Zugl.: Bremen, Univ., Diss., 2009

Zugl.: Bremen, Univ., Diss., 2010

This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional. / Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet. / Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates.

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. / Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

Die Dissertation widmet sich dem inversen Problem der Bestimmung der fünf Parameter eines Jump-Diffusions-Prozesses aus einer Preistrajektorie. Numerische Rechnungen zu statistischen Standardverfahren haben gezeigt, dass Stabilitätsprobleme insbesondere dann auftreten, wenn die Parameter aus einer relativ kleinen Zahl beobachteter Assetpreise bestimmt werden. Daher untersuchen wir das Problem der Parameterschätzung in dieser Arbeit unter Einbeziehung von Methoden aus der Theorie inverser Probleme, da deren zentrales Anliegen die Analyse und Regularisierung inkorrekter und instabiler inverser Aufgaben ist. In dieser Arbeit werden Phänomene der Instabilität der Parameterbestimmung herausgearbeitet und analysiert. Hierfür leiten wir eine entsprechende nichtlineare Operatorgleichung her, die den Zusammenhang zwischen einer von den Parametern abhängigen Trajektorie des Jump-Diffusions-Prozesses und der Dichtefunktion der Returns beschreibt. Diese Operatorgleichung untersuchen wir bezüglich ihrer Korrektheit. Wir zeigen anhand einer Fallstudie mit simulierten Daten, dass bei der numerischen Lösung Inkorrektheitsphänomene auftreten, sobald die Daten mit kleinen Datenfehlern behaftet sind. Um diese Stabilitätsprobleme zu überwinden, diskutieren wir einen Multiparameter-Regularisierungszugang, bei dem zusätzlich zur Least-Squares Anpassung der empirischen Dichtefunktion die Semiinvarianten berücksichtigt werden. / This thesis deals with the inverse problem of estimating simultaneously the five parameters of a jump diffusion process based on return observations of a price trajectory. It is well known that there occur instability effects using conventional statistical methods, particularly if only a small number of data are available. Therefore we apply the theory of inverse problems for parameter estimation. We analyse the forward operator mapping the parameters to the density function of the returns with respect to well-posedness and ill-posedness of the problem. We show that there occur some ill-posedness phenomena in the parameter estimation problem in case of noisy data and illustrate the instability effect by a numerical case study. To obtain stable approximate solutions of the estimation problem, we use a multi-parameter regularization approach, where a least-squares fitting of empirical densities is superposed by a quadratic penalty term of fitted semi-invariants with weights.

In the last decade l1-regularization became a powerful and popular tool for the regularization of Inverse Problems. While in the early years sparse solution were in the focus of research, recently also the case that the coefficients of the exact solution decay sufficiently fast was under consideration. In this paper we seek to show that l1-regularization is applicable and leads to optimal convergence rates even when the exact solution does not belong to l1 but only to l2. This is a particular example of over-smoothing regularization, i.e., the penalty implies smoothness properties the exact solution does not fulfill. We will make some statements on convergence also in this general context.

Die Dissertation widmet sich dem inversen Problem der Bestimmung der fünf Parameter eines Jump-Diffusions-Prozesses aus einer Preistrajektorie. Numerische Rechnungen zu statistischen Standardverfahren haben gezeigt, dass Stabilitätsprobleme insbesondere dann auftreten, wenn die Parameter aus einer relativ kleinen Zahl beobachteter Assetpreise bestimmt werden. Daher untersuchen wir das Problem der Parameterschätzung in dieser Arbeit unter Einbeziehung von Methoden aus der Theorie inverser Probleme, da deren zentrales Anliegen die Analyse und Regularisierung inkorrekter und instabiler inverser Aufgaben ist. In dieser Arbeit werden Phänomene der Instabilität der Parameterbestimmung herausgearbeitet und analysiert. Hierfür leiten wir eine entsprechende nichtlineare Operatorgleichung her, die den Zusammenhang zwischen einer von den Parametern abhängigen Trajektorie des Jump-Diffusions-Prozesses und der Dichtefunktion der Returns beschreibt. Diese Operatorgleichung untersuchen wir bezüglich ihrer Korrektheit. Wir zeigen anhand einer Fallstudie mit simulierten Daten, dass bei der numerischen Lösung Inkorrektheitsphänomene auftreten, sobald die Daten mit kleinen Datenfehlern behaftet sind. Um diese Stabilitätsprobleme zu überwinden, diskutieren wir einen Multiparameter-Regularisierungszugang, bei dem zusätzlich zur Least-Squares Anpassung der empirischen Dichtefunktion die Semiinvarianten berücksichtigt werden. / This thesis deals with the inverse problem of estimating simultaneously the five parameters of a jump diffusion process based on return observations of a price trajectory. It is well known that there occur instability effects using conventional statistical methods, particularly if only a small number of data are available. Therefore we apply the theory of inverse problems for parameter estimation. We analyse the forward operator mapping the parameters to the density function of the returns with respect to well-posedness and ill-posedness of the problem. We show that there occur some ill-posedness phenomena in the parameter estimation problem in case of noisy data and illustrate the instability effect by a numerical case study. To obtain stable approximate solutions of the estimation problem, we use a multi-parameter regularization approach, where a least-squares fitting of empirical densities is superposed by a quadratic penalty term of fitted semi-invariants with weights.

The authors study parameter choice strategies for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems in Banach spaces. The effectiveness of any parameter choice for obtaining convergence rates depend on the interplay of the solution smoothness and the nonlinearity structure, and it can be expressed concisely in terms of variational inequalities. Such inequalities are link conditions between the penalty term, the norm misfit and the corresponding error measure. The parameter choices under consideration include an a priori choice, the discrepancy principle as well as the Lepskii principle. For the convenience of the reader the authors review in an appendix a few instances where the validity of a variational inequality can be established.

The authors study parameter choice strategies for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems in Banach spaces. The effectiveness of any parameter choice for obtaining convergence rates depend on the interplay of the solution smoothness and the nonlinearity structure, and it can be expressed concisely in terms of variational inequalities. Such inequalities are link conditions between the penalty term, the norm misfit and the corresponding error measure. The parameter choices under consideration include an a priori choice, the discrepancy principle as well as the Lepskii principle. For the convenience of the reader the authors review in an appendix a few instances where the validity of a variational inequality can be established.

Zugl.: Stuttgart, Univ., Diss., 2005.