Orientador: Suzete Maria Silva Afonso / Banca: Ligia Laís Fêmina / Banca: Marta Cilene Gadotti / Resumo: O propósito deste trabalho é explorar os métodos numéricos de passo único, denominados métodos de Euler e Runge - Kutta, e os métodos de passos múltiplos, denominados métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moulton, para encontrar soluções aproximadas de problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias de primeira ordem / Abstract: The goal of this work is to explore the one-step numerical methods, called methods of Euler and Runge - Kutta, and the multistep numerical methods, called methods of Adams-Bashforth and Adams Moulton, for finding approximate solutions of initial value problems for first-order ordinary differential equations / Mestre

A maioria das máquinas e componentes mecânicos estão sujeitos a solicitações dinâmicas as quais podem ocasionar falhas por fadiga. Um dos métodos para a previsão de falhas por fadiga é a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE). Na MFLE existem diversos modelos que descrevem a propagação de uma trinca, com suas diferentes abordagens e concepções. De forma geral, distinguem-se os modelos de propagação de trinca para carregamentos com amplitude de tensão constante e variável. Dentre os modelos de amplitude de tensão constante destaca-se a Lei de Paris, que consiste de um Problema de Valor Inicial (PVI), sendo que sua solução, em poucos casos, é determinada de forma exata. Assim, o objetivo deste trabalho é propor uma nova metodologia para solucionar alguns modelos de propagação de trinca de amplitude de tensão constante, como os modelos de Paris-Erdogan, Forman, Walker, McEvily e Priddle sem a necessidade da utilização de métodos numéricos para a solução. Essa metodologia foi desenvolvida estabelecendo cotas, superior e inferior, que delimitam o comportamento das soluções dos modelos de propagação de trinca. Para isso, através da literatura, foram delimitados os modelos a serem avaliados com base em dois aspectos principais: modelos que incorporem em suas equações as regiões I a III da propagação de trinca, e modelos que levem em consideração parâmetros como a razão de tensão, a tenacidade à fratura e o fator intensidade de tensão inicial para propagação de trinca. Para verificação da precisão e eficácia da nova metodologia, foi calculado o desvio relativo entre as cotas e a solução numérica aproximada, utilizando o método de Runge-Kutta de 4a ordem (RK4), e observou-se que as cotas são válidas como forma de aproximação do comportamento da evolução da trinca para todos os modelos estudados. Também foi avaliado o desempenho da utilização das cotas em relação à solução pelo método RK4 através do tempo de computação, e foi observado que com a utilização das cotas, consegue-se um monitoramento dinâmico dos resultados. / Most machines and mechanical components are subject to dynamic loads that can lead to fatigue failures. One of the methods for the prediction of fatigue failures is the Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM). In the LEFM there are several models that describe the propagation of a crack, with their different approaches and conceptions. In general, a distinction is made between the crack propagation models under constant and variable amplitude load. One of the constant amplitude load models is the Paris law, consisting of an Initial Value Problem (IVP), whose solution, in a few cases, can be obtained in closed form. Thus, the objective of this work is to propose a new methodology to solve some models of crack propagation under constant amplitude load, as the models of Paris-Erdogan, Forman, Walker, McEvily and Priddle, without requiring the use of numerical methods for the solution. This methodology was developed by establishing upper and lower bounds that delimit the behavior of the solutions of the models of crack propagation. For that, through literature, were delimited the models to be assessed on the basis of two main aspects: models that incorporate in their equations the regions I to III of the crack propagation, and models that take into account parameters such as the stress ratio, fracture toughness and threshold stress intensity factor for crack propagation. For verification of the accuracy and effectiveness of the new methodology, the relative deviation between bounds and approximate numerical solution was calculated, using the Runge-Kutta 4th order (RK4), and it was observed that the bounds are valid as a way of obtaining approximate solutions to all models. The performance of the use of bounds regarding the RK4 method solution was also evaluated through the computation time.

A maioria das máquinas e componentes mecânicos estão sujeitos a solicitações dinâmicas as quais podem ocasionar falhas por fadiga. Um dos métodos para a previsão de falhas por fadiga é a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE). Na MFLE existem diversos modelos que descrevem a propagação de uma trinca, com suas diferentes abordagens e concepções. De forma geral, distinguem-se os modelos de propagação de trinca para carregamentos com amplitude de tensão constante e variável. Dentre os modelos de amplitude de tensão constante destaca-se a Lei de Paris, que consiste de um Problema de Valor Inicial (PVI), sendo que sua solução, em poucos casos, é determinada de forma exata. Assim, o objetivo deste trabalho é propor uma nova metodologia para solucionar alguns modelos de propagação de trinca de amplitude de tensão constante, como os modelos de Paris-Erdogan, Forman, Walker, McEvily e Priddle sem a necessidade da utilização de métodos numéricos para a solução. Essa metodologia foi desenvolvida estabelecendo cotas, superior e inferior, que delimitam o comportamento das soluções dos modelos de propagação de trinca. Para isso, através da literatura, foram delimitados os modelos a serem avaliados com base em dois aspectos principais: modelos que incorporem em suas equações as regiões I a III da propagação de trinca, e modelos que levem em consideração parâmetros como a razão de tensão, a tenacidade à fratura e o fator intensidade de tensão inicial para propagação de trinca. Para verificação da precisão e eficácia da nova metodologia, foi calculado o desvio relativo entre as cotas e a solução numérica aproximada, utilizando o método de Runge-Kutta de 4a ordem (RK4), e observou-se que as cotas são válidas como forma de aproximação do comportamento da evolução da trinca para todos os modelos estudados. Também foi avaliado o desempenho da utilização das cotas em relação à solução pelo método RK4 através do tempo de computação, e foi observado que com a utilização das cotas, consegue-se um monitoramento dinâmico dos resultados. / Most machines and mechanical components are subject to dynamic loads that can lead to fatigue failures. One of the methods for the prediction of fatigue failures is the Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM). In the LEFM there are several models that describe the propagation of a crack, with their different approaches and conceptions. In general, a distinction is made between the crack propagation models under constant and variable amplitude load. One of the constant amplitude load models is the Paris law, consisting of an Initial Value Problem (IVP), whose solution, in a few cases, can be obtained in closed form. Thus, the objective of this work is to propose a new methodology to solve some models of crack propagation under constant amplitude load, as the models of Paris-Erdogan, Forman, Walker, McEvily and Priddle, without requiring the use of numerical methods for the solution. This methodology was developed by establishing upper and lower bounds that delimit the behavior of the solutions of the models of crack propagation. For that, through literature, were delimited the models to be assessed on the basis of two main aspects: models that incorporate in their equations the regions I to III of the crack propagation, and models that take into account parameters such as the stress ratio, fracture toughness and threshold stress intensity factor for crack propagation. For verification of the accuracy and effectiveness of the new methodology, the relative deviation between bounds and approximate numerical solution was calculated, using the Runge-Kutta 4th order (RK4), and it was observed that the bounds are valid as a way of obtaining approximate solutions to all models. The performance of the use of bounds regarding the RK4 method solution was also evaluated through the computation time.

Orientadores: Maicon Ribeiro Correa, Eduardo Cardoso de Abreu / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-27T11:41:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_FelipeAugustoGuedesda_M.pdf: 1119470 bytes, checksum: eeabeb98750e53492e778b99174c0887 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: O foco do presente trabalho consiste no estudo computacional de métodos de Galerkin Descontínuo para aproximação numérica de problemas diferenciais de natureza hiperbólica, com enfoque em esquemas explícitos e no uso de aproximações do tipo Runge-Kutta no tempo para aproximação de problemas lineares e não-lineares. Especificamente, serão exploradas as boas propriedades de estabilidade local, no tempo, dos métodos da classe Runge-Kutta em conjunto com funções de fluxo numérico estáveis e com o uso de limitadores de inclinação, com o objetivo de desenvolver métodos Galerkin Descontínuo de alta ordem capazes de obter uma boa resolução de gradientes abruptos e de soluções descontínuas, sem oscilações espúrias, em problemas hiperbólicos. Uma breve discussão sobre esquemas de volumes finitos centrais de alta ordem é apresentada, onde são introduzidos importantes conceitos a serem utilizados na construção dos métodos de Galerkin Descontínuo. Um conjunto representativo de simulações numéricas de modelos hiperbólicos lineares e não-lineares é apresentado e discutido para avaliar a qualidade das aproximações obtidas em uma comparação direta com outras aproximações precisas de volumes finitos ou com soluções exatas, sempre que possível / Abstract: The focus of this work is the computational study of some Discontinuous Galerkin methods for the numerical approximation of first order hyperbolic differential problems, focusing on explicit schemes with discretization based on Runge-Kutta type methods in time, in problems with linear and nonlinear fluxes. Specifically, the good local stability properties of Runge-Kutta methods are combined with stable numerical flux functions and slope limiters in order to propose new higher-order Discontinuous Galerkin methods that achieve high resolution of abrupt gradients and of discontinuous solutions, without spurious oscillations in numerical solutions. Furthermore, a brief discussion about higher-order finite volume central schemes is presented in order to introduce some important concepts to be used in the construction of the DG methods. A representative set of numerical simulations for linear and nonlinear hyperbolic models is presented and discussed, in order to check the accuracy of the obtained Discontinuous Galerkin solutions by comparing their results with those of existing well-established finite volume numerical methods and exact solutions / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestre em Matemática Aplicada