Es wird ein Ansatz und ein Algorithmus zur Lösung von stochastischen Stoppproblemen vorgestellt, der auf einer dualen Formulierung zum klassischen Lösungsansatz für Stoppprobleme mittels Variationsungleichungen basiert. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man für diese duale Formulierung ein äquivalentes unendlichdimensionales lineares Programm aufstellen, das die Momente des Aufenthaltsmaßes des stochastischen Prozesses bis zum Stoppzeitpunkt und die Momente der Verteilung des Prozesses zum Zeitpunkt des Stoppens als Variablen enthält. Für dieses unendlichdimensionale Problem werden endlichdimensionale Approximationen formuliert und gelöst, wobei die Momente nur bis zu einer endlichen Ordnung berücksichtigt werden. Die Güte der numerischen Resultate hängt davon ab, wie genau der Träger des Maßes zum Stoppzeitpunkt identifiziert werden kann. Aus diesem Grund wird ein Verfeinerungsalgorithmus entwickelt, mit dem diese Identifizierung in einer Reihe von Fällen gelingt und sich sehr genaue Ergebnisse erzielen lassen. Der für Stoppprobleme entwickelte Algorithmus kann auch bei der Ermittlung von optimalen Steuerungen für stetige stochastische Prozesse angewandt werden. Für einzelne Beispiele wird gezeigt, welche Resultate dabei erzielt werden können. / We present an approach to, and an algorithm for solving optimal stopping problems. The approach is based on a dual formulation of the classical method for solving stopping problems using variational inequalities. Under suitable conditions it is possible to express the dual formulation as an infinite-dimensional linear program. This linear program uses the moments of the occupation measure and the moments of the stopping measure as variables. We formulate and solve finite-dimensional approximations to this infinite-dimensional program by restricting the number of moments. The accuracy of the numerical results depend on how well the support of the stopping measure can be identified. To this end we develop an iterative procedure which works very well in many cases. In the second part of the dissertation we show how the algorithm, developed for stopping problems, can be used for solving stochastic control problems.

Gegenstand der vorliegenden Dissertation sind stochastische Kontrollprobleme, denen sich Agenten im Zusammenhang mit Entscheidungen auf Finanzmärkten gegenübersehen. Der erste Teil der Arbeit behandelt die Maximierung des erwarteten Nutzens des Endvermögens eines Finanzmarktinvestors. Für den Investor ist eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie, die zur numerischen Approximation geeignet ist sowie eine Stabilitätsanalyse der optimalen Handelsstrategie bzgl. kleinerer Fehlspezifikationen in Nutzenfunktion und Anfangsvermögen, von höchstem Interesse. In stetigen Marktmodellen beweisen wir Stabilitätsresultate für die optimale Handeslsstrategie in geeigneten Topologien. Für hinreichend differenzierbare Nutzenfunktionen und zeitstetige Marktmodelle erhalten wir eine Beschreibung der optimalen Handelsstrategie durch die Lösung eines Systems von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs). Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit optimalen Stopproblemen für einen Agenten, dessen Ertragsprozess von einem Ausfallsereignis abhängt. Unser Hauptinteresse gilt der Beschreibung der Lösungen vor und nach dem Ausfallsereignis und damit dem besseren Verständnis des Verhaltens des Agenten bei Auftreten eines Ausfallsereignisses. Wir zeigen wie sich das optimale Stopproblem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegen lässt: eines, für das der zugrunde liegende Informationsfluss das Ausfallereignis nicht beinhaltet, und eines, in welchem der Informationsfluss das Ausfallereignis berücksichtigt. Aufbauend auf der Zerlegung des Stopproblems und der Verbindung zwischen der Optimalen Stoptheorie und der Theorie von reflektierenden stochastischen Rückwärts-Differentialgleichungen (RBSDEs), leiten wir einen entsprechenden Zerlegungsansatz her, um RBSDEs mit genau einem Sprung zu lösen. Wir beweisen neue Existenz- und Eindeutigkeitsresultate von RBSDEs mit quadratischem Wachstum. / This thesis studies stochastic control problems faced by agents in financial markets when making decisions. The first part focuses on the maximization of expected utility from terminal wealth for an investor trading in a financial market. Of utmost concern to the investor is a description of optimal trading strategy that is amenable to numerical approximation, and the stability analysis of the optimal trading strategy w.r.t. "small" misspecification in his utility function and initial capital. In the setting of a continuous market model, we prove stability results for the optimal wealth process in the Emery topology and the uniform topology on semimartingales, and stability results for the optimal trading strategy in suitable topologies. For sufficiently differentiable utility functions, we obtain a description of the optimal trading strategy in terms of the solution of a system of forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). The second part of the thesis deals with the optimal stopping problem for an agent with a reward process exposed to a default event. Our main concern is to give a description of the solutions before and after the default event and thereby better understand the behavior of the agent in the presence of default. We show how the stopping problem can be decomposed into two individual stopping problems: one with information flow for which the default event is not visible, and another one with information flow which captures the default event. We build on the decomposition of the optimal stopping problem, and the link between the theories of optimal stopping and reflected backward stochastic differential equations (RBSDEs) to derive a corresponding decomposition approach to solve RBSDEs with a single jump. This decomposition allows us to establish existence and uniqueness results for RBSDEs with drivers of quadratic growth.