Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist das Verhalten sogenannter Selbstüberschneidungslokalzeiten $\\|\\ell_t\\|_p^p$ einer zeitstetigen Irrfahrt $(S_r)_r$ auf dem $d$-dimensionalen Gitter $\\Z^d$. Dabei ist für $p>1$ die Funktion $\\ell_t$ definiert durch $$ \\ell_t(z):=\\int_{0}^{t}\\1_{\\{S_r=z\\}}\\,\\d r\\nonumber $$ und bezeichnet die Aufenthaltsdauer der Irrfahrt bis zum Zeitpunkt $t\\in(0,\\infty)$ im Punkt $z\\in\\Z^d$. Ziel ist es, ein Prinzip großer Abweichungen zu entwickeln, d.h. das Hauptaugenmerk liegt auf dem asymptotischen Verhalten der Wahrscheinlichkeit, dass die Selbstüberschneidungslokalzeiten von ihrem Erwartungswert in erheblichem Maße nach oben abweichen. Mit anderen Worten; es soll das asymptotische Verhalten von $$ \\log\\P(\\|\\ell_t\\|_p^p\\geq r^p_t) $$ genau bestimmt werden, wobei $r_t^p\\in(0,\\infty)$ schneller als der Erwartungswert $\\E[\\|\\ell_t\\|_p^p]$ gegen unendlich streben soll. Dieses Verhalten kann dabei durch $t$, $r_t$ und eine gewisse Variationsformel beschrieben werden. Es wird sich herausstellen, dass es zwei Fälle zu betrachten gilt, in denen sich das probabilistisch beste Verhalten stark unterscheidet; die genaue Position des Phasenübergangs hängt dabei von den Parametern $p$ und $d$ ab. Im Vorgriff auf die Resultate kann man festhalten, dass die nötigen Selbstüberschneidungen in kleinen Dimensionen (im sogenannten subkritischen Fall) über einen großen Bereich erfolgen, aufgrund dessen bei der mathematischen Modellierung eine Reskalierung erforderlich ist. In hohen Dimensionen (dem sogenannten superkritischen Fall) ist dies nicht nötig, da die erforderlichen Selbstüberschneidungen innerhalb eines begrenzten Intervalles erfolgen. Das Interesse an der Untersuchung entstand unter anderem aus der Verbindung zu Modellen der statistischen Mechanik (parabolisches Anderson Modell) und zur Variationsanalysis. In der Vergangenheit wurde eine Vielzahl an Methoden benutzt, um dieses Problem zu lösen. In der vorliegenden Dissertation soll die sogenannte Momentenmethode bestmöglich ausgereizt werden und es wird gezeigt, welche Ergebnisse damit möglich sind.

Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist das Verhalten sogenannter Selbstüberschneidungslokalzeiten $\\|\\ell_t\\|_p^p$ einer zeitstetigen Irrfahrt $(S_r)_r$ auf dem $d$-dimensionalen Gitter $\\Z^d$. Dabei ist für $p>1$ die Funktion $\\ell_t$ definiert durch $$ \\ell_t(z):=\\int_{0}^{t}\\1_{\\{S_r=z\\}}\\,\\d r\\nonumber $$ und bezeichnet die Aufenthaltsdauer der Irrfahrt bis zum Zeitpunkt $t\\in(0,\\infty)$ im Punkt $z\\in\\Z^d$. Ziel ist es, ein Prinzip großer Abweichungen zu entwickeln, d.h. das Hauptaugenmerk liegt auf dem asymptotischen Verhalten der Wahrscheinlichkeit, dass die Selbstüberschneidungslokalzeiten von ihrem Erwartungswert in erheblichem Maße nach oben abweichen. Mit anderen Worten; es soll das asymptotische Verhalten von $$ \\log\\P(\\|\\ell_t\\|_p^p\\geq r^p_t) $$ genau bestimmt werden, wobei $r_t^p\\in(0,\\infty)$ schneller als der Erwartungswert $\\E[\\|\\ell_t\\|_p^p]$ gegen unendlich streben soll. Dieses Verhalten kann dabei durch $t$, $r_t$ und eine gewisse Variationsformel beschrieben werden. Es wird sich herausstellen, dass es zwei Fälle zu betrachten gilt, in denen sich das probabilistisch beste Verhalten stark unterscheidet; die genaue Position des Phasenübergangs hängt dabei von den Parametern $p$ und $d$ ab. Im Vorgriff auf die Resultate kann man festhalten, dass die nötigen Selbstüberschneidungen in kleinen Dimensionen (im sogenannten subkritischen Fall) über einen großen Bereich erfolgen, aufgrund dessen bei der mathematischen Modellierung eine Reskalierung erforderlich ist. In hohen Dimensionen (dem sogenannten superkritischen Fall) ist dies nicht nötig, da die erforderlichen Selbstüberschneidungen innerhalb eines begrenzten Intervalles erfolgen. Das Interesse an der Untersuchung entstand unter anderem aus der Verbindung zu Modellen der statistischen Mechanik (parabolisches Anderson Modell) und zur Variationsanalysis. In der Vergangenheit wurde eine Vielzahl an Methoden benutzt, um dieses Problem zu lösen. In der vorliegenden Dissertation soll die sogenannte Momentenmethode bestmöglich ausgereizt werden und es wird gezeigt, welche Ergebnisse damit möglich sind.

Diese Dissertation präsentiert neue Techniken der Integration für verschiedene Probleme der Finanzmathematik und einige Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Beginn entwickeln wir zwei Zugänge zur robusten stochastischen Integration. Der erste, ähnlich der Ito’schen Integration, basiert auf einer Topologie, erzeugt durch ein äußeres Maß, gegeben durch einen minimalen Superreplikationspreis. Der zweite gründet auf der Integrationtheorie für rauhe Pfade. Wir zeigen, dass das entsprechende Integral als Grenzwert von nicht antizipierenden Riemannsummen existiert und dass sich jedem "typischen Preispfad" ein rauher Pfad im Ito’schen Sinne zuordnen lässt. Für eindimensionale "typische Preispfade" wird sogar gezeigt, dass sie Hölder-stetige Lokalzeiten besitzen. Zudem erhalten wir Verallgemeinerungen von Föllmer’s pfadweiser Ito-Formel. Die Integrationstheorie für rauhe Pfade kann mit dem Konzept der kontrollierten Pfade und einer Topologie, welche die Information der Levy-Fläche enthält, entwickelt werden. Deshalb untersuchen wir hinreichende Bedingungen an die Kontrollstruktur für die Existenz der Levy-Fläche. Dies führt uns zur Untersuchung von Föllmer’s Ito-Formel aus der Sicht kontrollierter Pfade. Para-kontrollierte Distributionen, kürzlich von Gubinelli, Imkeller und Perkowski eingeführt, erweitern die Theorie rauher Pfade auf den Bereich von mehr-dimensionale Parameter. Wir verallgemeinern diesen Ansatz von Hölder’schen auf Besov-Räume, um rauhe Differentialgleichungen zu lösen, und wenden die Ergebnisse auf stochastische Differentialgleichungen an. Zum Schluß betrachten wir stark gekoppelte Systeme von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs) und erweitern die Theorie der Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der sogenannten Entkopplungsfelder auf Markovsche FBSDEs mit lokal Lipschitz-stetigen Koeffizienten. Als Anwendung wird das Skorokhodsche Einbettungsproblem für Gaußsche Prozesse mit nichtlinearem Drift gelöst. / In this thesis new robust integration techniques, which are suitable for various problems from stochastic analysis and mathematical finance, as well as some applications are presented. We begin with two different approaches to stochastic integration in robust financial mathematics. The first one is inspired by Ito’s integration and based on a certain topology induced by an outer measure corresponding to a minimal superhedging price. The second approach relies on the controlled rough path integral. We prove that this integral is the limit of non-anticipating Riemann sums and that every "typical price path" has an associated Ito rough path. For one-dimensional "typical price paths" it is further shown that they possess Hölder continuous local times. Additionally, we provide various generalizations of Föllmer’s pathwise Ito formula. Recalling that rough path theory can be developed using the concept of controlled paths and with a topology including the information of Levy’s area, sufficient conditions for the pathwise existence of Levy’s area are provided in terms of being controlled. This leads us to study Föllmer’s pathwise Ito formulas from the perspective of controlled paths. A multi-parameter extension to rough path theory is the paracontrolled distribution approach, recently introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski. We generalize their approach from Hölder spaces to Besov spaces to solve rough differential equations. As an application we deal with stochastic differential equations driven by random functions. Finally, considering strongly coupled systems of forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs), we extend the existence, uniqueness and regularity theory of so-called decoupling fields to Markovian FBSDEs with locally Lipschitz continuous coefficients. These results allow to solve the Skorokhod embedding problem for a class of Gaussian processes with non-linear drift.