wavelet-Galerkinverfahren. Ein besonderes Augenmerk gilt dabei der speziellen Problematik der diffusen Beleuchtungsgleichung. Während traditionelle Ansätze für Randintegralgleichungen zu vollbesetzten Systemmatrizen und damit zu einem quadratischen Aufwand führen, nutzen Waveletverfahren spezielle Multiskalenbasen, die eine Kompression der Systemmatrix zu einer dünnbesetzten Matrix und damit einen linear-logarithmischen Aufwand ermöglichen. In der Arbeit wird das H^2-Waveletverfahren als effiziente Umsetzung der Waveletverfahren auf polygonal approximierten Oberflächen basierend auf den Tausch-White-Wavelets entwickelt. Es stellt eine Kombination aus H^2-Techniken, bekannt von dem Gebiet der hierarchischen Matrizen, und rekusiven Wavelettechniken dar. Zum besseren Verständnis werden dazu innerhalb der Arbeit in eigenen Kapiteln das Wichtigste zu den Tausch-White-Wavelets, zu dem allgemeinen Waveletverfahren und der Waveletkompression sowie zu den H^2-Matrizen präsentiert, bevor das H^2-Waveletverfahren detailiert hergeleitet und der entsprechende linear-logarithmische Aufwand bewiesen wird. Der zweite Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der diffusen Beleuchtungsgleichung. Die in ihr enthaltene Sichbarkeitsproblematik verhindertete bis jetzt die Anwendung moderner schneller Verfahren und die Reduktion der Kosten auf linear-logarithmischen Aufwand. Mit Hilfe der in dieser Arbeit neu entwickelten speziell auf die diffuse Beleuchtungsgleichung angepassten Waveletkompression ist es jedoch möglich ein dünnbesetzte Systemmatrix aufzustellen und im Bereich des Speichers den gewünschten linear-logarithmischen Aufwand zu erreichen. Alle in der Arbeit entwickelten Algorithmen sind detailiert dargestellt und mit numerische Ergebnissen unterlegt.