Die Frage nach dem Verstäandnis der Topologie symplektischer Mannigfaltigkeiten erhielt immer größere Aufmerksamkeit, insbesondere seit den Arbeiten von A. Weinstein und V. Arnold. Ein bewährtes Mittel ist dabei die Theorie der Gromov-Witten-Invarianten. Eine Gromov-Witten-Invariante zählt Schnitte von rationalen Zyklen mit Modulräumen J-holomorpher Kurven, die eine fixierte Homologieklasse repräsentieren, für eine zahme fast komplexe Struktur. Allerdings ist es im Allgemeinen schwierig, solche Schnittzahlen zu definieren, ohne zusätzliche Annahmen an die symplektische Mannigfaltigkeit zu treffen, da mehrfach überlagerte J-holomorphe Kurven mit negativer Chernzahl vorkommen können. Die vorliegende Dissertation folgt einem alternativen Ansatz zur Definition von Gromov-Witten-Invarianten, der von K. Cieliebak und K. Mohnke eingeführt wurde. Dieser Ansatz liefert für jede fixierte Homologieklasse einen Pseudozykel für jede geschlossene glatte Mannigfaltigkeit mit einer rationalen symplektischen Form. Wir erweitern diesen Ansatz in der vorliegenden Arbeit für eine beliebige symplektische Form. Wie bereits in der ursprünglichen Arbeit betrachten wir nur den Fall holomorpher Sphären. Wir zeigen, dass für jede Klasse der zweiten Koholomogie eine offene Umgebung existiert, so dass für zwei beliebige rationale symplektische Formen, desser Klassen in der gewählten Umgebung liegen, die dazugehörigen Pseudozykel rational kobordant sind. Der Beweis basiert auf einer Modifikation der Argumente des Ansatzes von Cieliebak und Mohnke für den Fall von zwei sich transversal schneidenden Hyperflächen, die jeweils zu verschiedenen symplektischen Formen gehören. / The question of understanding the topology of symplectic manifolds has received great attention since the work of A. Weinstein and V. Arnold. One of the established tools is the theory of Gromov-Witten invariants. A Gromov-Witten invariant counts intersections of rational cycles with the moduli space of J-holomorphic curves representing a fixed class for a tame almost complex structure. However, without imposing additional assumptions on the symplectic manifold such counts are difficult to define in general due to the occurence of multiply covered J-holomorphic curves with negative Chern numbers. This thesis deals with an alternative approach to Gromov-Witten invariants introduced by K. Cieliebak and K. Mohnke. Their approach delivers a pseudocycle for any closed symplectic manfold equipped with a rational symplectic form. Here this approach is extended to the case of an arbitrary symplectic form on a closed symplectic manifold.As in the original work we consider only the case of holomorphic spheres. We show that for any second cohomology class there exists an open neighbourhood, such that for any two rational symplectic forms, whose cohomolgy classes are contained in this neighbourhood, the corresponding pseudocycles are rationally cobordant. The proof is based on an adaptation of the arguments from the original Cieliebak-Mohnke approach to a more general situation - presence of two transversely intersecting hypersurfaces coming from two different symplectic forms.

Es wird die Twistorgleichung auf Lorentz-Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht. Bekanntermaßen existieren Lösungen der Twistorgleichung auf den pp-Mannigfaltigkeiten, den Lorentz-Einstein-Sasaki Mannigfaltigkeiten und den Fefferman-Räumen. Es wird gezeigt, dass in den kleinen Dimensionen 3,4 und 5 Twistor-Spinoren ohne 'Singularitäten' nur für diese genannten Lorentz-Geometrien vorkommen. Von besonderem Interesse sind Lösungen der Twistorgleichung mit Nullstellen. Es wird die Gestalt der Nullstellenmenge von konformen Vektorfeldern und Twistor-Spinoren beschrieben. Weiterhin wird die Twistorgleichung im Kontext der konformen Cartan-Geometrie formuliert. Als Anwendung werden konform-flache semi-Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten mit Twistor-Spinoren unter Zuhilfenahme der Holonomiedarstellung der ersten Fundamentalgruppe charakterisiert. Abschließend wird eine Anwendung des Twistorraumes einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit in der Flächentheorie diskutiert. Dabei zeigen wir eine Korrespondenz zwischen holomorphen Kurven im Twistorraum und raumartig immergierten Flächen mit lichtartigem mittlerem Krümmungsvektor. Beispielhaft werden solche Flächen in den Lorentzschen Raumformen der Dimension 4 konstruiert. / The twistor equation on Lorentzian spin manifolds is investigated. Known solutions of the twistor equation exist on the pp-manifolds, the Lorentz-Einstein-Sasaki manifolds and the Fefferman spaces. It is shown that in the low dimensions 3,4 and 5 twistor spinors without 'singularities' appear only for these mentioned Lorentzian spin geometries. Solutions of the twistor equation with zeros are of particular interest. The shape of the zero set of conformal vector fields and twistor spinors is described. Moreover, the twistor equation is formulated in the context of conformal Cartan geometry. As an application the conformally flat semi-Riemannian spin spaces with twistor spinors are characterized by the holonomy representation of the first fundamental group. Finally, we discuss an application of the twistor space of a Lorentzian 4-manifold in surface theory. Thereby, we prove a correspondence between holomorphic curves in the twistor space and spacelike immersed surfaces with lightlike mean curvature vector. Exemplary, such surfaces are constructed in the Lorentzian space forms of dimension 4.