Le champ des équations différentielles joue un rôle éminent pour les mathématiques et pour d'autres disciplines. Historiquement, il a d'abord été dominé par la résolution algébrique, deux autres approches ont cependant surgi par la suite : qualitative et numérique. Néanmoins l'analyse de l'enseignement montre que celui-ci est dominé par l'approche algébrique. Le contenu tel qu'il est, reflète médiocrement l'importance de cet objet de savoir. En outre, plusieurs recherches ont décelé une faiblesse de motivation chez les étudiants. De ce fait depuis une vingtaine d'années un certain nombre de travaux essayant d'intégrer d'autres approches au niveau universitaire ont émergé. Encouragé en particulier par les programmes secondaires français, nous nous interrogeons dans cette thèse sur la viabilité de l'approche qualitative en classe de Terminale S. Pour ce faire nous avons élaboré une ingénierie didactique, tout en recourant à la notion de registre sémiotique et à celle de conception suivant le modèle ck¢ (Balacheff). L'étude est composée de quatre parties : dans la partie A, après une étude historique, nous présentons les trois approches et explicitons les raisons pour lesquelles nous favorisons l'approche qualitative. Nous rappelons ensuite les contraintes qui s'opposent à son intégration afin de remédier à certaines d'entre elles grâce à nos choix des outils didactiques. Dans la partie B, nous analysons des programmes et manuels, afin d'explorer des connaissances des élèves pour les mettre à profit dans notre ingénierie. La partie C est consacrée à la présentation de l'analyse a priori et a posteriori de l'ingénierie mise en place. Enfin, la partie D conclut notre travail.

Les nombres rationnels sont aujourd'hui l'objet d'ingénieries qui distinguent en général deux phases d'apprentissage : un temps long pour traiter rhétoriquement une classe de problèmes à des fins de conceptualisation, un temps bref pour assimiler les notations symboliques à des fins de communication et traitements. Des avancées importantes ont déjà été obtenues grâce à une telle démarche. Mais la discrimination des caractéristiques propres à chaque système exprimant les nombres, notamment celles des écritures fractionnaires et décimales, reste difficile. Une autre difficulté importante est de reconnaître dans les objets mathématiques ainsi – symboliquement – exprimés ceux dont on parlait lors de la phase de conceptualisation. <br />Pour surmonter ces difficultés, nous avons proposé une introduction aux rationnels qui privilégie un système d'expression au moyen de droites graduées. L'élaboration de ce support, plongé dans un environnement informatique permettant l'interactivité, a été conduite en respectant certaines contraintes : familiarité pour les élèves ; consistance suffisante pour garantir sa pérennité ; adéquation à la mise en place d'un véritable registre sémiotique, de nature à décourager l'usage de routines aveugles ; adaptabilité aux problèmes liés aux rationnels. S'approprier ce premier registre permet ensuite d'annoncer puis de contrôler les traitements applicables au registre fractionnaire et au registre décimal ; coordonner enfin ces trois registres autorise l'objectivation du concept de nombre rationnel.<br />L'observation d'une classe d'élèves ayant suivi cet enseignement a permis de confirmer ou d'affiner nos hypothèses. Sept compétences nécessaires à la maîtrise des rationnels ont pu être énoncées et reliées à l'appropriation du registre des droites graduées, dont le coût élevé se trouve ainsi compensé. Le rôle clé de la langue naturelle et de son articulation avec les registres symboliques a été confirmé.

Depuis le début de la contre-réforme des mathématiques modernes, l'enseignement de la notion de fonction au début du lycée en France a subi de profondes mutations. Une des tendances les plus importantes concerne le renforcement progressif de l'utilisation des divers modes de représentation des fonctions. Ainsi parallèlement à une diminution de la suprématie du registre algébrique, le registre graphique a acquis de nouveaux droits et il y a également une injonction forte à utiliser dans des conditions nouvelles les objets tableaux de valeurs et de variations. Notre hypothèse de recherche est, suite aux travaux de Duval, que c'est de la multiplicité des registres possibles que le concept et ses propriétés vont se dégager. <br />Dans notre travail, nous menons tout d'abord une analyse institutionnelle de la notion de fonction dans une perspective écologique pour dégager les différents systèmes de contraintes et de conditions qui pèsent sur les évolutions de ce savoir au cours du processus de transposition didactique interne. Ce travail s'inscrit dans une perspective commençant dans les années 80, au début de la période de la contre-réforme des mathématiques modernes. Nous faisons ensuite un état des lieux de l'enseignement actuel pour voir comment ont été traitées les nouveautés du programme par les manuels actuels et les enseignants (sur la base d'un questionnaire). Nous faisons également un état des lieux des compétences des élèves, à travers un test papier. <br />A la lumière des analyses précédentes, nous déterminons certaines caractéristiques de l'organisation praxéologique proposée par les nouveaux programmes de 2000 autour de la notion de fonction qui ont du mal à vivre dans l'enseignement. Nous proposons enfin une ingénierie didactique visant à faire fonctionner ces aspects du programme dans les classes et à en tester la viabilité à travers une expérimentation.