Wir beweisen neuartige Konvergenz- und Approximationsresultate für die Lösungen einer Klasse von Modellen optimaler Portfolioliquidierung mit sofortigem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Jedes betrachtete Liquidierungsproblem erlaubt nur absolut stetige Handelsstrategien, und die optimale Strategie ist durch ein voll gekoppeltes mehrdimensionales quadratisches BSDE-System mit einer singulären Endbedingung gegeben. Innerhalb unseres Modellierungsrahmens beweisen wir, dass wenn der Parameter des sofortigen Preiseinflusses gegen null konvergiert, der absolut stetige optimale Portfolioprozess gegen einen stochastischen Prozess konvergiert, der durch die eindeutige Lösung einer regulären eindimensionalen quadratischen BSDE gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert die Lösung eines Modells optimaler Portfolioliquidierung ohne sofortigen Preiseinfluss, aber mit allgemeiner Semimartingalkontrolle mit Sprüngen ist. Unser Resultat liefert einen vereinheitlichten Rahmen, in den die zwei am häufigsten gebrauchten Modellierungsrahmen der Literatur über optimale Liquidierung eingebettet werden können, und liefert eine Grundlage für die Nutzung von Semimartingalen als Liquidierungsstrategien und für die Nutzung von Portfolioprozessen von unbeschränkter Variation. Unsere Resultate beruhen auf neuartigen Konvergenzresultaten für BSDEs mit singulären Endbedingungen und auf einem neuartigen Resultat der Darstellung von Lösungen von BSDEs durch gleichmäßig stetige Funktionen von Vorwärtsprozessen. Wir beweisen außerdem, dass die optimale Lösung in der deterministischen Version des ursprünglichen Liquidierungsmodells gleichmäßig approximiert werden kann, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung verwendet wird, das um den singulären Punkt, an dem der sofortige Preiseinfluss verschwindet, entwickelt wird. Diese Approximation ist explizit darstellbar, was im Allgemeinen nicht für die optimale Lösung gilt. / We establish novel convergence and approximation results for the solutions to a class of optimal portfolio liquidation problems with instantaneous price impact and stochastic resilience. Each considered liquidation problem only allows for absolutely continuous trading strategies, and the optimal strategy is given in terms of a fully coupled multi-dimensional quadratic BSDE system with a singular terminal condition. Within our modeling framework, we prove that, when the instantaneous price impact parameter converges to zero, the absolutely continuous optimal portfolio process converges to a stochastic process that is given in terms of the unique solution to a regular one-dimensional quadratic BSDE. This limit turns out to be the solution to an optimal liquidation problem without instantaneous price impact, but with general semimartingale controls with jumps. Our result provides a unified framework within which to embed the two most commonly used modeling frameworks in the optimal liquidation literature and provides a foundation for the use of semimartingale liquidation strategies and the use of portfolio processes of unbounded variation. Our results are based on novel convergence results for BSDEs with singular terminal conditions and a novel representation result of BSDE solutions in terms of uniformly continuous functions of forward processes. We also prove that the optimal solution in the deterministic version of the original pre-limit optimal liquidation model can be approximated uniformly by using the first order Taylor polynomial expanded around the singular point where the instantaneous price impact vanishes. This approximation is explicitly computable, while the optimal solution generally is not.

Wir studieren optimale Handelsstrategien für einen risikoaversen Investor, der bis zu einem Zeitpunkt T ein Portfolio aufzulösen hat. Dieser kann auf einem traditionellen Markt (dem "Primärmarkt") handeln, wodurch er den Preis beeinflusst, und gleichzeitig Aufträge in einem Dark Pool erteilen. Dort ist die Liquidität nicht öffentlich bekannt, und es findet keine Preisfindung statt: Aufträge werden zum Preis des Primärmarkts abgewickelt. Deshalb haben sie keinen Preiseinfluss, die Ausführung ist aber unsicher; es muss zwischen den Preiseinflusskosten am Primärmarkt und den indirekten Kosten durch die Ausübungsunsicherheit im Dark Pool abgewogen werden. In einem zeitdiskreten Handelsmodell betrachten wir ein Kostenfunktional aus erwarteten Preiseinfluss- und Marktrisikokosten. Für linearen Preiseinfluss ist dieses linear-quadratisch und wir erhalten eine Rekursion für die optimale Handelsstrategie. Eine Position in einem einzelnen Wertpapier wird langsam am Primärmarkt abgebaut während der Rest im Dark Pool angeboten wird. Für eine Position in mehreren Wertpapieren ist dies wegen der Korrelation der Wertpapiere nicht optimal. Tritt im eindimensionalen Fall adverse Selektion auf, so wird die Attraktivität des Dark Pools verringert. In stetiger Zeit impliziert die Liquidationsbedingung eine Singularität der Wertfunktion am Endzeitpunkt T. Diese wird im linear-quadratischen Fall ohne adverse Selektion durch den Grenzwert einer Folge von Lösungen einer Matrix Differentialgleichung beschrieben. Mit Hilfe einer Matrixungleichung erhalten wir Schranken für diese Lösungen, die Existenz des Grenzwertes sowie ein Verifikationsargument mittels HJB Gleichung. Tritt adverse Selektion auf, ergeben umfangreiche heuristische Betrachtungen eine ungewöhnliche Struktur der Wertfunktion: Sie ist ein quadratisches "Quasi-Polynom", dessen Koeffizienten in nicht-trivialer Weise von der Position abhängen. Wir bestimmen dieses semi-explizit und führen ein Verifikationsargument durch. / We study optimal trading strategies of a risk-averse investor who has to liquidate a portfolio within a finite time horizon [0,T]. The investor has the option to trade at a traditional exchange (the "primary venue") which yields price impact and to place orders in a dark pool. The liquidity in dark pools is not openly displayed and dark pools do not contribute to the price formation process: orders are executed at the price of the primary venue. Hence, they have no price impact, but their execution is uncertain. The investor thus faces the trade-off between the price impact costs at the primary venue and the indirect costs resulting from the execution uncertainty in the dark pool. In a discrete-time market model we consider a cost functional which incorporates the expected price impact costs and market risk costs. For linear price impact, it is linear-quadratic and we obtain a recursion for the optimal trading strategy. For single asset liquidation, the investor trades out of her position at the primary venue, with the remainder being placed in the dark pool. For multi asset liquidation this is not optimal because of the correlation of the assets. In the presence of adverse selection in the one dimensional setting the dark pool is less attractive. In continuous time the liquidation constraint implies a singularity of the value function at the terminal time T. In the linear-quadratic case without adverse selection it is described by the limit of a sequence of solutions of a matrix differential equation. By means of a matrix inequality we obtain bounds of these solutions, the existence of the limit and a verification argument via HJB equation. In the presence of adverse selection the value function has an unusual structure, which we obtain via extensive heuristic considerations: it is a "quasi-polynomial" whose coefficients depend on the asset position in a non-trivial way. We characterize the value function semi-explicitly and carry out a verification argument.

Diese Dissertation analysiert BSDEs und PDEs mit singulären Endbedingungen, welche in Problemen der optimalen Portfolioliquidierung auftreten. In den vergangenen Jahren haben Portfolioliquidierungsprobleme in der Literatur zur Finanzmathematik große Aufmerksamkeit erhalten. Ihre wichtigste Eigenschaft ist die singuläre Endbedingung der durch die Liquidierungsbedingung induzierten Wertfunktion, welche eine singuläre Endbedingung der zugehörigen BSDE oder PDE impliziert. Diese Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Das erste Kapitel analysiert ein Portfolioliquidierungsproblem für mehrere Wertpapiere mit sofortigem und anhaltendem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Wir zeigen, dass die Wertfunktion durch eine mehrdimensionale BSRDE mit singulärer Endbedingung beschrieben werden kann. Wir weisen die Existenz einer Lösung dieser BSRDE nach und zeigen, dass diese durch eine Folge von Lösungen von BSRDEs mit endlicher und wachsender Endbedingung approximiert werden kann. Eine neue a priori-Abschätzung für die approximierenden BSRDEs wird für den Nachweis hergeleitet. Das zweite Kapitel betrachtet ein Portfolioliquidierungsproblem mit unbeschränkten Kostenkoeffizienten. Wir weisen die Existenz einer eindeutigen nichtnegativen Viskositätslösung der HJB-Gleichung nach. Das Existenzresultat basiert auf einem neuartigen Vergleichsprinzip für semi-stetige Viskositätssub-/-superlösungen für singuläre PDEs. Stetigkeit der Viskositätslösung ist hinreichend für das Verifikationsargument. Im dritten Kapitel untersuchen wir ein optimales Liquidierungsproblem unter Mehrdeutigkeit der Parameter des Preiseinflusses. In diesem Fall kann die Wertfunktion durch die Lösung einer semilinearen PDE mit superlinearem Gradienten beschrieben werden. Zuerst zeigen wir die Existenz einer Viskositätslösung indem wir unser Vergleichsprinzip für singuläre PDEs erweitern. Sodann weisen wir die Regularität mit einer asymptotischen Entwicklung der Lösung am Endzeitpunkt nach. / This dissertation analyzes BSDEs and PDEs with singular terminal condition arising in models of optimal portfolio liquidation. Portfolio liquidation problems have received considerable attention in the financial mathematics literature in recent years. Their main characteristic is the singular terminal condition of the value function induced by the liquidation constraint, which translates into a singular terminal state constraint on the associated BSDE or PDE. The dissertation consists of three chapters. The first chapter analyzes a multi-asset portfolio liquidation problem with instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience. We show that the value function can be described by a multi-dimensional BSRDE with a singular terminal condition. We prove the existence of a solution to this BSRDE and show that it can be approximated by a sequence of the solutions to BSRDEs with finite increasing terminal condition. A novel a priori estimate for the approximating BSRDEs is established for the verification argument. The second chapter considers a portfolio liquidation problem with unbounded cost coefficients. We establish the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub-/supersolutions for singular PDEs. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument. The third chapter studies an optimal liquidation problem under ambiguity with respect to price impact parameters. In this case the value function can be characterized by the solution to a semilinear PDE with superlinear gradient. We first prove the existence of a solution in the viscosity sense by extending our comparison principle for singular PDEs. Higher regularity is then established using an asymptotic expansion of the solution at the terminal time.

Die Gewichte eines Portfolios liegen meist als als Kombination des Produkts der Präzisionsmatrix und des Erwartungswertvektors vor. In der Praxis müssen diese Parameter geschätzt werden, allerdings ist die Beschreibung der damit verbundenen Schätzunsicherheit über eine Verteilung dieses Produktes eine Herausforderung. In dieser Arbeit wird demonstriert, dass ein geeignetes bayesianisches Modell nicht nur zu einer leicht zugänglichen Posteriori-Verteilung führt, sondern auch zu leicht interpretierbaren Beschreibungen des Portfoliorisikos, wie beispielsweise einer Ausfallwahrscheinlichkeit des gesamten Portfolios zu jedem Zeitpunkt. Dazu werden die Parameter mit ihren konjugierten Prioris ausgestatet. Mit Hilfe bekannter Ergebnisse aus der Theorie multivariater Verteilungen ist es möglich, eine stochastische Darstellung für relevante Ausdrücke wie den Portfoliogewichten oder des effizienten Randes zu geben. Diese Darstellungen ermöglichen nicht nur die Bestimmung von Bayes-Schätzern der Parameter, sondern sind auch noch rechentechnisch hoch effizient, da Zufallszahlen nur aus bekannten und leicht zugänglichen Verteilungen gezogen werden. Insbesondere aber werden Markov-Chain-Monte-Carlo Methoden nicht benötigt. Angewendet wird diese Methodik an einem mehrperiodigen Portfoliomodell für eine exponentielle Nutzenfunktion, am Tangentialportfolio, zur Schätzung des effizienten Randes, des globalen Minimum-Varianz-Portfolios wie auch am gesamten Mittelwert-Varianz Ansatzes. Für alle behandelten Portfoliomodelle werden für wichtige Größen stochastische Darstellungen oder Bayes-Schätzer gefunden. Die Praktikabilität und Flexibilität wie auch bestimmte Eigenschaften werden in Anwendungen mit realen Datensätzen oder Simulationen illustriert. / Usually, the weights of portfolio assets are expressed as a comination of the product of the precision matrix and the mean vector. These parameters have to be estimated in practical applications. But it is a challenge to describe the associated estimation risk of this product. It is demonstrated in this thesis, that a suitable Bayesian approach does not only lead to an easily accessible posteriori distribution, but also leads to easily interpretable risk measures. This also includes for example the default probability of the portfolio at all relevant points in time. To approach this task, the parameters are endowed with their conjugate priors. Using results from the theory of multivariate distributions, stochastic representations for the portfolio parameter are derived, for example for the portfolio weights or the efficient frontier. These representations not only allow to derive Bayes estimates of these parameters, but are computationally highly efficient since all th necessary random variables are drawn from well known and easily accessible distributions. Most importantly, Markov-Chain-Monte-Carlo methods are not necessary. These methods are applied to a multi-period portfolio for an exponential utility function, to the tangent portfolio, to estimate the efficient frontier and also to a general mean-variance approach. Stochastic representations and Bayes estimates are derived for all relevant parameters. The practicability and flexibility as well as specific properties are demonstrated using either real data or simulations.

Im ersten Teil der Arbeit analysieren wir BSDEs mit Generatoren, die monoton in y, convex in z, gemeinsam unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariable beschränkt sind. Das erste Hauptresultat ist der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer minimalen Superlösung. Wir zeigen, dass für die minimale Superlösung wichtige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Flusseigenschaft und die Projektivität gelten. Es stellt sich heraus, dass das Funktional welches die Endbedingung auf das Infimum über alle Wertprozesse zur Zeit null abbildet nicht nur den gleichen Definitionsbereich wie der Erwartungswert hat, sondern auch einige seiner wichtigsten Eigenschaften, wie monotone Konvergenz und Fatou''s Lemma teilt. Das führt im Weiteren zur Unterhalbstetigkeit und zu dualen Darstellungen dieses Funktionals. Schlussendlich zeigen wir eine Lösung des Nutzenmaximierungsproblems für die Exponentialnutzenfunktion. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir die quadratische Absicherung von finanziellen Risikopositionen unter Basisrisiko. Zuerst zeigen wir wie optimal abgesichert wird, wenn die Differenz der Logarithmen von Absicherungsinstrument und Risiko asymptotisch stationär ist. Für lineare Risikopositionen leiten wir explizite Formeln für den Absicherungsfehler her und zeigen, dass für nichtlineare Positionen eine schnelle Simulation möglich ist. Zweitens untersuchen wir ein Modell in dem die Korrelation zwischen Absicherungsinstrument und Basiswert stochastisch ist. Wir nehmen an, dass die Korrelation ein Prozess ist, der sich gemäß einer stochastischen Differentialgleichung mit Werten zwischen -1 und 1 entwickelt. Wir leiten eine Integrabilitätsbedingung bezüglich des Korrelationsprozesses her, die uns erlaubt die optimale quadratische Absicherung durch eine einfache Formel zu beschreiben. Weiterhin zeigen wir, dass unsere Bedingungen von einer großen Klasse von Korrelationsdynamiken erfüllt werden. / In the first part of the thesis we analyze BSDEs with generators that are monotone in y, convex in z, jointly lower semicontinuous, and bounded below by an affine function of the control variable. The first central result establishes existence and uniqueness of a minimal supersolution. We show that our setting allows to derive important properties of the minimal supersolution such as the flow property and the projectivity. We find that the functional which maps the terminal condition to the infimum over all value processes evaluated at time zero is not only defined on the same domain as the original expectation operator, but also shares some of its main properties such as monotone convergence and Fatou''s Lemma. Moreover, this leads to lower semincontinuity and dual representations of the functional. Finally, we demonstrate a solution of the problem of maximizing expected exponential utility. In the second part of the thesis we investigate quadratic hedging of contingent claims with basis risk. We first show how to optimally cross-hedge risk when the logspread between the hedging instrument and the risk is asymptotically stationary. For linear risk positions we derive explicit formulas for the hedge error, while for non-linear positions swift simulation analysis is possible. Secondly, we study a model where the correlation between the hedging instrument and the underlying of the contingent claim is random itself. We assume that the correlation is a process which evolves according to a stochastic differential equation with values between the boundaries -1 and 1. We derive an integrability condition on the correlation process that allows to describe the quadratic hedge by means of a simple hedging formula. Furthermore we show that our conditions are fulfilled by a large class of correlation dynamics.

Gegenstand der vorliegenden Dissertation sind stochastische Kontrollprobleme, denen sich Agenten im Zusammenhang mit Entscheidungen auf Finanzmärkten gegenübersehen. Der erste Teil der Arbeit behandelt die Maximierung des erwarteten Nutzens des Endvermögens eines Finanzmarktinvestors. Für den Investor ist eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie, die zur numerischen Approximation geeignet ist sowie eine Stabilitätsanalyse der optimalen Handelsstrategie bzgl. kleinerer Fehlspezifikationen in Nutzenfunktion und Anfangsvermögen, von höchstem Interesse. In stetigen Marktmodellen beweisen wir Stabilitätsresultate für die optimale Handeslsstrategie in geeigneten Topologien. Für hinreichend differenzierbare Nutzenfunktionen und zeitstetige Marktmodelle erhalten wir eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie durch die Lösung eines Systems von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs). Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit optimalen Stopproblemen für einen Agenten, dessen Ertragsprozess von einem Ausfallsereignis abhängt. Unser Hauptinteresse gilt der Beschreibung der Lösungen vor und nach dem Ausfallsereignis und damit dem besseren Verständnis des Verhaltens des Agenten bei Auftreten eines Ausfallsereignisses. Wir zeigen wie sich das optimale Stopproblem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegen lässt: eines, für das der zugrunde liegende Informationsfluss das Ausfallereignis nicht beinhaltet, und eines, in welchem der Informationsfluss das Ausfallereignis berücksichtigt. Aufbauend auf der Zerlegung des Stopproblems und der Verbindung zwischen der Optimalen Stoptheorie und der Theorie von reflektierenden stochastischen Rückwärts-Differentialgleichungen (RBSDEs), leiten wir einen entsprechenden Zerlegungsansatz her, um RBSDEs mit genau einem Sprung zu lösen. Wir beweisen neue Existenz- und Eindeutigkeitsresultate von RBSDEs mit quadratischem Wachstum. / This thesis studies stochastic control problems faced by agents in financial markets when making decisions. The first part focuses on the maximization of expected utility from terminal wealth for an investor trading in a financial market. Of utmost concern to the investor is a description of optimal trading strategy that is amenable to numerical approximation, and the stability analysis of the optimal trading strategy w.r.t. "small" misspecification in his utility function and initial capital. In the setting of a continuous market model, we prove stability results for the optimal wealth process in the Emery topology and the uniform topology on semimartingales, and stability results for the optimal trading strategy in suitable topologies. For sufficiently differentiable utility functions, we obtain a description of the optimal trading strategy in terms of the solution of a system of forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). The second part of the thesis deals with the optimal stopping problem for an agent with a reward process exposed to a default event. Our main concern is to give a description of the solutions before and after the default event and thereby better understand the behavior of the agent in the presence of default. We show how the stopping problem can be decomposed into two individual stopping problems: one with information flow for which the default event is not visible, and another one with information flow which captures the default event. We build on the decomposition of the optimal stopping problem, and the link between the theories of optimal stopping and reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) to derive a corresponding decomposition approach to solve RBSDEs with a single jump. This decomposition allows us to establish existence and uniqueness results for RBSDEs with drivers of quadratic growth.

Wir befassen uns mit Gleichgewichtsproblemen, die bei dem Zusammentreffen von Märkten und Marktteilnehmern entstehen, zuerst in einem Modell mit konkurrierenden Märkten mit Feedback und asymmetrischer Information und dann mit strategisch interagierenden Händlern. Zudem untersuchen wir spezielle Richtungsableitung im Kontext des pfadweisen Malliavinkalküls. Im ersten Kapitel analysieren wir ein Prinzipal-Agenten-Problem mit einem monopolistischen Dealer, der mit einem Crossing-Netzwerk (CN) um den Handel mit Agenten mit privater Information konkurriert. Wir untersuchen die gewinnmaximierenden Angebote des Dealers für unterschiedliche Outside-Optionen und formulieren hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Lösung. In unserem Modell ist die Einführung des CN für die Agenten vorteilhaft und ein Gleichgewichtspreis existiert. Im zweiten Kapitel analysieren wir den Einfluss vergleichender Leistungsbewertung von Händlern auf die Preisfindung im Marktgleichgewicht. Ein Derivat soll einen markträumenden Preis bekommen unter Beachtung der strategisch handelnden Agenten. Das Risiko eines Händlers setzt sich aus dem eigenen Risikoprofil und dem Erfolg des Handelns relativ zum durchschnittlichen Handelserfolg aller zusammen und er wird durch eine BSDE gemessen. Wir bestimmen einen repräsentativen Agenten und zeigen so die Existenz und Eindeutigkeit eines Gleichgewichtspreises. Weiterhin können wir diesen charakterisieren und im Spezialfall von entropischen Risikomaßen konkret berechnen. In diesem Spezialfall führen wir auch eine Parameteranalyse durch. Das dritte Kapitel verknüpft klassischen und pfadweisen Malliavinkalkül. Wir definieren und analysieren pfadweise Richtungsableitungen mit Hilfe von Perturbationen mit Cameron-Martin-Funktionen, mit (Hölder-)stetigen Funktionen, mit unstetigen Funktionen und mit Maßen. Somit sind sowohl die klassische Malliavin-Ableitung als auch Dupires vertikale Ableitung als Spezialfälle enthalten. / We analyze equilibrium problems arising from interacting markets and market participants, first competing markets with feedback and asymmetric information, then strategically interacting traders; moreover we analyze a new notion of a pathwise directional derivative in the context of pathwise Malliavin calculus. The first chapter analyzes a principal-agent game in which a monopolistic profit-maximizing dealer competes with a crossing network (CN) for trading with privately informed agents. We analyze the structure of the dealer’s offered pricing schedules for different outside options. We give sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to the dealer’s problem and show that in our setting the introduction of the CN is beneficial for the agents. Additionally, we discuss existence and uniqueness of an equilibrium price for the feedback between dealer and CN. In the second chapter we analyze the impact of performance concerns on a problem of equilibrium pricing. A derivative is priced such that the market clears, given strategically behaving agents. Their risk stems from a risky position in the future and the relative trading gains compared to all other agents. The risk measure of each agent is specified by a BSDE. In spite of the strategic interaction, we are able to apply a representative agent approach to obtain existence and uniqueness of the equilibrium market price of external risk. In the special case of entropic risk measures, we perform a parameter analysis. The third chapter provides a link between classical and pathwise Malliavin calculus. We define and analyze pathwise directional derivatives via perturbations with Cameron-Martin functions, (Hölder-)continuous functions, discontinuous functions and measures, thereby including both the traditional Malliavin derivative and the vertical derivative from Dupire’s work.

Diese Arbeit beginnt mit einer Analyse von stochastischen Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) mit Sprüngen, getragen von zufälligen Maßen mit ggf. unendlicher Aktivität und zeitlich inhomogenem Kompensator. Unter konkreten, in Anwendungen leicht verifizierbaren Bedingungen liefern wir Existenz-, Eindeutigkeits- und Vergleichsergebnisse beschränkter Lösungen für eine Klasse von Generatorfunktionen, die nicht global Lipschitz-stetig im Sprungintegranden sein brauchen. Der übrige Teil der Arbeit behandelt robuste Bewertung und Hedging in unvollständigen Märkten. Wir verfolgen den No-Good-Deal-Ansatz, der Good-Deal-Grenzen liefert, indem nur eine Teilmenge der risikoneutralen Maße mit ökonomischer Bedeutung betrachtet wird (z.B. Grenzen für instantanen Sharpe-Ratio, optimale Wachstumsrate oder erwarteten Nutzen). Durchweg untersuchen wir ein Konzept des Good-Deal-Hedgings für welches Hedgingstrategien als Minimierer geeigneter dynamischer Risikomaße auftreten, was optimale Risikoteilung mit der Markt erlaubt. Wir zeigen, dass Hedging mindestens im-Mittel-selbstfinanzierend ist, also, dass Hedgefehler unter geeigneten A-priori-Bewertungsmaßen eine Supermartingaleigenschaft haben. Wir leiten konstruktive Ergebnisse zu Good-Deal-Bewertung und -Hedging im Rahmen von Prozessen mit Sprüngen durch BSDEs mit Sprüngen, sowie im Brown''schen Fall mit Driftunsicherheit durch klassische BSDEs und mit Volatilitätsunsicherheit durch BSDEs zweiter Ordnung her. Wir liefern neue Beispiele, die insbesondere für versicherungs- und finanzmathematische Anwendungen von Bedeutung sind. Bei Ungewissheit des Real-World-Maßes führt ein Worst-Case-Ansatz bei Annahme mehrerer Referenzmaße zu Good-Deal-Hedging, welches robust bzgl. Unsicherheit, im Sinne von gleichmäßig über alle Referenzmaße mindestens im-Mittel-selbstfinanzierend, ist. Daher ist bei hinreichend großer Driftunsicherheit Good-Deal-Hedging zur Risikominimierung äquivalent. / This thesis starts by an analysis of backward stochastic differential equations (BSDEs) with jumps driven by random measures possibly of infinite activity with time-inhomogeneous compensators. Under concrete conditions that are easy to verify in applications, we prove existence, uniqueness and comparison results for bounded solutions for a class of generators that are not required to be globally Lipschitz in the jump integrand. The rest of the thesis deals with robust valuation and hedging in incomplete markets. The focus is on the no-good-deal approach, which computes good-deal valuation bounds by using only a subset of the risk-neutral measures with economic meaning (e.g. bounds on instantaneous Sharpe ratios, optimal growth rates, or expected utilities). Throughout we study a notion of good-deal hedging consisting in minimizing some dynamic risk measures that allow for optimal risk sharing with the market. Hedging is shown to be at least mean-self-financing in that hedging errors satisfy a supermartingale property under suitable valuation measures. We derive constructive results on good-deal valuation and hedging in a jump framework using BSDEs with jumps, as well as in a Brownian setting with drift uncertainty using classical BSDEs and with volatility uncertainty using second-order BSDEs. We provide new examples which are particularly relevant for actuarial and financial applications. Under ambiguity about the real-world measure, a worst-case approach under multiple reference priors leads to good-deal hedging that is robust w.r.t. uncertainty in that it is at least mean-self-financing uniformly over all priors. This yields that good-deal hedging is equivalent to risk-minimization if drift uncertainty is sufficiently large.

Diese Arbeit untersucht eine Reihe multiplikativer Preiseinflussmodelle für das Handeln in einer riskanten Anlage. Unser risikoneutraler Investor versucht seine zu erwartenden Handelserlöse zu maximieren. Zunächst modellieren wir den vorübergehende Preiseinfluss als deterministisches Funktional der Handelsstrategie. Wir stellen den Zusammenhang mit Limit-Orderbüchern her und besprechen die optimale Strategie zum Auf- bzw. Abbau einer Anlageposition bei a priori unbeschränkem Anlagehorizont. Anschließend lösen wir das Optimierungsproblem mit festem Anlagehorizon in zwei Schritten. Mittels Variationsrechnung lässt sich die freie Grenzefläche, die Kauf- und Verkaufsregionen trennt, als lokales Optimum identifizieren, was entscheidend für die Verifikation globaler Optimalität ist. Im zweiten Teil der Arbeit erweitern wir den zwischengeschalteten Markteinflussprozess um eine stochastische Komponente, wodurch optimale Strategien dynamisch an zufällige Liquiditätsschwankungen adaptieren. Wir bestimmen die optimale Liquidierungsstrategie im zeitunbeschränkten Fall als die reflektierende Lokalzeit, die den Markteinfluss unterhalb eines explizit beschriebenen nicht-konstanten Grenzlevels hält. Auch dieser Beweis kombiniert Variationsrechnung und direkten Methoden. Um nun eine Zeitbeschränkung zu ermöglichen, müssen wir Semimartingalstrategien zulassen. Skorochods M1-Toplogie ist der Schlüssel, um die Klasse der möglichen Strategien in einer umfangreichen Familie von Preiseinflussmodellen, welche sowohl additiven, als auch multiplikativen Preiseinfluss umfasst, mit deterministischer oder stochastischer Liquidität, eindeutig von endlichen Variations- auf allgemeine càdlàg Strategien zu erweitern. Nach Einführung proportionaler Transaktionskosten lösen wir das entsprechende eindimensionale freie Grenzproblem des optimalen unbeschränkten Handels und beleuchten mögliche Lösungsansätze für das Liquidierungsproblem, das mit dem Verkauf der letzten Anleihe endet. / In this thesis, we study a class of multiplicative price impact models for trading a single risky asset. We model price impact to be multiplicative so that prices are guaranteed to stay non-negative. Our risk-neutral large investor seeks to maximize expected gains from trading. We first introduce a basic variant of our model, wherein the transient impact is a deterministic functional of the trading strategy. We draw the connection to limit order books and give the optimal strategy to liquidate or acquire an asset position infinite time horizon. We then solve the optimization problem for finite time horizon two steps. Calculus of variations allows to identify the free boundary surface that separates buy and sell regions and moreover show its local optimality, which is a crucial ingredient for the verification giving (global) optimality. In the second part of the thesis, we add stochasticity to the auxiliary impact process. This causes optimal strategies to dynamically adapt to random changes in liquidity. We identify the optimal liquidation strategy in infinite horizon as the reflection local time which keeps the market impact process below an explicitly described non-constant free boundary level. Again the proof technique combines classical calculus of variations and direct methods. To now impose a time constraint, we need to admit semimartingale strategies. Skorokhod's M1 topology is key to uniquely extend the class of admissible controls from finite variation to general càdlàg strategies in a broad class of market models including multiplicative and additive price impact, with deterministic or stochastic liquidity. After introducing proportional transaction costs in our model, we solve the related one-dimensional free boundary problem of unconstrained optimal trading and highlight possible solution methods for the corresponding liquidation problem where trading stops as soon as all assets are sold.

Diese Dissertation präsentiert neue Techniken der Integration für verschiedene Probleme der Finanzmathematik und einige Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Beginn entwickeln wir zwei Zugänge zur robusten stochastischen Integration. Der erste, ähnlich der Ito’schen Integration, basiert auf einer Topologie, erzeugt durch ein äußeres Maß, gegeben durch einen minimalen Superreplikationspreis. Der zweite gründet auf der Integrationtheorie für rauhe Pfade. Wir zeigen, dass das entsprechende Integral als Grenzwert von nicht antizipierenden Riemannsummen existiert und dass sich jedem "typischen Preispfad" ein rauher Pfad im Ito’schen Sinne zuordnen lässt. Für eindimensionale "typische Preispfade" wird sogar gezeigt, dass sie Hölder-stetige Lokalzeiten besitzen. Zudem erhalten wir Verallgemeinerungen von Föllmer’s pfadweiser Ito-Formel. Die Integrationstheorie für rauhe Pfade kann mit dem Konzept der kontrollierten Pfade und einer Topologie, welche die Information der Levy-Fläche enthält, entwickelt werden. Deshalb untersuchen wir hinreichende Bedingungen an die Kontrollstruktur für die Existenz der Levy-Fläche. Dies führt uns zur Untersuchung von Föllmer’s Ito-Formel aus der Sicht kontrollierter Pfade. Para-kontrollierte Distributionen, kürzlich von Gubinelli, Imkeller und Perkowski eingeführt, erweitern die Theorie rauher Pfade auf den Bereich von mehr-dimensionale Parameter. Wir verallgemeinern diesen Ansatz von Hölder’schen auf Besov-Räume, um rauhe Differentialgleichungen zu lösen, und wenden die Ergebnisse auf stochastische Differentialgleichungen an. Zum Schluß betrachten wir stark gekoppelte Systeme von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs) und erweitern die Theorie der Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der sogenannten Entkopplungsfelder auf Markovsche FBSDEs mit lokal Lipschitz-stetigen Koeffizienten. Als Anwendung wird das Skorokhodsche Einbettungsproblem für Gaußsche Prozesse mit nichtlinearem Drift gelöst. / In this thesis new robust integration techniques, which are suitable for various problems from stochastic analysis and mathematical finance, as well as some applications are presented. We begin with two different approaches to stochastic integration in robust financial mathematics. The first one is inspired by Ito’s integration and based on a certain topology induced by an outer measure corresponding to a minimal superhedging price. The second approach relies on the controlled rough path integral. We prove that this integral is the limit of non-anticipating Riemann sums and that every "typical price path" has an associated Ito rough path. For one-dimensional "typical price paths" it is further shown that they possess Hölder continuous local times. Additionally, we provide various generalizations of Föllmer’s pathwise Ito formula. Recalling that rough path theory can be developed using the concept of controlled paths and with a topology including the information of Levy’s area, sufficient conditions for the pathwise existence of Levy’s area are provided in terms of being controlled. This leads us to study Föllmer’s pathwise Ito formulas from the perspective of controlled paths. A multi-parameter extension to rough path theory is the paracontrolled distribution approach, recently introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski. We generalize their approach from Hölder spaces to Besov spaces to solve rough differential equations. As an application we deal with stochastic differential equations driven by random functions. Finally, considering strongly coupled systems of forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs), we extend the existence, uniqueness and regularity theory of so-called decoupling fields to Markovian FBSDEs with locally Lipschitz continuous coefficients. These results allow to solve the Skorokhod embedding problem for a class of Gaussian processes with non-linear drift.