Using the the dependently-typed programming language Agda, we formalise orders, with attention to the theory of Galois Connections, and showcase it by formalising a few results of the category of algebraic contexts with relational homomorphisms presented by Jipsen (2012) and Moshier (2013). We aim to exhibit an internal theory of Galois Connections and Closure operators where the ambient space need not have a notion of meets (intersections), which are the usual medium in presenting antisymmetry of partial orders. Instead we consider `symmetric quotients' as being the relational counterpart of propositional calculus' primitive connective: equivalence. We argue that it as a more natural primitive than meet --- especially its connection with certain proof heuristics regarding posets. Moreover, not only do we constrain ourselves to an unconventional set of primitive operators, but in fact we discard the familiar setting of relations and sets in favour of the more general setting of ordered categories with converse (OCCs) --- in fact, a large portion does not require identities and so semigroupoids may be used instead. / Thesis / Master of Science (MSc)

Représentation et raisonnement qualitatifs fonctionnent avec des relations non-numériques entre les objets d'un univers. Les formalismes généraux développés dans ce domaine sont basés sur différents types d'algèbres de relations, comme les algèbres de Tarski. Tous ces formalismes, qui sont appelés des calculs qualitatifs, partagent l'hypothèse implicite que l'univers est homogène, c'est-à-dire qu'il se compose d'objets de même nature. Toutefois, les objets de différents types peuvent aussi entretenir des relations. L'état de l'art du raisonnement qualitatif ne permet pas de combiner les calculs qualitatifs pour les différents types d'objets en un seul calcul.De nombreuses applications discriminent entre différents types d'objets. Par exemple, certains modèles spatiaux discriminent entre les régions, les lignes et les points, et différentes relations sont utilisées pour chaque type d'objets. Dans l'alignement d'ontologies, les calculs qualitatifs sont utiles pour exprimer des alignements entre un seul type d'entités, telles que des concepts ou des individus. Cependant, les relations entre les individus et les concepts, qui imposent des contraintes supplémentaires, ne sont pas exploitées.Cette thèse introduit la modularité dans les calculs qualitatifs et fournit une méthodologie pour la modélisation de calculs qualitatifs des univers hétérogènes. Notre contribution principale est un cadre basé sur une classe spéciale de schémas de partition que nous appelons modulaires. Pour un calcul qualitatif engendré par un schéma de partition modulaire, nous définissons une structure qui associe chaque symbole de relation avec un domaine et codomain abstrait à partir d'un treillis booléen de sortes. Un module d'un tel calcul qualitatif est un sous-calcul limité à une sorte donnée, qui est obtenu par une opération appelée relativisation à une sorte. D'un intérêt pratique plus grand est l'opération inverse, qui permet de combiner plusieurs calculs qualitatifs en un seul calcul. Nous définissons une opération appelée combinaison modulo liaison, qui combine deux ou plusieurs calculs qualitatifs sur différents univers, en fonction de quelques relations de liaison entre ces univers. Le cadre est suffisamment général pour soutenir la plupart des calculs spatio-temporels qualitatifs connus. / Qualitative representation and reasoning operate with non-numerical relations holding between objects of some universe. The general formalisms developed in this field are based on various kinds of algebras of relations, such as Tarskian relation algebras. All these formalisms, which are called qualitative calculi, share an implicit assumption that the universe is homogeneous, i.e., consists of objects of the same kind. However, objects of different kinds may also entertain relations. The state of the art of qualitative reasoning does not offer a combination operation of qualitative calculi for different kinds of objects into a single calculus.Many applications discriminate between different kinds of objects. For example, some spatial models discriminate between regions, lines and points, and different relations are used for each kind of objects. In ontology matching, qualitative calculi were shown useful for expressing alignments between only one kind of entities, such as concepts or individuals. However, relations between individuals and concepts, which impose additional constraints, are not exploited.This dissertation introduces modularity in qualitative calculi and provides a methodology for modeling qualitative calculi with heterogeneous universes. Our central contribution is a framework based on a special class of partition schemes which we call modular. For a qualitative calculus generated by a modular partition scheme, we define a structure that associates each relation symbol with an abstract domain and codomain from a Boolean lattice of sorts. A module of such a qualitative calculus is a sub-calculus restricted to a given sort, which is obtained through an operation called relativization to a sort. Of a greater practical interest is the opposite operation, which allows for combining several qualitative calculi into a single calculus. We define an operation called combination modulo glue, which combines two or more qualitative calculi over different universes, provided some glue relations between these universes. The framework is general enough to support most known qualitative spatio-temporal calculi.

Les algèbres de relations apparaissent naturellement dans de nombreux cadres, en informatique comme en mathématiques. Elles constituent en particulier un formalisme tout à fait adapté à la sémantique des programmes impératifs. Les algèbres de Kleene constituent un point de départ : ces algèbres jouissent de résultats de décidabilités très satisfaisants, et admettent une axiomatisation complète. L'objectif de cette thèse a été d'étendre les résultats connus sur les algèbres de Kleene à des extensions de celles-ci.Nous nous sommes tout d'abord intéressés à une extension connue : les algèbres de Kleene avec converse. La décidabilité de ces algèbres était déjà connue, mais l'algorithme prouvant ce résultat était trop compliqué pour être utilisé en pratique. Nous avons donné un algorithme plus simple, plus efficace, et dont la correction est plus facile à établir. Ceci nous a permis de placer ce problème dans la classe de complexité PSpace-complete.Nous avons ensuite étudié les allégories de Kleene. Sur cette extension, peu de résultats étaient connus. En suivant des résultats sur des algèbres proches, nous avons établi l'équivalence du problème d'égalité dans les allégories de Kleene à l'égalité de certains ensembles de graphes. Nous avons ensuite développé un modèle d'automate original (les automates de Petri), basé sur les réseaux de Petri, et avons établi l'équivalence de notre problème original avec le problème de comparaison de ces automates. Nous avons enfin développé un algorithme pour effectuer cette comparaison dans le cadre restreint des treillis de Kleene sans identité. Cet algorithme utilise un espace exponentiel. Néanmoins, nous avons pu établir que la comparaison d'automates de Petri dans ce cas est ExpSpace-complète. Enfin, nous nous sommes intéressés aux algèbres de Kleene Nominales. Nous avons réalisé que les descriptions existantes de ces algèbres n'étaient pas adaptées à la sémantique relationnelle des programmes. Nous les avons donc modifiées pour nos besoins, et ce faisant avons trouvé diverses variations naturelles de ce modèle. Nous avons donc étudié en détails et en Coq les ponts que l'on peut établir entre ces variantes, et entre le modèle “classique” et notre nouvelle version / Algebras of relations appear naturally in many contexts, in computer science as well as in mathematics. They constitute a framework well suited to the semantics of imperative programs. Kleene algebra are a starting point: these algebras enjoy very strong decidability properties, and a complete axiomatisation. The goal of this thesis was to export known results from Kleene algebra to some of its extensions. We first considered a known extension: Kleene algebras with converse. Decidability of these algebras was already known, but the algorithm witnessing this result was too complicated to be practical. We proposed a simpler algorithm, more efficient, and whose correctness is easier to establish. It allowed us to prove that this problem lies in the complexity class PSpace-complete.Then we studied Kleene allegories. Few results were known about this extension. Following results about closely related algebras, we established the equivalence between equality in Kleene allegories and equality of certain sets of graphs. We then developed an original automaton model (so-called Petri automata), based on Petri nets. We proved the equivalence between the original problem and comparing these automata. In the restricted setting of identity-free Kleene lattices, we also provided an algorithm performing this comparison. This algorithm uses exponential space. However, we proved that the problem of comparing Petri automata lies in the class ExpSpace-complete.Finally, we studied Nominal Kleene algebras. We realised that existing descriptions of these algebra were not suited to relational semantics of programming languages. We thus modified them accordingly, and doing so uncovered several natural variations of this model. We then studied formally the bridges one could build between these variations, and between the existing model and our new version of it. This study was conducted using the proof assistant Coq