Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist das Verhalten sogenannter Selbstüberschneidungslokalzeiten $\\|\\ell_t\\|_p^p$ einer zeitstetigen Irrfahrt $(S_r)_r$ auf dem $d$-dimensionalen Gitter $\\Z^d$. Dabei ist für $p>1$ die Funktion $\\ell_t$ definiert durch $$ \\ell_t(z):=\\int_{0}^{t}\\1_{\\{S_r=z\\}}\\,\\d r\\nonumber $$ und bezeichnet die Aufenthaltsdauer der Irrfahrt bis zum Zeitpunkt $t\\in(0,\\infty)$ im Punkt $z\\in\\Z^d$. Ziel ist es, ein Prinzip großer Abweichungen zu entwickeln, d.h. das Hauptaugenmerk liegt auf dem asymptotischen Verhalten der Wahrscheinlichkeit, dass die Selbstüberschneidungslokalzeiten von ihrem Erwartungswert in erheblichem Maße nach oben abweichen. Mit anderen Worten; es soll das asymptotische Verhalten von $$ \\log\\P(\\|\\ell_t\\|_p^p\\geq r^p_t) $$ genau bestimmt werden, wobei $r_t^p\\in(0,\\infty)$ schneller als der Erwartungswert $\\E[\\|\\ell_t\\|_p^p]$ gegen unendlich streben soll. Dieses Verhalten kann dabei durch $t$, $r_t$ und eine gewisse Variationsformel beschrieben werden. Es wird sich herausstellen, dass es zwei Fälle zu betrachten gilt, in denen sich das probabilistisch beste Verhalten stark unterscheidet; die genaue Position des Phasenübergangs hängt dabei von den Parametern $p$ und $d$ ab. Im Vorgriff auf die Resultate kann man festhalten, dass die nötigen Selbstüberschneidungen in kleinen Dimensionen (im sogenannten subkritischen Fall) über einen großen Bereich erfolgen, aufgrund dessen bei der mathematischen Modellierung eine Reskalierung erforderlich ist. In hohen Dimensionen (dem sogenannten superkritischen Fall) ist dies nicht nötig, da die erforderlichen Selbstüberschneidungen innerhalb eines begrenzten Intervalles erfolgen. Das Interesse an der Untersuchung entstand unter anderem aus der Verbindung zu Modellen der statistischen Mechanik (parabolisches Anderson Modell) und zur Variationsanalysis. In der Vergangenheit wurde eine Vielzahl an Methoden benutzt, um dieses Problem zu lösen. In der vorliegenden Dissertation soll die sogenannte Momentenmethode bestmöglich ausgereizt werden und es wird gezeigt, welche Ergebnisse damit möglich sind.

Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist das Verhalten sogenannter Selbstüberschneidungslokalzeiten $\\|\\ell_t\\|_p^p$ einer zeitstetigen Irrfahrt $(S_r)_r$ auf dem $d$-dimensionalen Gitter $\\Z^d$. Dabei ist für $p>1$ die Funktion $\\ell_t$ definiert durch $$ \\ell_t(z):=\\int_{0}^{t}\\1_{\\{S_r=z\\}}\\,\\d r\\nonumber $$ und bezeichnet die Aufenthaltsdauer der Irrfahrt bis zum Zeitpunkt $t\\in(0,\\infty)$ im Punkt $z\\in\\Z^d$. Ziel ist es, ein Prinzip großer Abweichungen zu entwickeln, d.h. das Hauptaugenmerk liegt auf dem asymptotischen Verhalten der Wahrscheinlichkeit, dass die Selbstüberschneidungslokalzeiten von ihrem Erwartungswert in erheblichem Maße nach oben abweichen. Mit anderen Worten; es soll das asymptotische Verhalten von $$ \\log\\P(\\|\\ell_t\\|_p^p\\geq r^p_t) $$ genau bestimmt werden, wobei $r_t^p\\in(0,\\infty)$ schneller als der Erwartungswert $\\E[\\|\\ell_t\\|_p^p]$ gegen unendlich streben soll. Dieses Verhalten kann dabei durch $t$, $r_t$ und eine gewisse Variationsformel beschrieben werden. Es wird sich herausstellen, dass es zwei Fälle zu betrachten gilt, in denen sich das probabilistisch beste Verhalten stark unterscheidet; die genaue Position des Phasenübergangs hängt dabei von den Parametern $p$ und $d$ ab. Im Vorgriff auf die Resultate kann man festhalten, dass die nötigen Selbstüberschneidungen in kleinen Dimensionen (im sogenannten subkritischen Fall) über einen großen Bereich erfolgen, aufgrund dessen bei der mathematischen Modellierung eine Reskalierung erforderlich ist. In hohen Dimensionen (dem sogenannten superkritischen Fall) ist dies nicht nötig, da die erforderlichen Selbstüberschneidungen innerhalb eines begrenzten Intervalles erfolgen. Das Interesse an der Untersuchung entstand unter anderem aus der Verbindung zu Modellen der statistischen Mechanik (parabolisches Anderson Modell) und zur Variationsanalysis. In der Vergangenheit wurde eine Vielzahl an Methoden benutzt, um dieses Problem zu lösen. In der vorliegenden Dissertation soll die sogenannte Momentenmethode bestmöglich ausgereizt werden und es wird gezeigt, welche Ergebnisse damit möglich sind.