La tomographie est un ensemble de techniques visant à reconstruirel’intérieur d’un objet sans toucher l’objet lui même comme dans le casd’un scanner. Les principes théoriques de la tomographie ont été énoncéspar Radon en 1917. On peut assimiler l’objet à reconstruire à une image,matrice, etc.Le problème de reconstruction tomographique consiste à estimer l’objet àpartir d’un ensemble de projections obtenues par mesures expérimentalesautour de l’objet à reconstruire. La tomographie discrète étudie le cas où lenombre de projections est limité et l’objet est défini de façon discrète. Leschamps d’applications de la tomographie discrète sont nombreux et variés.Citons par exemple les applications de type non destructif comme l’imageriemédicale. Il existe d’autres applications de la tomographie discrète, commeles problèmes d’emplois du temps.La tomographie discrète peut être considérée comme un problème d’optimisationcombinatoire car le domaine de reconstruction est discret et le nombrede projections est fini. La programmation mathématique en nombres entiersconstitue un outil pour traiter les problèmes d’optimisation combinatoire.L’objectif de cette thèse est d’étudier et d’utiliser les techniques d’optimisationcombinatoire pour résoudre les problèmes de tomographie. / The tomographic imaging problem deals with reconstructing an objectfrom a data called a projections and collected by illuminating the objectfrom many different directions. A projection means the information derivedfrom the transmitted energies, when an object is illuminated from a particularangle. The solution to the problem of how to reconstruct an object fromits projections dates to 1917 by Radon. The tomographic reconstructingis applicable in many interesting contexts such as nondestructive testing,image processing, electron microscopy, data security, industrial tomographyand material sciences.Discete tomography (DT) deals with the reconstruction of discret objectfrom limited number of projections. The projections are the sums along fewangles of the object to be reconstruct. One of the main problems in DTis the reconstruction of binary matrices from two projections. In general,the reconstruction of binary matrices from a small number of projections isundetermined and the number of solutions can be very large. Moreover, theprojections data and the prior knowledge about the object to reconstructare not sufficient to determine a unique solution. So DT is usually reducedto an optimization problem to select the best solution in a certain sense.In this thesis, we deal with the tomographic reconstruction of binaryand colored images. In particular, research objectives are to derive thecombinatorial optimization techniques in discrete tomography problems.

L'imagerie TEP permet de mesurer et visualiser les changements de la distribution biologique des radiopharmaceutiques au sein des organes d'intérêt au court du temps. Ce suivi temporel offre des informations très utiles concernant les processus métaboliques et physiologiques sous-jacents, qui peuvent être extraites grâce à différentes techniques de modélisation cinétique. De plus, un autre avantage de la prise en compte de l'information temporelle dans les acquisitions TEP pour les examens en oncologie thoracique concerne le suivi des mouvements respiratoires. Ces acquisitions permettent de mettre en place des protocoles et des méthodologies visant à corriger leurs effets néfastes à la quantification, et les artefacts associés. L'objectif de ce projet est de développer une méthode de reconstruction permettant de combiner et mettre en oeuvre d'une part les corrections nécessaires à la quantification des données en TEP, et d'autre part la modélisation de la biodistribution du radiotraceur au cours du temps permettant d'obtenir des images paramétriques pour l'oncologie thoracique. Dans un premier temps, une méthodologie de correction des effets de volume partiel intégrant, dans le processus de reconstruction, une déconvolution de Lucy-Richardson associée à un débruitage dans le domaine des ondelettes, a été proposée. Une seconde étude a été consacrée au développement d'une méthodologie combinant une régularisation temporelle des données par l'intermédiaire d'un ensemble de fonctions de base temporelles, avec une méthode de correction des mouvements respiratoires basée sur un modèle élastique. Enfin, dans une troisième étape, le modèle cinétique de Patlak a été intégré dans un algorithme de reconstruction dynamique, et associé à la correction de mouvement afin de permettre la reconstruction directe d'images paramétriques de données thoraciques soumises au mouvement respiratoire. Les paramètres de transformation élastique pour la correction de mouvement ont été calculés à partir des images TEP d'intervalles synchronisés par rapport à l'amplitude de la respiration du patient. Des simulations Monte-Carlo d'un fantôme 4D géométrique avec plusieurs niveaux de statistiques, et du fantôme anthropomorphique NCAT intégrant des courbes d'activités temporelles réalistes pour les différents tissus, ont été réalisées afin de comparer les performances de la méthode de reconstruction paramétrique développée dans ce travail avec une approche 3D standard d'analyse cinétique. L'algorithme proposé a ensuite été testé sur des données cliniques de patients présentant un cancer bronchique non à petites cellules. Enfin, après la validation indépendante de l'algorithme de correction des effets de volume partiel d'une part, et de la reconstruction 4D incorporant la régularisation temporelle d'autre part, sur données simulées et cliniques, ces deux méthodologies ont été associées afin d'optimiser l'estimation de la fonction d'entrée à partir d'une région sanguine des images reconstruites. Les résultats de ce travail démontrent que l'approche de reconstruction paramétrique proposée permet de conserver un niveau de bruit stable dans les régions tumorales lorsque la statistique d'acquisition diminue, contrairement à l'approche d'estimation 3D pour laquelle le niveau de bruit constaté augmente. Ce résultat est intéressant dans l'optique d'une réduction de la durée des intervalles de la reconstruction 4D, permettant ainsi de réduire la durée totale de l'acquisition 4D. De plus, l'utilisation des fonctions d'entrée estimées avec les méthodes de régularisation temporelle proposées ont conduit à améliorer l'estimation des paramètres de Patlak. Enfin, la correction élastique du mouvement amène à une diminution du biais d'estimation des deux paramètres de Patlak, en particulier sur les tumeurs de petites dimensions situées dans des régions sensibles au mouvement respiratoire. / Positron emission tomography (PET) is now considered as the gold standard and the main tool for the diagnosis and therapeutic monitoring of oncology patients, especially due to its quantitative aspects. With the advent of multimodal imaging in combined PET and X-ray CT systems, many methodological developments have been proposed in both pre-processing and data acquisition, image reconstruction, as well as post-processing in order to improve the quantification in PET imaging. Another important aspect of PET imaging is its high temporal resolution and ability to perform dynamic acquisitions, benefiting from the high sensitivity achieved with current systems. PET imaging allows measuring and visualizing changes in the biological distribution of radiopharmaceuticals within the organ of interest over time. This time tracking provides valuable information to physicians on underlying metabolic and physiological processes, which can be extracted using pharmacokinetic modeling. The objective of this project is, by taking advantage of dynamic data in PET/CT imaging, to develop a reconstruction method combining in a single process all the correction methodology required to accurately quantify PET data and, at the same time, include a pharmacokinetic model within the reconstruction in order to create parametric images for applications in oncology. In a first step, a partial volume effect correction methodology integrating, within the reconstruction process, the Lucy-Richardson deconvolution algorithm associated with a wavelet-based denoising method has been introduced. A second study focused on the development of a 4D reconstruction methodology performing temporal regularization of the dataset through a set of temporal basis functions, associated with a respiratory motion correction method based on an elastic deformation model. Finally, in a third step, the Patlak kinetic model has been integrated in a dynamic image reconstruction algorithm and associated with the respiratory motion correction methodology in order to allow the direct reconstruction of parametric images from dynamic thoracic datasets affected by the respiratory motion. The elastic transformation parameters derived for the motion correction have been estimated from respiratory-gated PET images according to the amplitude of the patient respiratory cycle. Monte-carlo simulations of two phantoms, a 4D geometrical phantom, and the anthropomorphic NCAT phantom integrating realistic time activity curves for the different tissues, have been performed in order to compare the performances of the proposed 4D parametric reconstruction algorithm with a standard 3D kinetic analysis approach. The proposed algorithm has then been assessed on clinical datasets of several patients with non small cell lung carcinoma. Finally, following the prior validation of the partial volume effect correction algorithm on one hand, and the 4D reconstruction incorporating the temporal regularization on the other hand, on simulated and clinical datasets, these two methodologies have been associated within the 4D reconstruction algorithm in order to optimize the estimation of image derived input functions. The results of this work show that the proposed direct parametric approach allows to maintain a similar noise level in the tumor regions when the statistic decreases, contrary to the 3D estimation approach for which the observed noise level increases. This result suggests interesting perspectives for the reduction of frame duration reduction of 4D reconstruction, allowing a reduction of the total 4D acquisition duration. In addition, the use of input function estimated with the developed temporal regularization methods led to the improvement of the Patlak parameters estimation. Finally, the elastic respiratory motion correction led to a diminution of the estimation bias of both Patlak parameters, in particular for small lesions located in regions affected by the respiratory motion.