This thesis deals with the construction and analysis of solution methods for a class of ill-posed optimal control problems involving elliptic partial differential equations as well as inequality constraints for the control and state variables. The objective functional is of tracking type, without any additional \(L^2\)-regularization terms. This makes the problem ill-posed and numerically challenging. We split this thesis in two parts. The first part deals with linear elliptic partial differential equations. In this case, the resulting solution operator of the partial differential equation is linear, making the objective functional linear-quadratic. To cope with additional control constraints we introduce and analyse an iterative regularization method based on Bregman distances. This method reduces to the proximal point method for a specific choice of the regularization functional. It turns out that this is an efficient method for the solution of ill-posed optimal control problems. We derive regularization error estimates under a regularity assumption which is a combination of a source condition and a structural assumption on the active sets. If additional state constraints are present we combine an augmented Lagrange approach with a Tikhonov regularization scheme to solve this problem. The second part deals with non-linear elliptic partial differential equations. This significantly increases the complexity of the optimal control as the associated solution operator of the partial differential equation is now non-linear. In order to regularize and solve this problem we apply a Tikhonov regularization method and analyse this problem with the help of a suitable second order condition. Regularization error estimates are again derived under a regularity assumption. These results are then extended to a sparsity promoting objective functional. / Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Lösungsverfahren für schlecht gestellte Steuerungsprobleme. Die Nebenbedingungen sind in der Form von elliptischen partiellen Differentialgleichungen, sowie Ungleichungsrestriktionen für die Steuerung und den zugehörigen Zustand gegeben. Das Zielfunktional besteht aus einem Tracking-Type-Term ohne zusätzliche \(L^2\)-Regularisierungsterme. Dies führt dazu, dass das Optimalsteuerungsproblem schlecht gestellt ist, was die numerische Berechnung einer Lösung erschwert. Diese Arbeit ist in zwei Teile aufgeteilt. Der erste Teil beschäftigt sich mit linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen. In diesem Fall ist der zugehörige Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung linear und das Zielfunktional linear-quadratisch. Um die zusätzlichen Steuerungsrestriktionen zu behandeln, betrachten wir ein iteratives Verfahren welches auf einer Regularisierung mit Bregman-Abständen basiert. Für eine spezielle Wahl des Regularisierungsfunktionals vereinfacht sich dieses Verfahren zu dem Proximal-Point-Verfahren. Die Analyse des Verfahrens zeigt, dass es ein effizientes und gut geeignetes Verfahren ist, um schlecht gestellte Optimalsteuerungsprobleme zu lösen. Mithilfe einer Regularitätsannahme werden Konvergenzraten für den Regularisierungsfehler hergeleitet. Diese Regularitätsannahme ist eine Kombination einer Source-Condition sowie einer struktuellen Annahme an die aktiven Mengen. Wenn zusätzlich Zustandsrestriktionen vorhanden sind, wird zur Lösung eine Kombination aus dem Augmented Lagrange Ansatz sowie einer Tikhonov-Regularisierung angewendet. Der zweite Teil dieser Arbeit betrachtet nicht-lineare partielle Differentialgleichungen. Dies erhöht die Komplexität des Optimalsteuerungsproblem signifikant, da der Lösungsoperator der partiellen Differentialgleichung nun nicht-linear ist. Zur Lösung wird eine Tikhonov-Regularisierung betrachtet. Mithilfe einer geeigneten Bedingung zweiter Ordnung wird dieses Verfahren analysiert. Auch hier werden Konvergenzraten mithilfe einer Regularitätsannahme bestimmt. Anschließend werden diese Methoden auf ein Funktional mit einem zusätzlichen \(L^1\)-Term angewendet. / Ill-posed optimization problems appear in a wide range of mathematical applications, and their numerical solution requires the use of appropriate regularization techniques. In order to understand these techniques, a thorough analysis is inevitable. The main subject of this book are quadratic optimal control problems subject to elliptic linear or semi-linear partial differential equations. Depending on the structure of the differential equation, different regularization techniques are employed, and their analysis leads to novel results such as rate of convergence estimates.

Diese Doktorarbeit behandelt die Beobachtung, daß Koregulationsmuster in Genexpressionsdaten häufig Funktionsstrukturen der Zelle widerspiegeln. Zunächst werden simulierte Genexpressionsdaten und Expressionsdaten aus Hefeexperimenten mit Hilfe von Independent Component Analysis (ICA) und verwandten Faktormodellen untersucht. In einem eher theoretischen Zugang werden anschließend Beziehungen zwischen den Expressionsmustern und der biologischen Funktion der Gene aus einem Optimalitätsprinzip hergeleitet. Lineare Faktormodelle, beispielsweise ICA, zerlegen Genexpressionsmatrizen in statistische Komponenten: die Koeffizienten bezüglich der Komponenten können als Profile von verborgenen Variablen ("Expressionsmoden") interpretiert werden, deren Werte zwischen den Proben variieren. Im Gegensatz zu Clustermethoden beschreiben solche Faktormodelle eine überlagerung biologischer Effekte und die individuellen Reaktionen der einzelnen Gene: jedes Genprofil besteht aus einer überlagerung der Expressionsmoden, die so die gemeinsamen Schwankungen vieler Gene erklären. Die linearen Komponenten werden blind, also ohne zusätzliches biologisches Wissen, aus den Daten geschätzt, und die meisten der hier betrachteten Methoden erlauben es, nahezu schwach besetzte Komponenten zu rekonstruieren. Beim Ausdünnen einer Komponente werden Gene sichtbar, die stark auf die entsprechende Mode reagieren, ganz in Analogie zu Genen, die differentielle Expression zwischen einzelnen Proben zeigen. Verschiedene Faktormodelle werden in dieser Arbeit auf simulierte und experimentelle Expressionsdaten angewendet. Bei der Simulation von Expressionsdaten wird angenommen, daß die Genexpression von einigen unbeobachteten Variablen ("biologischen Expressionsmoden") abhängt, die den Zellzustand beschreiben und deren Einfluss auf die Gene sich durch nichtlineare Funktionen, die sogenannten Genprogramme, beschreiben läßt. Besteht Hoffnung, solche Expressionsmoden durch blinde Datenanalyse wiederzufinden? Die Tests in dieser Arbeit zeigen, daß die Moden mit ICA recht zuverlässig gefunden werden, selbst wenn die Daten verrauscht oder leicht nichtlinear sind und die Anzahl der wahren und der geschätzten Komponenten nicht übereinstimmt. Regressionsmodelle werden an Profile einzelner Gene angepasst, um ihre Expression durch Expressionsmoden aus Faktormodellen oder durch die Expression einzelner Transkriptionsfaktoren zu erklären. Nichtlineare Genprogramme werden mit Hilfe von nichtlinearer ICA ermittelt: solche effektiven Genprogramme könnten zur Beschreibung von Genexpression in großen Zellmodellen Verwendung finden. ICA und verwandte Methoden werden auf Expressionsdaten aus Zellzyklusexperimenten angewendet: neben biologisch interpretierbaren Moden werden experimentelle Artefakte identifiziert, die vermutlich Hybridisierungseffekte oder eine Verunreinigung der Proben widerspiegeln. Für einzelne Komponenten wird gezeigt, daß die koregulierten Gene gemeinsame biologische Funktionen besitzen und daß die entsprechenden Enzyme bevorzugt in bestimmten Bereichen des Stoffwechselnetzes zu finden sind. Die Expressionmechanismen scheinen also - als Ergebnis der Evolution - Funktionsbeziehungen zwischen den Genen widerzuspiegeln: es wäre unter ökonomischen Gesichtspunkten vermutlich ineffizient, wenn kooperierende Gene nicht auch koreguliert würden. Um diese teleologische Vorstellung von Genexpression zu formalisieren, wird in dieser Arbeit ein mathematisches Modell zur Analyse der optimalen differentiellen Expression (ANODE) vorgeschlagen: das Modell beschreibt Regulatoren, also beispielsweise Gene oder Enzyme, und die von ihnen gesteuerten Variablen, zum Beispiel metabolische Flüsse. Das Systemverhalten wird durch eine Fitnessfunktion bewertet, die beispielsweise vom bestimmten Stoffwechselflüssen abhängt und die es zu optimieren gilt. Dieses Optimalitätsprinzip definiert eine optimale Reaktion der Regulatoren auf kleine äußeren Störungen. Zur Berechnung optimaler Regulationsmuster braucht das zu regulierende System nur teilweise bekannt zu sein: es genügt, sein mögliches Verhalten in der Nähe des optimalen Zustandes sowie die lokale Form der Fitnesslandschaft zu kennen. Die Methode wird auf zeitabhängige Störungen erweitert: um die Antwort von Stoffwechselsystemen auf kleine oszillatorische Störungen zu beschreiben, werden frequenzabhängige Kontrollkoeffizienten definiert und durch Summations- und Konnektivitätstheoreme charakterisiert. Um die vorhergesagte Beziehung zwischen Expression und Funktion zu prüfen, werden Kontrollkoeffizienten für ein großes Stoffwechselnetz simuliert, und ihre statistischen Eigenschaften werden untersucht: die Struktur der Kontrollkoeffizientenmatrix bildet die Netztopologie ab, das bedeutet, chemische Reaktionen haben gewöhnlich einen geringen Einfluss auf weit entfernte Teile des Netzes. Außerdem hängen die Kontrollkoeffizienten innerhalb eines Teilnetzes nur schwach von der Modellierung des umgebenden Netzes ab. Verschiedene plausible Annahmen über sinnvolle Expressionsmuster lassen sich formal aus dem Optimalitätsprinzip herleiten: das Hauptergebnis ist eine allgemeine Beziehung zwischen dem Verhalten und der biologischen Funktion von Regulatoren, aus der sich zum Beispiel die Koregulation von Enzymen in Komplexen oder Funktionsmodulen ergibt. Die Funktionen der Gene werden in diesem Zusammenhang durch ihre linearen Einflüsse (die sogenannten Responsekoeffizienten) auf fitnessrelevante Zellvariable beschrieben. Für Stoffwechselenzyme werden aus den Theoremen der metabolischen Kontrolltheorie Summenregeln hergeleitet, die die Expressionsmuster mit der Struktur des Stoffwechselnetzes verknüpfen. Weitere Vorhersagen betreffen eine symmetrische Kompensation von Gendeletionen und eine Beziehung zwischen Genexpression und dem Fitnessverlust aufgrund von Deletionen. Wenn die optimale Steuerung durch eine Rückkopplung zwischen Zellvariablen und den Regulatoren verwirklicht ist, dann spiegeln sich funktionale Beziehungen auch in den Rückkopplungskoeffizienten wider. Daher ist zu erwarten, daß Gene mit ähnlicher Funktion durch Eingangssignale aus denselben Signalwegen gesteuert werden. Das Modell der optimalen Steuerung sagt voraus, daß Expressionsprofile aus Linearkombinationen von Responsekoeffizientenprofilen bestehen: Tests mit experimentellen Expressionsdaten und simulierten Kontrollkoeffizienten stützen diese Hypothese, und die gemeinsamen Komponenten, die aus diesen beiden Arten von Daten geschätzt werden, liefern ein anschauliches Bild der Stochwechselvorgänge, die zur Anpassung an unterschiedliche Umgebungen notwendig sind. Alles in allem werden in dieser Arbeit empirische Beziehungen zwischen der Expression and der Funktion von Genen bestätigt. Darüber hinaus werden solche Beziehungen aus theorischen Gründen vorhergesagt. Ein Hauptziel ist es, teleologische Aussagen über Genexpression auf explizite Annahmen zurückzuführen und dadurch klarer zu formulieren, und so einen theoretischen Rahmen für die Integration von Expressionsdaten und Funktionsannotationen zu liefern. Während andere Autoren die Expression mit Funktionskategorien der Gene oder topologisch definierten Stoffwechselwegen verglichen haben, schlage ich vor, die Funktionen von Genen durch ihre Responsekoeffizienten auszudrücken. Als ein Hauptergebnis dieser Arbeit werden allgemeine Beziehungen zwischen der Funktion, der optimalen Expression und dem Programm eines Gens vorhergesagt. Soweit die Optimalitätsannahme gilt, rechtfertigt das Modell die Verwendung von Expressionsdaten zur Funktionsannotation und zur Rekonstruktion von Stoffwechselwegen und liefert außerdem eine funktionsbezogene Interpretation für die linearen Komponenten in Expressionsdaten. Die Methoden aus dieser Arbeit sind nicht auf Genexpressionsdaten beschränkt: die Faktormodelle lassen sich auch auf Protein- und Metabolitdaten anwenden, und das Optimalitätsprinzip könnte ebenfalls auf andere Steuerungsmechanismen angewendet werden, beispielsweise auf die allosterische Steuerung von Enzymen. / This thesis is concerned with the observation that coregulation patterns in gene expression data often reflect functional structures of the cell. First, simulated gene expression data and expression data from yeast experiments are studied with independent component analysis (ICA) and with related factor models. Then, in a more theoretical approach, relations between gene expression patterns and the biological function of the genes are derived from an optimality principle. Linear factor models such as ICA decompose gene expression matrices into statistical components. The coefficients with respect to the components can be interpreted as profiles of hidden variables (called "expression modes") that assume different values in the different samples. In contrast to clusterings, such factor models account for a superposition of effects and for individual responses of the different genes: each gene profile consists of a superposition of the expression modes, which thereby account for the common variation of many genes. The components are estimated blindly from the data, that is, without further biological knowledge, and most of the methods considered here can reconstruct almost sparse components. Thresholding a component reveals genes that respond strongly to the corresponding mode, in comparison to genes showing differential expression among individual samples. In this work, different factor models are applied to simulated and experimental expression data. To simulate expression data, it is assumed that gene expression depends on several unobserved variables ("biological expression modes") which characterise the cell state and that the genes respond to them according to nonlinear functions called "gene programs". Is there a chance to reconstruct such expression modes with a blind data analysis? The tests in this work show that the modes can be found with ICA even if the data are noisy or weakly nonlinear, or if the numbers of true and estimated components do not match. Regression models are fitted to the profiles of single genes to explain their expression by expression modes from factor models or by the expression of single transcription factors. Nonlinear gene programs are estimated by nonlinear ICA: such effective gene programs may be used for describing gene expression in large cell models. ICA and similar methods are applied to expression data from cell-cycle experiments: besides biologically interpretable modes, experimental artefacts, probably caused by hybridisation effects and contamination of the samples, are identified. It is shown for single components that the coregulated genes share biological functions and the corresponding enzymes are concentrated in particular regions of the metabolic network. Thus the expression machinery seems to portray - as an outcome of evolution - functional relationships between the genes: regarding the economy of resources, it would probably be inefficient if cooperating genes were not coregulated. To formalise this teleological view on gene expression, a mathematical model for the analysis of optimal differential expression (ANODE) is proposed in this work: the model describes regulators, such as genes or enzymes, and output variables, such as metabolic fluxes. The system´s behaviour is evaluated by a fitness function, which, for instance, rates some of the metabolic fluxes in the cell and which is supposed to be optimised. This optimality principle defines an optimal response of regulators to small external perturbations. For calculating the optimal regulation patterns, the system to be controlled needs to be known only partially: it suffices to predefine its possible behaviour around the optimal state and the local shape of the fitness function. The method is extended to time-dependent perturbations: to describe the response of metabolic systems to small oscillatory perturbations, frequency-dependent control coefficients are defined and characterised by summation and connectivity theorems. For testing the predicted relation between expression and function, control coefficients are simulated for a large-scale metabolic network and their statistical properties are studied: the structure of the control coefficients matrix portrays the network topology, that is, chemical reactions tend to have little control on distant parts of the network. Furthermore, control coefficients within subnetworks depend only weakly on the modelling of the surrounding network. Several plausible assumptions about appropriate expression patterns can be formally derived from the optimality principle: the main result is a general relation between the behaviour of regulators and their biological functions, which implies, for example, the coregulation of enzymes acting in complexes or functional modules. In this context, the functions of genes are quantified by their linear influences (called ``response coefficients'') on fitness-relevant cell variables. For enzymes controlling metabolism, the theorems of metabolic control theory lead to sum rules that relate the expression patterns to the structure of the metabolic network. Further predictions concern a symmetric compensation for gene deletions and a relation between gene expression and the fitness loss caused by gene deletions. If optimal regulation is realised by feedback signals between the cell variables and the regulators, then functional relations are also portrayed in the linear feedback coefficients, so genes of similar function may be expected to share inputs from the same signalling cascades. According to the model of optimal regulation, expression profiles are linear combinations of response coefficient profiles: tests with experimental expression profiles and simulated control coefficients support this hypothesis, and the common components which are estimated from both kinds of data provide a vivid picture of the metabolic adaptations that are required in different environments. To summarise, empirical relations between gene expression and function have been confirmed in this work. Furthermore, such relations have been predicted on theoretical grounds. A main aim is to clarify teleological assertions about gene expression by deriving them from explicit assumptions, and thus to provide a theoretical framework for the integration of expression data and functional annotations. While other authors have compared expression to functional gene categories or topologically defined metabolic pathways, I propose to relate it to the response coefficients. A main result of this work is that general relations are predicted between a gene's function, its optimal expression behaviour, and its regulatory program. Where the assumption of optimality is valid, the model justifies the use of expression data for functional annotation and pathway reconstruction, and it provides a function-related interpretation for the linear components behind expression data. The methods from this work are not limited to gene expression data: the factor models are applicable to protein and metabolite data as well, and the optimality principle may also apply to other regulatory mechanisms, such as the allosteric control of enzymes.

In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.

The boom systems of mobile cranes and aerial platform vehicles are driven by hydraulic systems, to be specified, valve-controlled hydraulic cylinders. This hydraulic actuated boom system can accomplish the tasks such as lifting heavy loads or carrying personal to high position, by the design of a long boom structure. In practice, the boom structure is designed as light and slender as possible to control the structure self-weight. However, such structure is quite flexible and can be easily stimulated by the loads, including the driving force or torque from the hydraulic system. Our research focuses on trajectory planning for hydraulic actuated boom where both hydraulic driven system and boom structure deformation are considered. In this paper, the hydraulic actuated boom system is formulated as a port-Hamiltonian system which is a proper modelling method for multi-domain system. The problems of trajectory optimization and vibration control are formulated as optimal control problem based on port-Hamiltonian model and this procedure is tested on a model of hydraulic cylinder. A reasonable result is solved with the selected cost function and inputs.

Die vorliegende Doktorarbeit befasst sich mit der optimalen Steuerung von einem Cahn–Hilliard–Navier–Stokes-System mit variablen Flüssigkeitsdichten. Dabei konzentriert sie sich auf das Doppelhindernispotential, was zu einem optimalen Steuerungsproblem einer Gruppe von gekoppelten Systemen, welche eine Variationsungleichung vierter Ordnung sowie eine Navier–Stokes-Gleichung beinhalten, führt. Eine geeignete Zeitdiskretisierung wird präsentiert und zugehörige Energieabschätzungen werden bewiesen. Die Existenz von Lösungen zum primalen System und von optimalen Steuerungen für das ursprüngliche Problem sowie für eine Gruppe von regularisierten Problemen wird etabliert. Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für die regularisierten Probleme werden hergeleitet. Mittels eines Grenzübergangs in Bezug auf den Regularisierungsparameter werden Stationaritätsbedingungen für das ursprüngliche Problem etabliert, welche einer Form von C-Stationarität im Funktionenraum entsprechen. Weiterhin wird ein numerischer Lösungsalgorithmus für das Steuerungsproblem basierend auf einer Strafmethode entwickelt, welche die Moreau–Yosida-artigen Approximationen des Doppelhindernispotentials einschließt. In diesem Zusammenhang wird ein dual-gewichteter Residuenansatz für zielorientierte adaptive finite Elemente präsentiert, welcher auf dem Konzept der C-Stationarität beruht. Die numerische Realisierung des adaptiven Konzepts und entsprechende numerische Testergebnisse werden beschrieben. Die Lipschitzstetigkeit des Steuerungs-Zustandsoperators des zugehörigen instantanen Steuerungsproblems wird bewiesen und dessen Richtungsableitung wird charakterisiert. Starke Stationaritätsbedingungen für dieses Problem werden durch die Anwendung einer Technick von Mignot und Puel hergeleitet. Basierend auf der primalen Form der Bouligard-Ableitung wird ein impliziter numerischer Löser entwickelt, dessen Implentierung erläutert und anhand von numerischen Resultaten illustriert wird. / This thesis is concerned with the optimal control of a Cahn–Hilliard–Navier–Stokes system with variable fluid densities. It focuses on the double-obstacle potential, which yields an optimal control problem for a family of coupled systems in each time instant of a variational inequality of fourth order and the Navier–Stokes equation. A suitable time-discretization is presented and associated energy estimates are proven. The existence of solutions to the primal system and of optimal controls is established for the original problem as well as for a family of regularized problems. The consistency of these approximations is shown and first order optimality conditions for the regularized problems are derived. Through a limit process with respect to the regularization parameter, a stationarity system for the original problem is established, which corresponds to a function space version of ε-almost C-stationarity. Moreover, a numerical solution algorithm for the optimal control problem is developed based on a penalization method involving the Moreau–Yosida type approximations of the double-obstacle potential. A dual-weighted residual approach for goal-oriented adaptive finite elements is presented, which is based on the concept of C-stationarity. The overall error representation depends on dual weighted primal residuals and vice versa, supplemented by additional terms corresponding to the complementarity mismatch. The numerical realization of the adaptive concept is described and a report on numerical tests is provided. The Lipschitz continuity of the control-to-state operator of the corresponding instantaneous control problem is verified and its directional derivative is characterized. Strong stationarity conditions for the instantaneous control problem are derived. Utilizing the primal notion of B-differentiability, a bundle-free implicit programming method is developed. Details on the numerical implementation are given and numerical results are included.

Diese Dissertation analysiert das optimale Zusammenspiel dynamischer Preissetzung, dynamischer Werbung und Bestandsmanagement. Wir betrachten verschiedene Optimierungsprobleme für einen monopolistischen Händler bei gegebener zeitabhängiger deterministischer Nachfrage. In Kapitel 2 erweitern wir das Modell von Rajan et al. (1992). Der Händler darf einen dynamischen Preis, eine dynamische Werberate und die Lagergröße bei fester Verkaufsdauer wählen, so dass der Barwert von Umsatz minus Lager-, Einkaufs- und (nichtlinearen) Werbekosten maximiert wird; zusätzlich zerfällt der Lagerbestand mit exponentieller Rate. Wir ermitteln die optimale Preis-Werbe-Steuerung und die optimale Lagergröße und betrachten auch semi-statische Situationen. Wir führen eine Sensitivitätsanalyse im Hinblick auf den Einfluss der Modellparameter auf die optimalen Ergebnisse durch und vergleichen die Ergebnisse des dynamischen Modells mit denen der semi-statischen Modelle. In Kapitel 3 interpretieren wir den Verkaufsprozess als gesteuerten Diffusionsprozess eines neuen Produktes und die Lagergröße als unerschlossenen Marktanteil. Der Anfangszustand ist exogen gegeben und die Nachfrage hängt zusätzlich vom gegenwärtigen Zustand des Systems ab. Ein Zerfall des Lagerbestandes und alle Kosten bis auf Werbekosten sind ausgenommen. Anders als in Helmes et al. (2013) leiten wir die optimale Steuerung mithilfe des Pontrjaginschen Maximumprinzips her. Als Anwendung betrachten wir das Modell von von Bertalanffy. In Kapitel 4 erweitern wir die Analyse von einperiodigen Modellen auf langfristige Modelle. Die Länge des Verkaufszyklus und die Lagergröße sind Entscheidungsvariablen, wobei die optimalen Steuerungen aus Kapitel 2 bzw. Kapitel 3 während eines Zyklus angewandt werden. Existenzbedingungen für ein optimales Paar aus Zykluslänge und Lagergröße werden hergeleitet. Wir analysieren verschiedene Anwendungs- und Illustrationsbeispiele und verifizieren Strukturaussagen der optimalen Entscheidungsgrößen. / This dissertation analyzes the optimal coordination of dynamic pricing, dynamic advertising, and inventory management. We consider different optimization problems for a monopolistic retailer who faces a time-dependent deterministic demand. In Chapter 2, we generalize the model of Rajan et al. (1992). The retailer is allowed to choose a dynamic price, a dynamic advertising rate, and the inventory capacity for a sales period of fixed length so that the present value of revenue minus inventory, purchasing and (nonlinear) advertising costs is maximized; in addition, the inventory deteriorates at an exponential rate. We derive the optimal dynamic price-advertising control and the optimal capacity and also consider partially static cases. For the optimally controlled dynamic model we carry out a sensitivity analysis with respect to the model parameters and we compare the results of the dynamic model with those of the partially static models. In Chapter 3, we interpret the sales process as the controlled adoption process of a new product and the inventory capacity as untapped market share. The initial state is assumed to be exogenously given and the demand depends on the current state of the system. We exclude, however, deterioration effects and any other costs but the cost of advertising. We derive the optimal controls using a different technique than Helmes et al. (2013) - we apply Pontryagin’s maximum principle. As an interesting application we consider the controlled von Bertalanffy model. In Chapter 4, we extend the analysis of one-period models to multi-period and longterm average models. Assuming that the optimal controls derived in Chapter 2 and Chapter 3 are applied throughout a cycle, we treat the cycle length and the capacity as decision variables. We derive conditions that ensure the existence of an optimal pair of cycle length and capacity. Various examples and illustrations are given, and structural properties of the optimal pair are verified.

Die Arbeit abstrahiert bekannte Konzepte der endlichdimensionalen Optimierung im Hinblick auf deren Anwendung in Banachräumen. Hierfür werden zunächst grundlegende Elemente der Funktionalanalysis wie schwache Konvergenz, Dualräume und Reflexivität vorgestellt. Anschließend erfolgt eine kurze Einführung in die Thematik der Fréchet-Differenzierbarkeit und eine Abstraktion des Begriffs der partiellen Ordnungsrelation in normierten Räumen. Nach der Formulierung eines allgemeinen Existenzsatzes für globale Optimallösungen von abstrakten Optimierungsaufgaben werden notwendige Optimalitätsbedingungen vom Karush-Kuhn-Tucker-Typ hergeleitet. Abschließend wird eine hinreichende Optimalitätsbedingung vom Karush-Kuhn-Tucker-Typ unter verallgemeinerten Konvexitätsvoraussetzungen verifiziert.

It is well-known that the solution of a so-called singularly perturbed differential equation exhibits layers. These are small regions in the domain where the solution changes drastically. These layers deteriorate the convergence of standard numerical algorithms, such as the finite element method on a uniform mesh. In the past many approaches were developed to overcome this difficulty. In this context it was very helpful to understand the structure of the solution - especially to know where the layers can occur. Therefore, we have a lot of analysis in the literature concerning the properties of solutions of such problems. Nevertheless, this field is far from being understood conclusively. More recently, there is an increasing interest in the numerics of optimal control problems subject to a singularly perturbed convection-diffusion equation and box constraints for the control. However, it is not much known about the solutions of such optimal control problems. The proposed solution methods are based on the experience one has from scalar singularly perturbed differential equations, but so far, the analysis presented does not use the structure of the solution and in fact, the provided bounds are rather meaningless for solutions which exhibit boundary layers, since these bounds scale like epsilon^(-1.5) as epsilon converges to 0. In this thesis we strive to prove bounds for the solution and its derivatives of the optimal control problem. These bounds show that there is an additional layer that is weaker than the layers one expects knowing the results for scalar differential equation problems, but that weak layer deteriorates the convergence of the proposed methods. In Chapter 1 and 2 we discuss the optimal control problem for the one-dimensional case. We consider the case without control constraints and the case with control constraints separately. For the case without control constraints we develop a method to prove bounds for arbitrary derivatives of the solution, given the data is smooth enough. For the latter case we prove bounds for the derivatives up to the second order. Subsequently, we discuss several discretization methods. In this context we use special Shishkin meshes. These meshes are piecewise equidistant, but have a very fine subdivision in the region of the layers. Additionally, we consider different ways of discretizing the control constraints. The first one enforces the compliance of the constraints everywhere and the other one enforces it only in the mesh nodes. For each proposed algorithm we prove convergence estimates that are independent of the parameter epsilon. Hence, they are meaningful even for small values of epsilon. As a next step we turn to the two-dimensional case. To be able to adapt the proofs of Chapter 2 to this case we require bounds for the solution of the scalar differential equation problem for a right hand side f only in W^(1,infty). Although, a lot of results for this problem can be found in the literature but we can not apply any of them, because they require a smooth right hand side f in C^(2,alpha) for some alpha in (0,1). Therefore, we dedicate Chapter 3 to the analysis of the scalar differential equations problem only using a right hand side f that is not very smooth. In Chapter 4 we strive to prove bounds for the solution of the optimal control problem in the two dimensional case. The analysis for this problem is not complete. Especially, the characteristic layers induce subproblems that are not understood completely. Hence, we can not prove sharp bounds for all terms in the solution decomposition we construct. Nevertheless, we propose a solution method. Numerical results indicate an epsilon-independent convergence for the considered examples - although we are not able to prove this.

In dieser Arbeit wird eine Methode zur Leistungsoptimierung der Kolbenpfade von Stirling-Motoren entwickelt, die auf der Theorie der optimalen Steuerung beruht. Für die effiziente praktische Umsetzbarkeit ist dabei ein geringer numerischer Aufwand des eingesetzten thermodynamischen Modells entscheidend. In detaillierten Modellen von Stirling-Motoren resultiert ein Großteil des numerischen Aufwandes aus der Beschreibung des Regenerators, einem gasdurchströmten Kurzzeit-Wärmespeicher. Im ersten Teil der Arbeit wird der Fokus deshalb auf die Entwicklung eines effizienten Regeneratormodells gelegt. Hierbei wird ein neuartiger Ansatz gewählt, der sich aus der Perspektive der Endoreversiblen Thermodynamik ergibt: Der Regenerator wird als endoreversibles Teilsystem betrachtet, welches an zwei Kontaktpunkten durch irreversible Interaktionen mit den benachbarten Teilsystemen Gasteilchen, Entropie und Energie austauscht. Innere Irreversibilitäten des Regenerators werden als Entropiequellterme in die Modellierung einbezogen. Im zweiten Teil der Arbeit wird dann ein iterativer Optimierungsalgorithmus erarbeitet, der die Leistung von Stirling-Motoren unter periodischen Randbedingungen für eine vorgegebene Periodendauer maximieren kann. Der Algorithmus startet mit vorgegeben initialen Kolbenpfaden, die im Laufe der Iterationen graduell verschoben und so den optimalen Pfaden angenähert werden. Um diese graduelle Verschiebung zu bestimmen, muss in jedem Iterationsschritt neben dem Differentialgleichungssystem, das die Thermodynamik des Stirling-Motors beschreibt, ein konjugiertes Differentialgleichungssystem gelöst werden. Der erarbeitete Algorithmus nutzt dabei die Existenz eines Grenzzyklus des konjugierten Differentialgleichungssystems unter Zeitumkehr zu dessen Lösung für periodische Randbedingungen aus. Unter Verwendung des endoreversiblen Regeneratormodells wird mit diesem iterativen Optimierungsalgorithmus die Theorie der optimalen Steuerung erstmals für die Kolbenpfadoptimierung eines beispielhaften Stirling-Motors in α-Konfiguration eingesetzt. / In this thesis a method for power optimization of the piston paths of Stirling engines is developed, which is based on Optimal Control Theory. For the efficient practical feasibility of this task, low numerical effort of the utilized thermodynamic model is crucial. In detailed models of Stirling engines, a large part of the numerical effort results from the description of the regenerator, which is a short-time heat storage. Therefore, in the first part of this thesis the focus is on the development of an efficient regenerator model. Here, a novel ansatz is chosen which arises from the perspective of Endoreversible Thermodynamics: The regenerator is described as an endoreversible subsystem that has two contact points, at which it exchanges particles, entropy, and energy with the adjacent subsystems through irreversible interactions. Internal irreversibilities of the regenerator are included in the model as entropy source terms. In the second part of the thesis an iterative optimization algorithm is worked out, which can maximize the power output of Stirling engines under periodic boundary conditions for given cycle time. The algorithm starts with predefined initial piston paths, which are gradually shifted over the course of the iterations and thus approach the optimal paths. To determine this gradual shift, in every iteration not only the system of differential equations describing the thermodynamics of the Stirling engine needs to be solved, but also a conjugate system of differential equations. The algorithm here exploits the existence of a limit cycle of the conjugate system under time reversal to solve it for periodic boundary conditions. By means of the endoreversible regenerator model, with this iterative optimization algorithm Optimal Control Theory is applied for the first time to optimize the piston paths of an exemplary Stirling engine in α-configuration.

In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.