No presente trabalho, utilizou-se o Método da Fronteira Imersa, o qual utiliza dois tipos de malhas computacionais: euleriana (utilizada para o fluido) e lagrangiana (utilizada para representar a interface de separação de dois fluidos). O software livre GMSH foi utilizado para representar um sólido por meio da sua superfície externa e também para gerar uma malha triangular, bidimensional e não estruturada para discretizar essa superfície. Essa superfície foi utilizada como condição inicial para a malha lagrangiana (fronteira imersa). Os dados da malha lagrangiana são armazenados em uma estrutura de dados chamada Halfedge, a qual é largamente utilizada em Computação Gráfica para armazenar superfícies fechadas e orientáveis. Uma vez que a malha lagrangiana esteja armazenada nesta estrutura de dados, passa-se a estudar uma hipotética interação dinâmica entre a fronteira imersa e o escoamento do fluido. Esta interação é estudada apenas em um sentido, considera-se apenas a condição de não deslizamento, isto é, a fronteira imersa acompanhará passivamente um campo de velocidades pré-estabelecido (imposto), sem exercer qualquer força ou influência sobre ele. Foi utilizado um campo de distância local com sinal (função indicadora de fluidos) para identificar o interior e o exterior da superfície que representa a interface entre os fluidos. Este campo de distância é atualizado a cada passo no tempo utilizando idéias de Geometria Computacional, o que tornou o custo computacional para calcular esse campo otimal independente da complexidade geométrica da interface. Esta metodologia mostrou-se robusta e produz uma definição nítida das distintas fases dos fluidos em todos os passos no tempo. Para acompanhar e visualizar de forma mais precisa o comportamento dos fluidos na vizinhança da superfície que representa a interface de separação dos fluido, foi utilizado um algoritmo chamado de Refinamento Adaptativo de Malhas para fazer um refinamento dinâmico da malha euleriana na vizinhança da malha lagrangiana. / The scientific motivation of the present work is the mathematical modeling and the computational simulation of multiphase flows. Specifically, the equations of a two-phase flow are written by combining the Immersed Boundary Method with a suitable fluid indicator function. It is assumed that the fluid equations are discretized on an Eulerian mesh covering completely the flow domain and that the interface between the fluid phases is discretized by a non-structured Lagrangian mesh formed by triangles. In this context, employing tools commonly found in Computational Geometry, the computation of the fluid indicator function is efficiently performed on a block-structured Eulerian mesh bearing dynamical refinement patches. Formed by a set of triangles, the Lagrangian mesh, which is initally generated employing the free software GMSH, is stored in a Halfedge data structure, a data structure which is widely used in Computer Graphics to represent bounded, orientable closed surfaces. Once the Lagrangian mesh has been generated, next, one deals with the hipothetical situation of dealing with the one-way dynamical interaction between the immersed boundary and the fluid flow, that is, considering the non-slip condition, only the action of the flow on the interface is studied. No forces arising on the interface affects the flow, the interface passively being advect with the flow under a prescribed, imposed velocity field. In particular, the Navier-Stokes equations are not solved. The fluid indicator function is given by a signed distance function in a vicinity of the immersed boundary. It is employed to identify interior/exterior points with respect to the bounded, closed region which is assumed to contain one of the fluid phases in its interior. The signed distance is update every time step employing Computational Geometry methods with optimal cost. Several examples in three dimensions, showing the efficiency and efficacy in the computation of the fluid indicator function, are given which employ the dynamical adaptive properties of the Eurlerian mesh for a moving interface.

No presente trabalho, utilizou-se o Método da Fronteira Imersa, o qual utiliza dois tipos de malhas computacionais: euleriana (utilizada para o fluido) e lagrangiana (utilizada para representar a interface de separação de dois fluidos). O software livre GMSH foi utilizado para representar um sólido por meio da sua superfície externa e também para gerar uma malha triangular, bidimensional e não estruturada para discretizar essa superfície. Essa superfície foi utilizada como condição inicial para a malha lagrangiana (fronteira imersa). Os dados da malha lagrangiana são armazenados em uma estrutura de dados chamada Halfedge, a qual é largamente utilizada em Computação Gráfica para armazenar superfícies fechadas e orientáveis. Uma vez que a malha lagrangiana esteja armazenada nesta estrutura de dados, passa-se a estudar uma hipotética interação dinâmica entre a fronteira imersa e o escoamento do fluido. Esta interação é estudada apenas em um sentido, considera-se apenas a condição de não deslizamento, isto é, a fronteira imersa acompanhará passivamente um campo de velocidades pré-estabelecido (imposto), sem exercer qualquer força ou influência sobre ele. Foi utilizado um campo de distância local com sinal (função indicadora de fluidos) para identificar o interior e o exterior da superfície que representa a interface entre os fluidos. Este campo de distância é atualizado a cada passo no tempo utilizando idéias de Geometria Computacional, o que tornou o custo computacional para calcular esse campo otimal independente da complexidade geométrica da interface. Esta metodologia mostrou-se robusta e produz uma definição nítida das distintas fases dos fluidos em todos os passos no tempo. Para acompanhar e visualizar de forma mais precisa o comportamento dos fluidos na vizinhança da superfície que representa a interface de separação dos fluido, foi utilizado um algoritmo chamado de Refinamento Adaptativo de Malhas para fazer um refinamento dinâmico da malha euleriana na vizinhança da malha lagrangiana. / The scientific motivation of the present work is the mathematical modeling and the computational simulation of multiphase flows. Specifically, the equations of a two-phase flow are written by combining the Immersed Boundary Method with a suitable fluid indicator function. It is assumed that the fluid equations are discretized on an Eulerian mesh covering completely the flow domain and that the interface between the fluid phases is discretized by a non-structured Lagrangian mesh formed by triangles. In this context, employing tools commonly found in Computational Geometry, the computation of the fluid indicator function is efficiently performed on a block-structured Eulerian mesh bearing dynamical refinement patches. Formed by a set of triangles, the Lagrangian mesh, which is initally generated employing the free software GMSH, is stored in a Halfedge data structure, a data structure which is widely used in Computer Graphics to represent bounded, orientable closed surfaces. Once the Lagrangian mesh has been generated, next, one deals with the hipothetical situation of dealing with the one-way dynamical interaction between the immersed boundary and the fluid flow, that is, considering the non-slip condition, only the action of the flow on the interface is studied. No forces arising on the interface affects the flow, the interface passively being advect with the flow under a prescribed, imposed velocity field. In particular, the Navier-Stokes equations are not solved. The fluid indicator function is given by a signed distance function in a vicinity of the immersed boundary. It is employed to identify interior/exterior points with respect to the bounded, closed region which is assumed to contain one of the fluid phases in its interior. The signed distance is update every time step employing Computational Geometry methods with optimal cost. Several examples in three dimensions, showing the efficiency and efficacy in the computation of the fluid indicator function, are given which employ the dynamical adaptive properties of the Eurlerian mesh for a moving interface.

Este trabalho apresenta um estudo sobre a solução numérica da equação geral de advecção-difusão usando uma metodologia numérica conservativa. Para a discretização espacial, é usado o Método de Volumes Finitos devido à natureza conservativa da equação em questão. O método é configurado de modo a ter suas variáveis centradas em centro de célula e, para as variáveis, como a velocidade, centradas nas faces um método de interpolação de segunda ordem é utilizado para um ajuste numérico ao centro. Embora a implementação computacional tenha sido feita de forma paramétrica de maneira a acomodar outros esquemas numéricos, a discretização temporal dá ênfase ao Método de Crank-Nicolson. Tal método numérico, sendo ele implícito, dá origem a um sistema linear de equações que, aqui, é resolvido empregando-se o Método Multigrid-Multinível. A corretude do código implementado é verificada a partir de testes por soluções manufaturadas, de modo a checar se a ordem de convergência prevista em teoria é alcançada pelos métodos numéricos. Um jato laminar é simulado, com o acoplamento entre a equação de Navier-Stokes e a equação geral de advecção-difusão, em um domínio computacional tridimensional. O jato é uma forma de vericar se o algoritmo de geração de malhas adaptativas funciona corretamente. O módulo produzido neste trabalho é baseado no código computacional AMR3D-P desenvolvido pelos grupos de pesquisa do IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). A linguagem FORTRAN é utilizada para o desenvolvimento da metodologia numérica e as simulações foram executadas nos computadores do LabMAP(Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP) e do MFLab/FEMEC-UFU. / This work presents a study about the numerical solution of variable coecients advectiondi usion equation, or simply, general advection-diusion equation using a conservative numerical methodology. The Finite Volume Method is choosen as discretisation of the spatial domain because the conservative nature of the focused equation. This method is set up to have the scalar variable in a cell centered scheme and the vector quantities, such velocity, are face centered and they need a second order interpolation to get adjusted to the cell center. The computational code is parametric, in which, any implicit temporal discretisation can be choosen, but the emphasis relies on Crank-Nicolson method, a well-known second order method. The implicit nature of aforementioned method gives a linear system of equations which is solved here by the Multilevel-Multigrid method. The correctness of the computational code is checked by manufactured solution method used to inspect if the theoretical order of convergence is attained by the numerical methods. A laminar jet is simulated, coupling the Navier-Stokes equation and the general advection-diusion equation in a 3D computational domain. The jet is a good way to check the corectness of adaptative mesh renement algorithm. The module designed here is based in a previous implemented code AMR3D-P designed by IME-USP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). The programming language used is FORTRAN and the simulations were run in LabMAP(Applied Mathematics Laboratoy at IME-USP) and MFLab/FEMEC-UFU computers.

Na obtenção de aproximações numéricas para Equações Diferenciais Parciais Elípticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) alguns problemas apresentam valores maiores para o erro somente em algumas determinadas regiões do domínio como, por exemplo, regiões onde existam singularidades na solução contínua do problema. Uma possível alternativa para reduzir o erro cometido nestas regiões é aumentar o número de elementos nos trechos onde o erro cometido foi considerado grande. A questão principal é como identificar essas regiões, dado que a solução do problema contínuo é desconhecida. Neste trabalho iremos apresentar a chamada estimativa residual, que fornece um estimador do erro cometido na aproximação utilizando apenas os valores conhecidos dos contornos e a aproximação obtida sobre uma dada partição de elementos. Vamos discutir a relação entre a estimativa residual e o erro cometido na aproximação, além de utilizar as estimativas na construção de um algoritmo adaptativo para as malhas em estudo. Utilizando o software FreeFem++ serão obtidas aproximações para a Equação de Poisson e para o sistema de equações associado à Elasticidade Linear e por meio do estimador residual será analisado o erro cometido nas aproximações e a necessidade do refinamento adaptativo das malhas. / In obtaining numerical approximations for solutions to Elliptic Partial Differential Equations using the Finite Element Method (FEM) one sees that some problems have higher values for the error only in certain domain regions such as, for example, regions where the solution of the continous problem is singular. A possible alternative to reduce the error in these regions is to increase the number of elements in the partions where the error was considered large. The main issue is how to identify these regions, since the solution of the continuous problem is unknown. In this work we present the so-called residual estimate, which provides an error estimation approach which uses only the known values on the contours and the obtained approximation on a given discretization. We will discuss the relationship between the residual estimate and the error, and how to use the estimate for adaptively refining the mesh. Solutions for the Poisson equation and the Linear elasticity system of equations, and the residual estimates for the analysis of mesh refinement will be computed using the FreeFem++ software.

Na obtenção de aproximações numéricas para Equações Diferenciais Parciais Elípticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) alguns problemas apresentam valores maiores para o erro somente em algumas determinadas regiões do domínio como, por exemplo, regiões onde existam singularidades na solução contínua do problema. Uma possível alternativa para reduzir o erro cometido nestas regiões é aumentar o número de elementos nos trechos onde o erro cometido foi considerado grande. A questão principal é como identificar essas regiões, dado que a solução do problema contínuo é desconhecida. Neste trabalho iremos apresentar a chamada estimativa residual, que fornece um estimador do erro cometido na aproximação utilizando apenas os valores conhecidos dos contornos e a aproximação obtida sobre uma dada partição de elementos. Vamos discutir a relação entre a estimativa residual e o erro cometido na aproximação, além de utilizar as estimativas na construção de um algoritmo adaptativo para as malhas em estudo. Utilizando o software FreeFem++ serão obtidas aproximações para a Equação de Poisson e para o sistema de equações associado à Elasticidade Linear e por meio do estimador residual será analisado o erro cometido nas aproximações e a necessidade do refinamento adaptativo das malhas. / In obtaining numerical approximations for solutions to Elliptic Partial Differential Equations using the Finite Element Method (FEM) one sees that some problems have higher values for the error only in certain domain regions such as, for example, regions where the solution of the continous problem is singular. A possible alternative to reduce the error in these regions is to increase the number of elements in the partions where the error was considered large. The main issue is how to identify these regions, since the solution of the continuous problem is unknown. In this work we present the so-called residual estimate, which provides an error estimation approach which uses only the known values on the contours and the obtained approximation on a given discretization. We will discuss the relationship between the residual estimate and the error, and how to use the estimate for adaptively refining the mesh. Solutions for the Poisson equation and the Linear elasticity system of equations, and the residual estimates for the analysis of mesh refinement will be computed using the FreeFem++ software.

Este trabalho apresenta um estudo sobre a solução numérica da equação geral de advecção-difusão usando uma metodologia numérica conservativa. Para a discretização espacial, é usado o Método de Volumes Finitos devido à natureza conservativa da equação em questão. O método é configurado de modo a ter suas variáveis centradas em centro de célula e, para as variáveis, como a velocidade, centradas nas faces um método de interpolação de segunda ordem é utilizado para um ajuste numérico ao centro. Embora a implementação computacional tenha sido feita de forma paramétrica de maneira a acomodar outros esquemas numéricos, a discretização temporal dá ênfase ao Método de Crank-Nicolson. Tal método numérico, sendo ele implícito, dá origem a um sistema linear de equações que, aqui, é resolvido empregando-se o Método Multigrid-Multinível. A corretude do código implementado é verificada a partir de testes por soluções manufaturadas, de modo a checar se a ordem de convergência prevista em teoria é alcançada pelos métodos numéricos. Um jato laminar é simulado, com o acoplamento entre a equação de Navier-Stokes e a equação geral de advecção-difusão, em um domínio computacional tridimensional. O jato é uma forma de vericar se o algoritmo de geração de malhas adaptativas funciona corretamente. O módulo produzido neste trabalho é baseado no código computacional AMR3D-P desenvolvido pelos grupos de pesquisa do IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). A linguagem FORTRAN é utilizada para o desenvolvimento da metodologia numérica e as simulações foram executadas nos computadores do LabMAP(Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP) e do MFLab/FEMEC-UFU. / This work presents a study about the numerical solution of variable coecients advectiondi usion equation, or simply, general advection-diusion equation using a conservative numerical methodology. The Finite Volume Method is choosen as discretisation of the spatial domain because the conservative nature of the focused equation. This method is set up to have the scalar variable in a cell centered scheme and the vector quantities, such velocity, are face centered and they need a second order interpolation to get adjusted to the cell center. The computational code is parametric, in which, any implicit temporal discretisation can be choosen, but the emphasis relies on Crank-Nicolson method, a well-known second order method. The implicit nature of aforementioned method gives a linear system of equations which is solved here by the Multilevel-Multigrid method. The correctness of the computational code is checked by manufactured solution method used to inspect if the theoretical order of convergence is attained by the numerical methods. A laminar jet is simulated, coupling the Navier-Stokes equation and the general advection-diusion equation in a 3D computational domain. The jet is a good way to check the corectness of adaptative mesh renement algorithm. The module designed here is based in a previous implemented code AMR3D-P designed by IME-USP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). The programming language used is FORTRAN and the simulations were run in LabMAP(Applied Mathematics Laboratoy at IME-USP) and MFLab/FEMEC-UFU computers.

[pt] A otimização topológica tem como objetivo encontrar a distribuição mais eficiente de material (ótima topologia) em uma determinada região, satisfazendo as restrições de projeto estabelecidas pelo usuário. Na abordagem tradicional atribui-se uma variável de projeto, constante, denominada densidade, para cada elemento finito da malha. Dessa forma, a qualidade da representação dos novos contornos da estrutura depende do nível de discretização da malha: quanto maior a quantidade de elementos, mais bem definida será a topologia da estrutura otimizada. No entanto, a utilização de malhas super-refinadas implica em um elevado custo computacional, principalmente na etapa de solução numérica das equações de equilíbrio pelo método dos elementos finitos. Este trabalho propõe uma nova estratégia computacional para o refinamento adaptativo local de malhas utilizando elementos finitos poligonais em domínios bidimensionais arbitrários. A ideia consiste em realizar um refinamento da malha nas regiões de concentração de material, sobretudo nos contornos internos e externos, e um desrefinamento nas regiões de baixa concentração de material, como por exemplo, nos furos internos. Desta forma, é possível obter topologias ótimas, com alta resolução e relativamente baixo custo computacional. Exemplos representativos são apresentados para demonstrar a robustez e a eficiência da metodologia proposta por meio de comparações com resultados obtidos com malhas super-refinadas e mantidas constantes durante todo o processo de otimização topológica. / [en] Topology optimization aims to find the most efficient distribution of material (optimal topology) in a given domain, subjected to design constraints defined by the user. The quality of the new boundary representation depends on the level of mesh refinement: the greater the number of elements in the mesh, the better will be the representation of the optimized structure. However, the use of super refined meshes implies in a high computational cost, especially regarding the numerical solution of the linear systems of equations that arise from the finite element method. This work proposes a new computational strategy for adaptive local mesh refinement using polygonal finite elements in arbitrary two-dimensional domains. The idea is to perform a mesh refinement in regions of material concentration, mostly in inner and outer boundaries, and a mesh derefinement in regions of low material concentration such as the internal holes. Thus, it is possible to obtain optimal topologies with high resolution and relatively low computational cost. Representative examples are presented to demonstrate the robustness and efficiency of the proposed methodology by comparing the results obtained herein with the ones from the literature where super refined meshes are held constant throughout all topology optimization process.

A simulação computacional de escoamentos incompressíveis multifásicos tem avançado continuamente e é uma área extremamente importante em Dinâmica de Fluidos Computacional (DFC) por suas várias aplicações na indústria, em medicina e em biologia, apenas para citar alguns exemplos. Apresentamos modelos matemáticos e métodos numéricos tendo em vista simulações computacionais de fluidos bifásicos newtonianos e viscoelásticos (não newtonianos), em seus regimes transiente e estacionário de escoamento. Os ingredientes principais requeridos são o Modelo de Um Fluido e o Método da Fronteira Imersa em malhas adaptativas, usados em conjunto com os métodos da Projeção de Chorin-Temam e de Uzawa. Tais metodologias são obtidas a partir de equações a derivadas parciais simples as quais, naturalmente, são resolvidas em malhas adaptativas empregando métodos multinível-multigrid. Em certas ocasiões, entretanto, para escoamentos modelados pelas equações de Navier-Stokes (e.g. em problemas onde temos altos saltos de massa específica), tem-se problemas de convergência no escopo destes métodos. Além disso, no caso de escoamentos estacionários, resolver as equações de Stokes em sua forma discreta por tais métodos não é uma tarefa fácil. Verificamos que zeros na diagonal do sistema linear resultante impedem que métodos de relaxação usuais sejam empregados. As dificuldades mencionadas acima motivaram-nos a pesquisar por, a propor e a desenvolver alternativas à metodologia multinível-multigrid. No presente trabalho, propomos métodos para obter explicitamente as matrizes que representam os sistemas lineares oriundos da discretização daquelas equações a derivadas parciais simples que são a base dos métodos de Projeção e de Uzawa. Ter em mãos estas representações matriciais é vantajoso pois com elas podemos caracterizar tais sistemas lineares em termos das propriedades de seus raios espectrais, suas definições e simetria. Muito pouco (ou nada) se sabe efetivamente sobre estes sistemas lineares associados a discretizações em malhas compostas bloco-estruturadas. É importante salientarmos que, além disso, ganhamos acesso ao uso de bibliotecas numéricas externas, como o PETSc, com seus pré-condicionadores e métodos numéricos, seriais e paralelos, para resolver sistemas lineares. Infraestrutura para nossos desenvolvimentos foi propiciada pelo código denominado ``AMR2D\'\', um código doméstico para problemas em DFC que vem sendo cuidado ao longo dos anos pelos grupos de pesquisa em DFC do IME-USP e da FEMEC-UFU. Estendemos este código, adicionando módulos para escoamentos viscoelásticos e para escoamentos estacionários modelados pelas equações de Stokes. Além disso, melhoramos de maneira notável as rotinas de cálculo de valores fantasmas. Tais melhorias permitiram a implementação do Método dos Gradientes Bi-Conjugados, baseada em visitas retalho-a-retalho e varreduras da estrutura hierárquica nível-a-nível, essencial à implementação do Método de Uzawa. / Numerical simulation of incompressible multiphase flows has continuously of advanced and is an extremely important area in Computational Fluid Dynamics (CFD) because its several applications in industry, in medicine, and in biology, just to mention a few of them. We present mathematical models and numerical methods having in sight the computational simulation of two-phase Newtonian and viscoelastic fluids (non-Newtonian fluids), in the transient and stationary flow regimes. The main ingredients required are the One-fluid Model and the Immersed Boundary Method on dynamic, adaptive meshes, in concert with Chorin-Temam Projection and the Uzawa methods. These methodologies are built from simple linear partial differential equations which, most naturally, are solved on adaptive grids employing mutilevel-multigrid methods. On certain occasions, however, for transient flows modeled by the Navier-Stokes equations (e.g. in problems where we have high density jumps), one has convergence problems within the scope of these methods. Also, in the case of stationary flows, solving the discrete Stokes equations by those methods represents no straight forward task. It turns out that zeros in the diagonal of the resulting linear systems coming from the discrete equations prevent the usual relaxation methods from being used. Those difficulties, mentioned above, motivated us to search for, to propose, and to develop alternatives to the multilevel-multigrid methodology. In the present work, we propose methods to explicitly obtain the matrices that represent the linear systems arising from the discretization of those simple linear partial differential equations which form the basis of the Projection and Uzawa methods. Possessing these matrix representations is on our advantage to perform a characterization of those linear systems in terms of their spectral, definition, and symmetry properties. Very little is known about those for adaptive mesh discretizations. We highlight also that we gain access to the use of external numerical libraries, such as PETSc, with their preconditioners and numerical methods, both in serial and parallel versions, to solve linear systems. Infrastructure for our developments was offered by the code named ``AMR2D\'\' - an in-house CFD code, nurtured through the years by IME-USP and FEMEC-UFU CFD research groups. We were able to extend that code by adding a viscoelastic and a stationary Stokes solver modules, and improving remarkably the patchwise-based algorithm for computing ghost values. Those improvements proved to be essential to allow for the implementation of a patchwise Bi-Conjugate Gradient Method which ``powers\'\' Uzawa Method.

A simulação computacional de escoamentos incompressíveis multifásicos tem avançado continuamente e é uma área extremamente importante em Dinâmica de Fluidos Computacional (DFC) por suas várias aplicações na indústria, em medicina e em biologia, apenas para citar alguns exemplos. Apresentamos modelos matemáticos e métodos numéricos tendo em vista simulações computacionais de fluidos bifásicos newtonianos e viscoelásticos (não newtonianos), em seus regimes transiente e estacionário de escoamento. Os ingredientes principais requeridos são o Modelo de Um Fluido e o Método da Fronteira Imersa em malhas adaptativas, usados em conjunto com os métodos da Projeção de Chorin-Temam e de Uzawa. Tais metodologias são obtidas a partir de equações a derivadas parciais simples as quais, naturalmente, são resolvidas em malhas adaptativas empregando métodos multinível-multigrid. Em certas ocasiões, entretanto, para escoamentos modelados pelas equações de Navier-Stokes (e.g. em problemas onde temos altos saltos de massa específica), tem-se problemas de convergência no escopo destes métodos. Além disso, no caso de escoamentos estacionários, resolver as equações de Stokes em sua forma discreta por tais métodos não é uma tarefa fácil. Verificamos que zeros na diagonal do sistema linear resultante impedem que métodos de relaxação usuais sejam empregados. As dificuldades mencionadas acima motivaram-nos a pesquisar por, a propor e a desenvolver alternativas à metodologia multinível-multigrid. No presente trabalho, propomos métodos para obter explicitamente as matrizes que representam os sistemas lineares oriundos da discretização daquelas equações a derivadas parciais simples que são a base dos métodos de Projeção e de Uzawa. Ter em mãos estas representações matriciais é vantajoso pois com elas podemos caracterizar tais sistemas lineares em termos das propriedades de seus raios espectrais, suas definições e simetria. Muito pouco (ou nada) se sabe efetivamente sobre estes sistemas lineares associados a discretizações em malhas compostas bloco-estruturadas. É importante salientarmos que, além disso, ganhamos acesso ao uso de bibliotecas numéricas externas, como o PETSc, com seus pré-condicionadores e métodos numéricos, seriais e paralelos, para resolver sistemas lineares. Infraestrutura para nossos desenvolvimentos foi propiciada pelo código denominado ``AMR2D\'\', um código doméstico para problemas em DFC que vem sendo cuidado ao longo dos anos pelos grupos de pesquisa em DFC do IME-USP e da FEMEC-UFU. Estendemos este código, adicionando módulos para escoamentos viscoelásticos e para escoamentos estacionários modelados pelas equações de Stokes. Além disso, melhoramos de maneira notável as rotinas de cálculo de valores fantasmas. Tais melhorias permitiram a implementação do Método dos Gradientes Bi-Conjugados, baseada em visitas retalho-a-retalho e varreduras da estrutura hierárquica nível-a-nível, essencial à implementação do Método de Uzawa. / Numerical simulation of incompressible multiphase flows has continuously of advanced and is an extremely important area in Computational Fluid Dynamics (CFD) because its several applications in industry, in medicine, and in biology, just to mention a few of them. We present mathematical models and numerical methods having in sight the computational simulation of two-phase Newtonian and viscoelastic fluids (non-Newtonian fluids), in the transient and stationary flow regimes. The main ingredients required are the One-fluid Model and the Immersed Boundary Method on dynamic, adaptive meshes, in concert with Chorin-Temam Projection and the Uzawa methods. These methodologies are built from simple linear partial differential equations which, most naturally, are solved on adaptive grids employing mutilevel-multigrid methods. On certain occasions, however, for transient flows modeled by the Navier-Stokes equations (e.g. in problems where we have high density jumps), one has convergence problems within the scope of these methods. Also, in the case of stationary flows, solving the discrete Stokes equations by those methods represents no straight forward task. It turns out that zeros in the diagonal of the resulting linear systems coming from the discrete equations prevent the usual relaxation methods from being used. Those difficulties, mentioned above, motivated us to search for, to propose, and to develop alternatives to the multilevel-multigrid methodology. In the present work, we propose methods to explicitly obtain the matrices that represent the linear systems arising from the discretization of those simple linear partial differential equations which form the basis of the Projection and Uzawa methods. Possessing these matrix representations is on our advantage to perform a characterization of those linear systems in terms of their spectral, definition, and symmetry properties. Very little is known about those for adaptive mesh discretizations. We highlight also that we gain access to the use of external numerical libraries, such as PETSc, with their preconditioners and numerical methods, both in serial and parallel versions, to solve linear systems. Infrastructure for our developments was offered by the code named ``AMR2D\'\' - an in-house CFD code, nurtured through the years by IME-USP and FEMEC-UFU CFD research groups. We were able to extend that code by adding a viscoelastic and a stationary Stokes solver modules, and improving remarkably the patchwise-based algorithm for computing ghost values. Those improvements proved to be essential to allow for the implementation of a patchwise Bi-Conjugate Gradient Method which ``powers\'\' Uzawa Method.