Ill-posed inverse problems with quadratic structure are introduced, studied and solved. As an example an inverse problem appearing in laser optics is solved numerically based on a new regularized inversion algorithm. In addition, the theory of sparsity promoting regularization is extended to situations in which sparsity cannot be expected and also to equations with non-injective operators.

There are various ways to regularize ill-posed operator equations in Hilbert space. If the underlying operator is accretive then Lavrentiev regularization (singular perturbation) is an immediate choice. The corresponding convergence rates for the regularization error depend on the given smoothness assumptions, and for general accretive operators these may be both with respect to the operator or its adjoint. Previous analysis revealed different convergence rates, and their optimality was unclear, specifically for adjoint source conditions. Based on the fundamental study by T. Kato, Fractional powers of dissipative operators. J. Math. Soc. Japan, 13(3):247--274, 1961, we establish power type convergence rates for this case. By measuring the optimality of such rates in terms on limit orders we exhibit optimality properties of the convergence rates, for general accretive operators under direct and adjoint source conditions, but also for the subclass of nonnegative selfadjoint operators.

The dissertation suggests a generalized version of Tikhonov regularization and analyzes its properties. The focus is on convergence rates theory and an extensive example for regularization with Poisson distributed data is given.

In the last decade l1-regularization became a powerful and popular tool for the regularization of Inverse Problems. While in the early years sparse solution were in the focus of research, recently also the case that the coefficients of the exact solution decay sufficiently fast was under consideration. In this paper we seek to show that l1-regularization is applicable and leads to optimal convergence rates even when the exact solution does not belong to l1 but only to l2. This is a particular example of over-smoothing regularization, i.e., the penalty implies smoothness properties the exact solution does not fulfill. We will make some statements on convergence also in this general context.

Ill-posed inverse problems with quadratic structure are introduced, studied and solved. As an example an inverse problem appearing in laser optics is solved numerically based on a new regularized inversion algorithm. In addition, the theory of sparsity promoting regularization is extended to situations in which sparsity cannot be expected and also to equations with non-injective operators.

Die Untersuchung mikrogelinster astronomischer Objekte ermöglicht es, Informationen über die Größe und Struktur dieser Objekte zu erhalten. Im ersten Teil dieser Arbeit werden die Spektren von drei gelinsten Quasare, die mit dem Potsdamer Multi Aperture Spectrophotometer (PMAS) erhalten wurden, auf Anzeichen für Mikrolensing untersucht. In den Spektren des Vierfachquasares HE 0435-1223 und des Doppelquasares HE 0047-1756 konnten Hinweise für Mikrolensing gefunden werden, während der Doppelquasar UM 673 (Q 0142--100) keine Anzeichen für Mikrolensing zeigt. Die Invertierung der Lichtkurve eines Mikrolensing-Kausik-Crossing-Ereignisses ermöglicht es, das eindimensionale Helligkeitsprofil der gelinsten Quelle zu rekonstruieren. Dies wird im zweiten Teil dieser Arbeit untersucht. Die mathematische Beschreibung dieser Aufgabe führt zu einer Volterra'schen Integralgleichung der ersten Art, deren Lösung ein schlecht gestelltes Problem ist. Zu ihrer Lösung wird in dieser Arbeit ein lokales Regularisierungsverfahren angewendet, das an die kausale Strukture der Volterra'schen Gleichung besser angepasst ist als die bisher verwendete Tikhonov-Phillips-Regularisierung. Es zeigt sich, dass mit dieser Methode eine bessere Rekonstruktion kleinerer Strukturen in der Quelle möglich ist. Weiterhin wird die Anwendbarkeit der Regularisierungsmethode auf realistische Lichtkurven mit irregulärem Sampling bzw. größeren Lücken in den Datenpunkten untersucht. / The study of microlensed astronomical objects can reveal information about the size and the structure of these objects. In the first part of this thesis we analyze the spectra of three lensed quasars obtained with the Potsdam Multi Aperture Spectrophotometer (PMAS). The spectra of the quadrupole quasar HE 0435--1223 and the double quasar HE 0047--1756 show evidence for microlensing whereas in the double quasar UM 673 (Q 0142--100) no evidence for microlensing could be found. By inverting the lightcurve of a microlensing caustic crossing event the one dimensional luminosity profile of the lensed source can be reconstructed. This is investigated in the second part of this thesis.The mathematical formulation of this problem leads to a Volterra integral equation of the first kind, whose solution is an ill-posed problem. For the solution we use a local regularization method which is better adapted to the causal structure of the Volterra integral equation compared to the so far used Tikhonov-Phillips regularization. Furthermore we show that this method is more robust on reconstructing small structures in the source profile. We also study the influence of irregular sampled data and gaps in the lightcurve on the result of the inversion.

Tectonic and geological processes on Earth often result in structural anisotropy of the subsurface, which can be imaged by various geophysical methods. In order to achieve appropriate and realistic Earth models for interpretation, inversion algorithms have to allow for an anisotropic subsurface. Within the framework of this thesis, I analyzed a magnetotelluric (MT) data set taken from the Cape Fold Belt in South Africa. This data set exhibited strong indications for crustal anisotropy, e.g. MT phases out of the expected quadrant, which are beyond of fitting and interpreting with standard isotropic inversion algorithms. To overcome this obstacle, I have developed a two-dimensional inversion method for reconstructing anisotropic electrical conductivity distributions. The MT inverse problem represents in general a non-linear and ill-posed minimization problem with many degrees of freedom: In isotropic case, we have to assign an electrical conductivity value to each cell of a large grid to assimilate the Earth's subsurface, e.g. a grid with 100 x 50 cells results in 5000 unknown model parameters in an isotropic case; in contrast, we have the sixfold in an anisotropic scenario where the single value of electrical conductivity becomes a symmetric, real-valued tensor while the number of the data remains unchanged. In order to successfully invert for anisotropic conductivities and to overcome the non-uniqueness of the solution of the inverse problem it is necessary to use appropriate constraints on the class of allowed models. This becomes even more important as MT data is not equally sensitive to all anisotropic parameters. In this thesis, I have developed an algorithm through which the solution of the anisotropic inversion problem is calculated by minimization of a global penalty functional consisting of three entries: the data misfit, the model roughness constraint and the anisotropy constraint. For comparison, in an isotropic approach only the first two entries are minimized. The newly defined anisotropy term is measured by the sum of the square difference of the principal conductivity values of the model. The basic idea of this constraint is straightforward. If an isotropic model is already adequate to explain the data, there is no need to introduce electrical anisotropy at all. In order to ensure successful inversion, appropriate trade-off parameters, also known as regularization parameters, have to be chosen for the different model constraints. Synthetic tests show that using fixed trade-off parameters usually causes the inversion to end up by either a smooth model with large RMS error or a rough model with small RMS error. Using of a relaxation approach on the regularization parameters after each successful inversion iteration will result in smoother inversion model and a better convergence. This approach seems to be a sophisticated way for the selection of trade-off parameters. In general, the proposed inversion method is adequate for resolving the principal conductivities defined in horizontal plane. Once none of the principal directions of the anisotropic structure is coincided with the predefined strike direction, only the corresponding effective conductivities, which is the projection of the principal conductivities onto the model coordinate axes direction, can be resolved and the information about the rotation angles is lost. In the end the MT data from the Cape Fold Belt in South Africa has been analyzed. The MT data exhibits an area (> 10 km) where MT phases over 90 degrees occur. This part of data cannot be modeled by standard isotropic modeling procedures and hence can not be properly interpreted. The proposed inversion method, however, could not reproduce the anomalous large phases as desired because of losing the information about rotation angles. MT phases outside the first quadrant are usually obtained by different anisotropic anomalies with oblique anisotropy strike. In order to achieve this challenge, the algorithm needs further developments. However, forward modeling studies with the MT data have shown that surface highly conductive heterogeneity in combination with a mid-crustal electrically anisotropic zone are required to fit the data. According to known geological and tectonic information the mid-crustal zone is interpreted as a deep aquifer related to the fractured Table Mountain Group rocks in the Cape Fold Belt. / Tektonische und geologische Prozesse verursachen häufig eine strukturelle Anisotropie des Untergrundes, welche von verschiedenen geophysikalischen Methoden beobachtet werden kann. Zur Erstellung und Interpretation geeigneter, realistischer Modelle der Erde sind Inversionsalgorithmen notwendig, die einen anisotropen Untergrund einbeziehen können. Für die vorliegende Arbeit habe ich einen magnetotellurischen (MT) Datensatz vom Cape Fold Gürtel in Südafrika untersucht. Diese Daten weisen auf eine ausgeprägte Anisotropie der Kruste hin, da z.B. die MT Phasen außerhalb des erwarteten Quadranten liegen und nicht durch standardisierte isotrope Inversionsalgorithmen angepasst und ausgewertet werden können. Um dieses Problem zu beheben, habe ich eine zweidimensionale Inversionsmethode entwickelt, welche eine anisotrope elektrische Leitfähigkeitsverteilungen in den Modellen zulässt. Die MT Inversion ist im allgemeinen ein nichtlineares, schlecht gestelltes Minimierungsproblem mit einer hohen Anzahl an Freiheitsgraden. Im isotropen Fall wird jeder Gitterzelle eines Modells ein elektrischer Leitfähigkeitswert zugewiesen um den Erduntergrund nachzubilden. Ein Modell mit beispielsweise 100 x 50 Zellen besitzt 5000 unbekannte Modellparameter. Im Gegensatz dazu haben wir im anisotropen Fall die sechsfache Anzahl, da hier aus dem einfachen Zahlenwert der elektrischen Leitfähigkeit ein symmetrischer, reellwertiger Tensor wird, wobei die Anzahl der Daten gleich bleibt. Für die erfolgreiche Inversion von anisotropen Leitfähigkeiten und um die Nicht-Eindeutigkeit der Lösung des inversen Problems zu überwinden, ist eine geeignete Einschränkung der möglichen Modelle absolut notwendig. Dies wird umso wichtiger, da die Sensitivität von MT Daten nicht für alle Anisotropieparameter gleich ist. In der vorliegenden Arbeit habe ich einen Algorithmus entwickelt, welcher die Lösung des anisotropen Inversionsproblems unter Minimierung einer globalen Straffunktion berechnet. Diese besteht aus drei Teilen: der Datenanpassung, den Zusatzbedingungen an die Glätte des Modells und die Anisotropie. Im Gegensatz dazu werden beim isotropen Fall nur die ersten zwei Parameter minimiert. Der neu definierte Anisotropieterm wird mit Hilfe der Summe der quadratischen Abweichung der Hauptleitfähigkeitswerte des Modells gemessen. Die grundlegende Idee dieser Zusatzbedingung ist einfach. Falls ein isotropes Modell die Daten ausreichend gut anpassen kann, wird keine elektrische Anisotropie zusätzlich in das Modell eingefügt. Um eine erfolgreiche Inversion zu garantieren müssen geeignete Regularisierungsparameter für die verschiedenen Nebenbedingungen an das Modell gewählt werden. Tests mit synthetischen Modellen zeigen, dass bei festgesetzten Regularisierungsparametern die Inversion meistens entweder in einem glatten Modell mit hohem RMS Fehler oder einem groben Modell mit kleinem RMS Fehler endet. Die Anwendung einer Relaxationsbedingung auf die Regularisierung nach jedem Iterationsschritt resultiert in glatteren Inversionsmodellen und einer höheren Konvergenz und scheint ein ausgereifter Weg zur Wahl der Parameter zu sein. Die vorgestellte Inversionsmethode ist im allgemeinen in der Lage die Hauptleitfähigkeiten in der horizontalen Ebene zu finden. Wenn keine der Hauptrichtungen der Anisotropiestruktur mit der vorgegebenen Streichrichtung übereinstimmt, können nur die dazugehörigen effektiven Leitfähigkeiten, welche die Projektion der Hauptleitfähigkeiten auf die Koordinatenachsen des Modells darstellen, aufgelöst werden. Allerdings gehen die Informationen über die Rotationswinkel verloren. Am Ende meiner Arbeit werden die MT Daten des Cape Fold Gürtels in Südafrika analysiert. Die MT Daten zeigen in einem Abschnitt des Messprofils (> 10 km) Phasen über 90 Grad. Dieser Teil der Daten kann nicht mit herkömmlichen isotropen Modellierungsverfahren angepasst und daher mit diesen auch nicht vollständig ausgewertet werden. Die vorgestellte Inversionsmethode konnte die außergewöhnlich hohen Phasenwerte nicht wie gewünscht im Inversionsergebnis erreichen, was mit dem erwähnten Informationsverlust der Rotationswinkel begründet werden kann. MT Phasen außerhalb des ersten Quadranten können für gewöhnlich bei Anomalien mit geneigter Streichrichtung der Anisotropie gemessen werden. Um diese auch in den Inversionsergebnissen zu erreichen ist eine Weiterentwicklung des Algorithmus notwendig. Vorwärtsmodellierungen des MT Datensatzes haben allerdings gezeigt, dass eine hohe Leitfähigkeitsheterogenität an der Oberfläche in Kombination mit einer Zone elektrischer Anisotropie in der mittleren Kruste notwendig sind um die Daten anzupassen. Aufgrund geologischer und tektonischer Informationen kann diese Zone in der mittleren Kruste als tiefer Aquifer interpretiert werden, der im Zusammenhang mit den zerrütteten Gesteinen der Table Mountain Group des Cape Fold Gürtels steht.

The dissetation deals with the inverse problem of identification of local volatilities from given option price data. The used separation between purely time- and purely price-dependent volatilities enables a detailed mathematical analysis of the corresponding inverse problems. Those are formulated in proper Banach spaces (Hilbert spaces) as operator equations. The unique solvability of these equations are examined. Because the solutions doesn't depend continuously form the given data, possibilities of regularization are discussed. In particular the nonlinear Tikhonov regularization and its applicability to the corresponding problems plays the leading part in these investigations. Detailed numerical studies illustrate these considerations and top this disseration off. / Die Dissertation beschäftigt sich mit dem inversen Problem der Identifikation lokaler Volatilitäten aus gegebenen Optionspreisen. Die dabei benutzte Trennung zwischen rein zeit- und rein preisabhängigen Volatilitäten erlaubt eine tiefgehende mathematische Analyse der entsprechend formulierten inversen Probleme. Diese werden in geeigneten Banachräumen (Hilberträumen) als Operatorgleichung angegeben und auf die eindeutige Lösbarkeit hin untersucht. Da sich die Lösungen als instabil gegenüber Störungen in den Daten erweisen, werden Möglichkeiten der Regularisierung diskutiert. Insbesondere steht dabei die Untersuchung der Anwendbarkeit der Theorie der nichtlinearen Tikhonov-Regularisierung auf die entsprechenden Probleme im Vordergrund. Ausführliche numerische Studien illustrieren die diese Überlegungen und runden die Arbeit ab.

In this paper, we consider the inverse problem of calibrating a generalization of the bivariate Ornstein-Uhlenbeck model introduced by Lo and Wang. Even though the generalized Black-Scholes option pricing formula still holds, option prices change in comparison to the classical Black-Scholes model. The time-dependent volatility function and the other (real-valued) parameters in the model are calibrated simultaneously from option price data and from some empirical moments of the logarithmic returns. This gives an ill-posed inverse problem, which requires a regularization approach. Applying the theory of Engl, Hanke and Neubauer concerning Tikhonov regularization we show convergence of the regularized solution to the true data and study the form of source conditions which ensure convergence rates.

In this paper two basic SQP-approaches for solving implicitly defined inverse problems are presented. Such problems often arises in parameter identification for differential equations. We also include regularization strategies which differ from similar problems in Optimal control. The main focus is on formulating saddle point problems for calculating the next iterate. Conditions for the unique and stable solvability of these problems are presented. The analytical considerations are illustrated by two examples including their discretizations and a numerical case study.