Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

A colisão de buracos negros é uma das fontes mais importantes de ondas gravitacionais e, em geral, a emissão anisotrópica da radiação causa um recuo do objeto final. Este cenário já é conhecido há décadas, mas foi somente com o recente avanço na relatividade numérica que as velocidades finais dos objetos radiantes foram computadas com precisão. Os valores encontrados podem ser altos o suficiente para exercerem um importante papel no crescimento de buracos negros super massivos via coleção de galáxias e na abundância de núcleos galáticos ativos contendo buracos negros. Este é um autêntico efeito da não linearidade de Relatividade Geral e esta tese fornece uma nova metodologia estudar alguns aspectos da dinâmica da colisão de buracos negros. Consideramos o horizonte como uma tela canônica que codifica as informações da evolução temporal do espaço-tempo. Com esta hipótese, fenômenos como o anti-kick, isto é, uma súbita desaceleração do sistema antes de atingir a velocidade final, são explicado em termos da dissipação das deformações do horizonte. Estudamos primeiramente o Espaço-tempo de Robinson-Trautman. Uma das solução mais simples das equações de Einstein, esta métrica nos fornece um poderoso modelo para investigar tanto a perda de massa quanto o recuo do objeto final. Mostramos que, quando as configurações iniciais tem simetria especular, a massa do buraco negro remanescente e a energia irradiada são completamente determinadas pela condição inicial. Com isso, obtemos as expressões analíticas dos resultados numéricos obtidos anteriormente na literatura. Além disto, com o auxilio do método espectral de Galerkin, analisamos o regime não linear das equações envolvidas e verificamos que se pode estimar a velocidade de recuo final com boa precisão a partir de medidas da assimetria da condição inicial. Introduzimos na seqüência a curvatura efetiva como uma medida das deformações intrínsecas ao horizonte. Além de considerar as deformações gerais, ela também inclui as diferenças entre os hemisférios norte e sul. No espaço-tempo de Robinson-Trautman, essa quantidade se correlaciona de uma forma injetora com a velocidade final. Para superar algumas limitações dessa solução, aplicamos o mesmo procedimento nos resultados da simulação numérica de uma colisão head-on. Neste caso, a curvatura efetiva, está na realidade, correlacionada com a aceleração do sistema. Refinamentos e generalizações desta técnica são também discutidos e propostos para trabalhos futuros. / Colliding black holes are one of the most important sources of gravitational waves and the anisotropic emission of the radiation generally causes the recoil of the final hole. This scenario has been known for decades, but it is only thanks to the recent progress in numerical relativity that the final velocity have been accurately computed. The values found can be large enough to play an important role in the growth of supermassive black holes via mergers of galaxies and on the number of galaxies containing them. This is a genuine nonlinear effect of general relativity and this thesis provides a new methodology to study some features on the dynamics of the collision. We propose that the horizon is a canonical screen, which encodes he information of its surroundings. With this assumption, phenomena such as the anti-kick, namely the sudden deceleration before reaching the final velocity, are explained in terms of the dissipation of the horizons deformation. We first study the Robinson-Trautman spacetime. One of the simplest solutions of Einsteins equations, it provides us with a powerful toymodel to investigate both the mass loss of the system and the recoil of the final object. We show that, for the case of reflectionsymmetric initial configurations, the mass of the remnant black-hole and the total energy radiated away are completely determined by the initial data, allowing us to obtain analytical expressions for some numerical results that had appeared in the literature. Moreover, by using the Galerkin spectral method to analyze the non-linear regime of the equations involved, we found that the recoil velocity can be estimated with good accuracy from some symmetry measures of the initial data. Then we introduce the effective urvature as a measure of intrinsic deformations on the horizon. Not only does it account for overall deformation, but also for the differences on the north and south hemispheres. In the Robinson-Trautman spacetime, this quantity correlates in an injective way with the final velocity. To overcome some caveats of this solutions, we apply the same procedure to the results given by numerical simulations of a head-on collision. In the case, the effective curvature is actually correlated with the acceleration of the system. Further improvement and generalizations of this technic is also discussed and proposed for future work.

A colisão de buracos negros é uma das fontes mais importantes de ondas gravitacionais e, em geral, a emissão anisotrópica da radiação causa um recuo do objeto final. Este cenário já é conhecido há décadas, mas foi somente com o recente avanço na relatividade numérica que as velocidades finais dos objetos radiantes foram computadas com precisão. Os valores encontrados podem ser altos o suficiente para exercerem um importante papel no crescimento de buracos negros super massivos via coleção de galáxias e na abundância de núcleos galáticos ativos contendo buracos negros. Este é um autêntico efeito da não linearidade de Relatividade Geral e esta tese fornece uma nova metodologia estudar alguns aspectos da dinâmica da colisão de buracos negros. Consideramos o horizonte como uma tela canônica que codifica as informações da evolução temporal do espaço-tempo. Com esta hipótese, fenômenos como o anti-kick, isto é, uma súbita desaceleração do sistema antes de atingir a velocidade final, são explicado em termos da dissipação das deformações do horizonte. Estudamos primeiramente o Espaço-tempo de Robinson-Trautman. Uma das solução mais simples das equações de Einstein, esta métrica nos fornece um poderoso modelo para investigar tanto a perda de massa quanto o recuo do objeto final. Mostramos que, quando as configurações iniciais tem simetria especular, a massa do buraco negro remanescente e a energia irradiada são completamente determinadas pela condição inicial. Com isso, obtemos as expressões analíticas dos resultados numéricos obtidos anteriormente na literatura. Além disto, com o auxilio do método espectral de Galerkin, analisamos o regime não linear das equações envolvidas e verificamos que se pode estimar a velocidade de recuo final com boa precisão a partir de medidas da assimetria da condição inicial. Introduzimos na seqüência a curvatura efetiva como uma medida das deformações intrínsecas ao horizonte. Além de considerar as deformações gerais, ela também inclui as diferenças entre os hemisférios norte e sul. No espaço-tempo de Robinson-Trautman, essa quantidade se correlaciona de uma forma injetora com a velocidade final. Para superar algumas limitações dessa solução, aplicamos o mesmo procedimento nos resultados da simulação numérica de uma colisão head-on. Neste caso, a curvatura efetiva, está na realidade, correlacionada com a aceleração do sistema. Refinamentos e generalizações desta técnica são também discutidos e propostos para trabalhos futuros. / Colliding black holes are one of the most important sources of gravitational waves and the anisotropic emission of the radiation generally causes the recoil of the final hole. This scenario has been known for decades, but it is only thanks to the recent progress in numerical relativity that the final velocity have been accurately computed. The values found can be large enough to play an important role in the growth of supermassive black holes via mergers of galaxies and on the number of galaxies containing them. This is a genuine nonlinear effect of general relativity and this thesis provides a new methodology to study some features on the dynamics of the collision. We propose that the horizon is a canonical screen, which encodes he information of its surroundings. With this assumption, phenomena such as the anti-kick, namely the sudden deceleration before reaching the final velocity, are explained in terms of the dissipation of the horizons deformation. We first study the Robinson-Trautman spacetime. One of the simplest solutions of Einsteins equations, it provides us with a powerful toymodel to investigate both the mass loss of the system and the recoil of the final object. We show that, for the case of reflectionsymmetric initial configurations, the mass of the remnant black-hole and the total energy radiated away are completely determined by the initial data, allowing us to obtain analytical expressions for some numerical results that had appeared in the literature. Moreover, by using the Galerkin spectral method to analyze the non-linear regime of the equations involved, we found that the recoil velocity can be estimated with good accuracy from some symmetry measures of the initial data. Then we introduce the effective urvature as a measure of intrinsic deformations on the horizon. Not only does it account for overall deformation, but also for the differences on the north and south hemispheres. In the Robinson-Trautman spacetime, this quantity correlates in an injective way with the final velocity. To overcome some caveats of this solutions, we apply the same procedure to the results given by numerical simulations of a head-on collision. In the case, the effective curvature is actually correlated with the acceleration of the system. Further improvement and generalizations of this technic is also discussed and proposed for future work.