Cette thèse est consacrée à l'élaboration de nouvelles méthodes d'acquisition et de traitement de données en IRM de diffusion (IRMd) afin de caractériser la diffusion des molécules d'eau dans les fibres de matière blanche à l'échelle d'un voxel. Plus particulièrement, nous travaillons sur un moyen de reconstruction précis de l'Ensemble Average Propagator (EAP), qui représente la fonction de probabilité de diffusion des molécules d'eau. Plusieurs modèles de diffusion tels que le tenseur de diffusion ou la fonction de distribution d'orientation sont très utilisés dans la communauté de l'IRMd afin de quantifier la diffusion des molécules d'eau dans le cerveau. Ces modèles sont des représentations partielles de l'EAP et ont été développés en raison du petit nombre de mesures nécessaires à leurs estimations. Cependant, il est important de pouvoir reconstruire précisément l'EAP afin d'acquérir une meilleure compréhension des mécanismes du cerveau et d'améliorer le diagnostique des troubles neurologiques. Une estimation correcte de l'EAP nécessite l'acquisition de nombreuses images de diffusion sensibilisées à des orientations différentes dans le q-space. Ceci rend son estimation trop longue pour être utilisée dans la plupart des scanners cliniques. Dans cette thèse, nous utilisons des techniques de reconstruction parcimonieuses et en particulier la technique connue sous le nom de Compressive Sensing (CS) afin d'accélérer le calcul de l'EAP. Les multiples aspects de la théorie du CS et de son application à l'IRMd sont présentés dans cette thèse.

Cette thèse est consacrée à l'élaboration de nouvelles méthodes d'acquisition et de traitement de données en IRM de diffusion (IRMd) afin de caractériser la diffusion des molécules d'eau dans les fibres de matière blanche à l'échelle d'un voxel. Plus particulièrement, nous travaillons sur un moyen de reconstruction précis de l'Ensemble Average Propagator (EAP), qui représente la fonction de probabilité de diffusion des molécules d'eau. Plusieurs modèles de diffusion tels que le tenseur de diffusion ou la fonction de distribution d'orientation sont très utilisés dans la communauté de l'IRMd afin de quantifier la diffusion des molécules d'eau dans le cerveau. Ces modèles sont des représentations partielles de l'EAP et ont été développés en raison du petit nombre de mesures nécessaires à leurs estimations. Cependant, il est important de pouvoir reconstruire précisément l'EAP afin d'acquérir une meilleure compréhension des mécanismes du cerveau et d'améliorer le diagnostique des troubles neurologiques. Une estimation correcte de l'EAP nécessite l'acquisition de nombreuses images de diffusion sensibilisées à des orientations différentes dans le q-space. Ceci rend son estimation trop longue pour être utilisée dans la plupart des scanners cliniques. Dans cette thèse, nous utilisons des techniques de reconstruction parcimonieuses et en particulier la technique connue sous le nom de Compressive Sensing (CS) afin d'accélérer le calcul de l'EAP. Les multiples aspects de la théorie du CS et de son application à l'IRMd sont présentés dans cette thèse.

Cette thèse est consacrée à l'élaboration de nouvelles méthodes d'acquisition et de traitement de données en IRM de diffusion (IRMd) afin de caractériser la diffusion des molécules d'eau dans les fibres de matière blanche à l'échelle d'un voxel. Plus particulièrement, nous travaillons sur un moyen de reconstruction précis de l'Ensemble Average Propagator (EAP), qui représente la fonction de probabilité de diffusion des molécules d'eau. Plusieurs modèles de diffusion tels que le tenseur de diffusion ou la fonction de distribution d'orientation sont très utilisés dans la communauté de l'IRMd afin de quantifier la diffusion des molécules d'eau dans le cerveau. Ces modèles sont des représentations partielles de l'EAP et ont été développés en raison du petit nombre de mesures nécessaires à leurs estimations. Cependant, il est important de pouvoir reconstruire précisément l'EAP afin d'acquérir une meilleure compréhension des mécanismes du cerveau et d'améliorer le diagnostique des troubles neurologiques. Une estimation correcte de l'EAP nécessite l'acquisition de nombreuses images de diffusion sensibilisées à des orientations différentes dans le q-space. Ceci rend son estimation trop longue pour être utilisée dans la plupart des scanners cliniques. Dans cette thèse, nous utilisons des techniques de reconstruction parcimonieuses et en particulier la technique connue sous le nom de Compressive Sensing (CS) afin d’accélérer le calcul de l'EAP. Les multiples aspects de la théorie du CS et de son application à l'IRMd sont présentés dans cette thèse. / This thesis is dedicated to the development of new acquisition and processing methods in diffusion MRI (dMRI) to characterize the diffusion of water molecules in white matter fiber bundles at the scale of a voxel. In particular, we focus our attention on the accurate recovery of the Ensemble Average Propagator (EAP), which represents the full 3D displacement of water molecule diffusion. Diffusion models such that the Diffusion Tensor or the Orientation Distribution Function (ODF) are largely used in the dMRI community in order to quantify water molecule diffusion. These models are partial EAP representations and have been developed due to the small number of measurement required for their estimations. It is thus of utmost importance to be able to accurately compute the EAP and order to acquire a better understanding of the brain mechanisms and to improve the diagnosis of neurological disorders. Estimating the full 3D EAP requires the acquisition of many diffusion images sensitized todifferent orientations in the q-space, which render the estimation of the EAP impossible in most of the clinical dMRI scanner. A surge of interest has been seen in order to decrease this time for acquisition. Some works focus on the development of new and efficient acquisition sequences. In this thesis, we use sparse coding techniques, and in particular Compressive Sensing (CS) to accelerate the computation of the EAP. Multiple aspects of the CS theory and its application to dMRI are presented in this thesis.

De nombreux domaines applicatifs conduisent à résoudre des problèmes inverses où le signal ou l'image à reconstruire est à la fois parcimonieux et positif. Si la structure de certains algorithmes de reconstruction parcimonieuse s'adapte directement pour traiter les contraintes de positivité, il n'en va pas de même des algorithmes gloutons orthogonaux comme OMP et OLS. Leur extension positive pose des problèmes d'implémentation car les sous-problèmes de moindres carrés positifs à résoudre ne possèdent pas de solution explicite. Dans la littérature, les algorithmes gloutons positifs (NNOG, pour “Non-Negative Orthogonal Greedy algorithms”) sont souvent considérés comme lents, et les implémentations récemment proposées exploitent des schémas récursifs approchés pour compenser cette lenteur. Dans ce manuscrit, les algorithmes NNOG sont vus comme des heuristiques pour résoudre le problème de minimisation L0 sous contrainte de positivité. La première contribution est de montrer que ce problème est NP-difficile. Deuxièmement, nous dressons un panorama unifié des algorithmes NNOG et proposons une implémentation exacte et rapide basée sur la méthode des contraintes actives avec démarrage à chaud pour résoudre les sous-problèmes de moindres carrés positifs. Cette implémentation réduit considérablement le coût des algorithmes NNOG et s'avère avantageuse par rapport aux schémas approximatifs existants. La troisième contribution consiste en une analyse de reconstruction exacte en K étapes du support d'une représentation K-parcimonieuse par les algorithmes NNOG lorsque la cohérence mutuelle du dictionnaire est inférieure à 1/(2K-1). C'est la première analyse de ce type. / Non-negative sparse approximation arises in many applications fields such as biomedical engineering, fluid mechanics, astrophysics, and remote sensing. Some classical sparse algorithms can be straightforwardly adapted to deal with non-negativity constraints. On the contrary, the non-negative extension of orthogonal greedy algorithms is a challenging issue since the unconstrained least square subproblems are replaced by non-negative least squares subproblems which do not have closed-form solutions. In the literature, non-negative orthogonal greedy (NNOG) algorithms are often considered to be slow. Moreover, some recent works exploit approximate schemes to derive efficient recursive implementations. In this thesis, NNOG algorithms are introduced as heuristic solvers dedicated to L0 minimization under non-negativity constraints. It is first shown that the latter L0 minimization problem is NP-hard. The second contribution is to propose a unified framework on NNOG algorithms together with an exact and fast implementation, where the non-negative least-square subproblems are solved using the active-set algorithm with warm start initialisation. The proposed implementation significantly reduces the cost of NNOG algorithms and appears to be more advantageous than existing approximate schemes. The third contribution consists of a unified K-step exact support recovery analysis of NNOG algorithms when the mutual coherence of the dictionary is lower than 1/(2K-1). This is the first analysis of this kind.