Führungsgetriebe die durch Servomotoren angetrieben werden, benötigen für definierte Stellungen des Abtriebsglieds eine programmierte Funktion (elektronische Kurvenscheibe). Diese leitet sich aus dem möglicherweise fehlerbehafteten kinematischen Modell des Getriebes ab (inverse Kinematik). Zur Verbesserung der Genauigkeit der Führungsbewegung wird ein Verfahren zur Justierung der Übertragungsfunktion auf Basis des Newton-Verfahrens unter Nutzung der Singulärwertzerlegung vorgestellt. Dabei werden die realen Getriebeabmessungen anhand einer Messung berechnet und werden anschließend korrigiert zur Anpassung der Übertragungsfunktion verwendet.

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. / Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. / Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Tensorformat vorgestellt und eingehend analysiert. Das hierarchische Format verwendet einen binären Baum, um den Tensorraum der Ordnung d mit einer geschachtelten Unterraumstruktur zu versehen. Der Speicheraufwand für diese Darstellung ist von der Größenordnung O(dnr + dr^3), wobei n den Speicheraufwand in den Ansatzräumen kennzeichnet und r ein Rangparameter ist, der durch die Dimensionen der geschachtelten Unterräume bestimmt wird. Das hierarchische Format umfasst verschiedene Standardformate zur Tensordarstellung wie das kanonische oder r-Term-Format und die Unterraum-/Tucker-Darstellung. Die in dieser Arbeit entwickelte zugehörige Arithmetik inklusive mehrerer Approximationsmethoden basiert auf stabilen Methoden der Linearen Algebra, insbesondere die Singulärwertzerlegung und die QR-Zerlegung sind von zentraler Bedeutung. Die rechnerische Komplexität ist hierbei O(dnr^2+dr^4). Die lineare Abhängigkeit von der Ordnung d des Tensorraumes ist hervorzuheben. Für die verschiedenen Approximationsmethoden, deren Effizienz und Effektivität für die Anwendbarkeit des neuen Formates entscheidend sind, werden qualitative und quantitative Fehlerabschätzungen gezeigt. Umfassende numerische Experimente mit einem Fokus auf den Approximationsmethoden bestätigen zum einen die theoretischen Resultate und belegen die Stärken der neuen Tensordarstellung, zeigen aber zum anderen auch weitere, eher überraschende positive Eigenschaften der mit FastHOSVD bezeichneten schnellsten Kürzungsmethode. / In this dissertation we present and a new format for the representation of tensors and analyse its properties. The hierarchical format uses a binary tree in order to define a hierarchical structure of nested subspaces in the tensor space of order d. The strorage requirements are O(dnr+dr^3) where n is determined by the storage requirements in the ansatz spaces and r is a rank parameter determined by the dimensions of the nested subspaces. The hierarchichal representation contains the standard representation like canonical or r-term representation and subspace or Tucker representation. The arithmetical operations that have been developed in this work, including several approximation methods, are based on stable Linear Alebra methods, especially the singular value decomposition (SVD) and the QR decomposition are of importance. The computational complexity is O(dnr^2+dr^4). The linear dependence from the order d of the tensor space is important. The approximation methods are one of the key ingredients for the applicability of the new format and we present qualitative and quantitative error estimates. Numerical experiments approve the theoretical results and show some additional, but unexpected positive aspects of the fastest method called FastHOSVD.

In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Tensorformat vorgestellt und eingehend analysiert. Das hierarchische Format verwendet einen binären Baum, um den Tensorraum der Ordnung d mit einer geschachtelten Unterraumstruktur zu versehen. Der Speicheraufwand für diese Darstellung ist von der Größenordnung O(dnr + dr^3), wobei n den Speicheraufwand in den Ansatzräumen kennzeichnet und r ein Rangparameter ist, der durch die Dimensionen der geschachtelten Unterräume bestimmt wird. Das hierarchische Format umfasst verschiedene Standardformate zur Tensordarstellung wie das kanonische oder r-Term-Format und die Unterraum-/Tucker-Darstellung. Die in dieser Arbeit entwickelte zugehörige Arithmetik inklusive mehrerer Approximationsmethoden basiert auf stabilen Methoden der Linearen Algebra, insbesondere die Singulärwertzerlegung und die QR-Zerlegung sind von zentraler Bedeutung. Die rechnerische Komplexität ist hierbei O(dnr^2+dr^4). Die lineare Abhängigkeit von der Ordnung d des Tensorraumes ist hervorzuheben. Für die verschiedenen Approximationsmethoden, deren Effizienz und Effektivität für die Anwendbarkeit des neuen Formates entscheidend sind, werden qualitative und quantitative Fehlerabschätzungen gezeigt. Umfassende numerische Experimente mit einem Fokus auf den Approximationsmethoden bestätigen zum einen die theoretischen Resultate und belegen die Stärken der neuen Tensordarstellung, zeigen aber zum anderen auch weitere, eher überraschende positive Eigenschaften der mit FastHOSVD bezeichneten schnellsten Kürzungsmethode. / In this dissertation we present and a new format for the representation of tensors and analyse its properties. The hierarchical format uses a binary tree in order to define a hierarchical structure of nested subspaces in the tensor space of order d. The strorage requirements are O(dnr+dr^3) where n is determined by the storage requirements in the ansatz spaces and r is a rank parameter determined by the dimensions of the nested subspaces. The hierarchichal representation contains the standard representation like canonical or r-term representation and subspace or Tucker representation. The arithmetical operations that have been developed in this work, including several approximation methods, are based on stable Linear Alebra methods, especially the singular value decomposition (SVD) and the QR decomposition are of importance. The computational complexity is O(dnr^2+dr^4). The linear dependence from the order d of the tensor space is important. The approximation methods are one of the key ingredients for the applicability of the new format and we present qualitative and quantitative error estimates. Numerical experiments approve the theoretical results and show some additional, but unexpected positive aspects of the fastest method called FastHOSVD.

Führungsgetriebe die durch Servomotoren angetrieben werden, benötigen für definierte Stellungen des Abtriebsglieds eine programmierte Funktion (elektronische Kurvenscheibe). Diese leitet sich aus dem möglicherweise fehlerbehafteten kinematischen Modell des Getriebes ab (inverse Kinematik). Zur Verbesserung der Genauigkeit der Führungsbewegung wird ein Verfahren zur Justierung der Übertragungsfunktion auf Basis des Newton-Verfahrens unter Nutzung der Singulärwertzerlegung vorgestellt. Dabei werden die realen Getriebeabmessungen anhand einer Messung berechnet und werden anschließend korrigiert zur Anpassung der Übertragungsfunktion verwendet.

Diese Projektarbeit beschäftigt sich mit dem Thema der Berechnung des Betriebsleermassenanteils im Flugzeugentwurf. Bekannte Berechnungsverfahren nach Torenbeek, Raymer, Marckwardt und Loftin werden auf Qualität und Aktualität untersucht und miteinander verglichen. Im Vordergrund steht dabei die Frage, ob eine genauere Methode zur Ermittlung des Betriebsleermassenanteils auf Basis neuer Statistiken gefunden werden kann. Neben der Entwicklung einer neuen Berechnungsmethode wird außerdem auf die Verwendung der Singulärwertzerlegung im Flugzeugbau verwiesen und deren Vor- und Nachteile bezüglich der Handhabung und Genauigkeit erläutert. Diese Ausarbeitung stützt sich auf eine aktuelle Zusammenstellung von Flugzeugparametern verschiedenster Passagiermaschinen, deren Anteil sich auf 65 % der gesamten fliegenden Weltflotte im Jahr 2016 beläuft. Die oben genannten Autoren liefern Gleichungen zur Abschätzung des Verhältnisses aus Betriebsleermasse zum maximalen Abfluggewicht. Diese Gleichungen haben bezogen auf die zugrunde liegenden Statistiken eine Abweichung von bis zu 10 %. Dies ist auf die Schlichtheit der Methoden zurückzuführen, da die Anzahl der verwendeten Parameter eingeschränkt ist. Es wurde im Rahmen dieses Projektes eine analytische Gleichung zur Abschätzung des Betriebsleermassenanteils ermittelt, die die folgenden Entwurfsparameter mit einbezieht: Schub-Gewichtsverhältnis, Flächenbelastung, Design-Reichweite, Nutzlast und Anzahl der Triebwerke. Im direkten Vergleich mit der Gleichung nach Loftin, verringert sich der relative Fehler der Abschätzung um 43 %. Erreicht wurde dies durch die Einbeziehung weiterer Entwurfsparameter und deren optimaler rechnerischer Verknüpfung. Dabei wurden nur die Flugzeugparameter mit einbezogen, die zum einen bereits in der Dimensionierungsphase der Entwicklung bekannt sind, und zum anderen einen kausalen Zusammenhang zum Betriebsleermassenanteil darstellen. Die neue Methode überragt die Genauigkeit der klassischen Berechnungsverfahren und reduziert dadurch bereits im frühen Entwurfsstadium die Gefahr einer fehlerhaften Massenabschätzung. Im weiteren Verlauf des Projekts wird die Nutzung und der Anwendungsbereich der Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition, SVD) im Flugzeugbau betrachtet. Die Singulärwertzerlegung ist ein mathematisches Verfahren das dazu verwendet wird, mit wenigen bekannten Eingangsparametern auf alle Parameter eines Modells zu schließen. Dadurch ist es möglich eine schnelle Abschätzung eines komplexen Designs zu erstellen, auf der Basis von einer begrenzten Auswahl von bekannten Eingangsgrößen. Es hat sich herausgestellt, dass der relative Fehler des Betriebsleermassenanteils unter Verwendung der SVD auf dem gleichen Niveau der bisher bekannten Berechnungsverfahren liegt und somit keinen Vorteil in Bezug auf die Genauigkeit des Ergebnisses mit sich bringt.

The present thesis considers the problem of reconstructing a function f that is defined on the d-dimensional unit sphere from its mean values along hyperplane sections. In case of the two-dimensional sphere, these plane sections are circles. In many tomographic applications, however, only limited data is available. Therefore, one is interested in the reconstruction of the function f from its mean values with respect to only some subfamily of all hyperplane sections of the sphere. Compared with the full data case, the limited data problem is more challenging and raises several questions. The first one is the injectivity, i.e., can any function be uniquely reconstructed from the available data? Further issues are the stability of the reconstruction, which is closely connected with a description of the range, as well as the demand for actual inversion methods or algorithms. We provide a detailed coverage and answers of these questions for different families of hyperplane sections of the sphere such as vertical slices, sections with hyperplanes through a common point and also incomplete great circles. Such reconstruction problems arise in various practical applications like Compton camera imaging, magnetic resonance imaging, photoacoustic tomography, Radar imaging or seismic imaging. Furthermore, we apply our findings about spherical means to the cone-beam transform and prove its singular value decomposition. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Rekonstruktion einer Funktion f, die auf der d-dimensionalen Einheitssphäre definiert ist, anhand ihrer Mittelwerte entlang von Schnitten mit Hyperebenen. Im Fall d=2 sind diese Schnitte genau die Kreise auf der Sphäre. In vielen tomografischen Anwendungen sind aber nur eingeschränkte Daten verfügbar. Deshalb besteht das Interesse an der Rekonstruktion der Funktion f nur anhand der Mittelwerte bestimmter Familien von Hyperebenen-Schnitten der Sphäre. Verglichen mit dem Fall vollständiger Daten birgt dieses Problem mehrere Herausforderungen und Fragen. Die erste ist die Injektivität, also können alle Funktionen anhand der gegebenen Daten eindeutig rekonstruiert werden? Weitere Punkte sind die die Frage nach der Stabilität der Rekonstruktion, welche eng mit einer Beschreibung der Bildmenge verbunden ist, sowie der praktische Bedarf an Rekonstruktionsmethoden und -algorithmen. Diese Arbeit gibt einen detaillierten Überblick und Antworten auf diese Fragen für verschiedene Familien von Hyperebenen-Schnitten, angefangen von vertikalen Schnitten über Schnitte mit Hyperebenen durch einen festen Punkt sowie Kreisbögen. Solche Rekonstruktionsprobleme treten in diversen Anwendungen auf wie der Bildgebung mittels Compton-Kamera, Magnetresonanztomografie, fotoakustischen Tomografie, Radar-Bildgebung sowie der Tomografie seismischer Wellen. Weiterhin nutzen wir unsere Ergebnisse über sphärische Mittelwerte, um eine Singulärwertzerlegung für die Kegelstrahltomografie zu zeigen.