For repeated transient solutions of geometrically nonlinear structures the numerical effort often poses a major obstacle. Thus, the introduction of a reduced order model, which takes the nonlinear effects into account and accelerates the calculations considerably, is often necessary.This work yields a method that allows for rapid, accurate and parameterisable solutions by means of a reduced model of the original structure. The structure is discretised and its dynamic equilibrium described by a matrix equation. The projection on a reduced basis is introduced to obtain the reduced model. A comprehensive numerical study on several common reduced bases shows that the simple introduction of a constant basis is not sufficient to account for the nonlinear behaviour. Three requirements for an rapid, accurate and parameterisable solution are derived. The solution algorithm has to take into account the nonlinear evolution of the solution, the solution has to be independent of the nonlinear finite element terms and the basis has to be adapted to external parameters.Three approaches are provided, each responding to one requirement. These approaches are assembled to the integrated method. The approaches are the update and augmentation of the basis, the polynomial formulation of the nonlinear terms and the interpolation of the basis. A Newmark-type time-marching algorithm provides the frame of the integrated method. The application of the integrated method on test-cases with geometrically nonlinear finite elements confirms that this method leads to the initial aim of a rapid, accurate and parameterisable transient solution.

Ce mémoire de thèse concerne l'interpolation sur les variétés de Grassmann et ses applications à la réduction de modèles en mécanique et plus généralement aux systèmes d'équations aux dérivées partielles d'évolution. Après une description de la méthode POD, nous introduisons les fondements théoriques en géométrie des variétés de Grassmann, qui seront utilisés dans le reste de la thèse. Ce chapitre donne à ce mémoire à la fois une rigueur mathématique au niveau des algorithmes mis au point, leur domaine de validité ainsi qu'une estimation de l'erreur en distance grassmannienne, mais également un caractère auto-contenu "self-contained" du manuscrit. Ensuite, on présente la méthode d'interpolation sur les variétés de Grassmann introduite par David Amsallem et Charbel Farhat. Cette méthode sera le point de départ des méthodes d'interpolation que nous développerons dans les chapitres suivants. La méthode de Amsallem-Farhat consiste à choisir un point d'interpolation de référence, envoyer l'ensemble des points d'interpolation sur l'espace tangent en ce point de référence via l'application logarithme géodésique, effectuer une interpolation classique sur cet espace tangent, puis revenir à la variété de Grassmann via l'application exponentielle géodésique. On met en évidence par des essais numériques l'influence du point de référence sur la qualité des résultats. Dans notre premier travail, nous présentons une version grassmannienne d'un algorithme connu dans la littérature sous le nom de Pondération par Distance Inverse (IDW). Dans cette méthode, l'interpolé en un point donné est considéré comme le barycentre des points d'interpolation où les coefficients de pondération utilisés sont inversement "proportionnels" à la distance entre le point considéré et les points d'interpolation. Dans notre méthode, notée IDW-G, la distance géodésique sur la variété de Grassmann remplace la distance euclidienne dans le cadre standard des espaces euclidiens. L'avantage de notre algorithme, dont on a montré la convergence sous certaines conditions assez générales, est qu'il ne requiert pas de point de référence contrairement à la méthode de Amsallem-Farhat. Pour remédier au caractère itératif (point fixe) de notre première méthode, nous proposons une version directe via la notion de barycentre généralisé. Notons enfin que notre algorithme IDW-G dépend nécessairement du choix des coefficients de pondération utilisés. Dans notre second travail, nous proposons une méthode qui permet un choix optimal des coefficients de pondération, tenant compte de l'auto-corrélation spatiale de l'ensemble des points d'interpolation. Ainsi, chaque coefficient de pondération dépend de tous les points d'interpolation et non pas seulement de la distance entre le point considéré et un point d'interpolation. Il s'agit d'une version grassmannienne de la méthode de Krigeage, très utilisée en géostatique. La méthode de Krigeage grassmannienne utilise également le point de référence. Dans notre dernier travail, nous proposons une version grassmannienne de l'algorithme de Neville qui permet de calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de manière récursive via l'interpolation linéaire entre deux points. La généralisation de cet algorithme sur une variété grassmannienne est basée sur l'extension de l'interpolation entre deux points (géodésique/droite) que l'on sait faire de manière explicite. Cet algorithme ne requiert pas le choix d'un point de référence, il est facile d'implémentation et très rapide. De plus, les résultats numériques obtenus sont remarquables et nettement meilleurs que tous les algorithmes décrits dans ce mémoire. / This dissertation deals with interpolation on Grassmann manifolds and its applications to reduced order methods in mechanics and more generally for systems of evolution partial differential systems. After a description of the POD method, we introduce the theoretical tools of grassmannian geometry which will be used in the rest of the thesis. This chapter gives this dissertation a mathematical rigor in the performed algorithms, their validity domain, the error estimate with respect to the grassmannian distance on one hand and also a self-contained character to the manuscript. The interpolation on Grassmann manifolds method introduced by David Amsallem and Charbel Farhat is afterward presented. This method is the starting point of the interpolation methods that we will develop in this thesis. The method of Amsallem-Farhat consists in chosing a reference interpolation point, mapping forward all interpolation points on the tangent space of this reference point via the geodesic logarithm, performing a classical interpolation on this tangent space and mapping backward the interpolated point to the Grassmann manifold by the geodesic exponential function. We carry out the influence of the reference point on the quality of the results through numerical simulations. In our first work, we present a grassmannian version of the well-known Inverse Distance Weighting (IDW) algorithm. In this method, the interpolation on a point can be considered as the barycenter of the interpolation points where the used weights are inversely proportional to the distance between the considered point and the given interpolation points. In our method, denoted by IDW-G, the geodesic distance on the Grassmann manifold replaces the euclidean distance in the standard framework of euclidean spaces. The advantage of our algorithm that we show the convergence undersome general assumptions, does not require a reference point unlike the method of Amsallem-Farhat. Moreover, to carry out this, we finally proposed a direct method, thanks to the notion of generalized barycenter instead of an earlier iterative method. However, our IDW-G algorithm depends on the choice of the used weighting coefficients. The second work deals with an optimal choice of the weighting coefficients, which take into account of the spatial autocorrelation of all interpolation points. Thus, each weighting coefficient depends of all interpolation points an not only on the distance between the considered point and the interpolation point. It is a grassmannian version of the Kriging method, widely used in Geographic Information System (GIS). Our grassmannian Kriging method require also the choice of a reference point. In our last work, we develop a grassmannian version of Neville's method which allow the computation of the Lagrange interpolation polynomial in a recursive way via the linear interpolation of two points. The generalization of this algorithm to grassmannian manifolds is based on the extension of interpolation of two points (geodesic/straightline) that we can do explicitly. This algorithm does not require the choice of a reference point, it is easy to implement and very quick. Furthermore, the obtained numerical results are notable and better than all the algorithms described in this dissertation.

La résolution des problèmes de contrôle optimal nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage très élevés. Pour s’affranchir de ces contraintes, il est possible d’utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD (Proper Orthogonal Decomposition). L’inconvénient de cette approche est que la base POD n’est valable que pour des paramètres situés dans un voisinage proche des paramètres pour lesquels elle a été construite. Par conséquent, en contrôle optimal, cette base peut ne pas être représentative de tous les paramètres qui seront proposés par l’algorithme de contrôle. Pour s’affranchir de cet handicap, une méthodologie de contrôle optimal utilisant des modèles réduits adaptatifs a été proposée dans ce manuscrit. Les bases réduites adaptées sont obtenues à l’aide de la méthode d’interpolation ITSGM (Interpolation on Tangent Subspace of Grassman Manifold) ou de la méthode d’enrichissement PGD (Proper Generalized Decomposition). La robustesse de cette approche en termes de précision et de temps de calcul a été démontrée pour le contrôle optimal (basé sur les équations adjointes) des équations 2D de réaction-diffusion et de Burgers. L’approche basée sur l’interpolation ITSGM a également été appliquée avec succès pour contrôler l’écoulement autour d’un cylindre 2D. Deux méthodes de réduction non intrusives, ne nécessitant pas la connaissance des équations du modèle étudié, ont également été proposées. Ces méthodes appelées NIMR (Non Intrusive Model Reduction) et HNIMR (Hyper Non Intrusive Model Reduction) ont été couplées à un algorithme génétique pour résoudre rapidement un problème de contrôle optimal. Le problème du contrôle optimal de l’écoulement autour d’un cylindre 2D a été étudié et les résultats ont montré l’efficacité de cette approche. En effet, l’algorithme génétique couplé avec la méthode HNIMR a permis d’obtenir les solutions avec une bonne précision en moins de 40 secondes. / The numerical resolution of adjoint based optimal control problems requires high computational time and storage capacities. In order to get over these high requirement, it is possible to use model reduction techniques such as POD (Proper Orthogonal Decomposition). The disadvantage of this approach is that the POD basis is valid only for parameters located in a small neighborhood to the parameters for which it was built. Therefore, this basis may not be representative for all parameters in the optimizer’s path eventually suggested by the optimal control loop. To overcome this issue, a reduced optimal control methodology using adaptive reduced order models obtained by the ITSGM (Interpolation on a Tangent Subspace of the Grassman Manifold) method or by the PGD (Proper Generalized Decomposition) method, has been proposed in this work. The robustness of this approach in terms of precision and computation time has been demonstrated for the optimal control (based on adjoint equations) of the 2D reaction-diffusion and Burgers equations. The interpolation method ITSGM has also been validated in the control of flow around a 2D cylinder. In the context of non intrusive model reduction, two non intrusive reduction methods, which do not require knowledge of the equations of the studied model, have also been proposed. These methods called NIMR (Non-Intrusive Model Reduction) and HNIMR (Hyper Non-Intrusive Model Reduction) were developed and then coupled to a genetic algorithm in order to solve an optimal control problem in quasi-real time. The problem of optimal control of the flow around a 2D cylinder has been studied and the results have shown the effectiveness of this approach. Indeed, the genetic algorithm coupled with the HNIMR method allowed to obtain the solutions with a good accuracy in less than 40 seconds.

Pour les solutions transitoires répétées des structures géométriquement nonlinéaires l’effort numérique présente souvent une contrainte importante. Ainsi, l’introduction d’un modèle d’ordre réduit, qui prend en compte les effets nonlinéaires et qui accélère considérablement les calculs, s’avère souvent nécessaire.Ce travail aboutit à une méthode qui permet des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables, à travers d’un modèle réduit de la structure initiale. La structure est discrétisée et son équilibre dynamique décrit par une équation matricielle. La projection sur une base réduite est introduite afin d’obtenir un modèle réduit. Une étude numérique complète sur plusieurs bases communes démontre que la simple introduction d’une base constante ne suffit pas pour prendre en compte le comportement nonlinéaire. Trois exigences sont déduites pour une solution transitoire accélérée, fidèle et paramétrable. L’algorithme de solution doit permettre un suivi de l’évolution nonlinéaire de la solution transitoire, la solution doit être autonome des termes nonlinéaires en éléments finis et la base doit être adaptée à des paramètres externes.Trois approches sont mises en place, chacune répondant à une exigence. Ces approches sont assemblées dans la méthode intégrée. Les approches sont la mise-à-jour et augmentation de la base , la formulation polynomiale des termes nonlinéaires et l’interpolation de la base. Un algorithme de type Newmark forme le cadre de la méthode intégrée. L’application de la méthode intégrée sur des cas test en élément finis géométriquement nonlinéaires confirme qu’elle répond au but initial d’obtenir des solutions transitoires accélérées, fidèles et paramétrables. / For repeated transient solutions of geometrically nonlinear structures the numerical effort often poses a major obstacle. Thus, the introduction of a reduced order model, which takes the nonlinear effects into account and accelerates the calculations considerably, is often necessary.This work yields a method that allows for rapid, accurate and parameterisable solutions by means of a reduced model of the original structure. The structure is discretised and its dynamic equilibrium described by a matrix equation. The projection on a reduced basis is introduced to obtain the reduced model. A comprehensive numerical study on several common reduced bases shows that the simple introduction of a constant basis is not sufficient to account for the nonlinear behaviour. Three requirements for an rapid, accurate and parameterisable solution are derived. The solution algorithm has to take into account the nonlinear evolution of the solution, the solution has to be independent of the nonlinear finite element terms and the basis has to be adapted to external parameters.Three approaches are provided, each responding to one requirement. These approaches are assembled to the integrated method. The approaches are the update and augmentation of the basis, the polynomial formulation of the nonlinear terms and the interpolation of the basis. A Newmark-type time-marching algorithm provides the frame of the integrated method. The application of the integrated method on test-cases with geometrically nonlinear finite elements confirms that this method leads to the initial aim of a rapid, accurate and parameterisable transient solution.