Gegenstand dieser Arbeit sind stochastische Kontrollprobleme im Kontext von optimaler Portfolioliquidierung in illiquiden Märkten. Dabei betrachten wir sowohl Markovsche sowie nicht-Markovsche Preiseinflussfunktionale und berücksichtigen den Handel sowohl im Primärmarkt als auch in Dark Pools. Besonderes Merkmal von Liquidierungsproblemen ist die durch die Liquidierungsbedingung induzierte singuläre Endbedingung an die Wertfunktion. Der Standardansatz für linear-quadratische Probleme reduziert die HJB-Gleichungen für die Wertfunktion - je nach Zustandsdynamik - auf (ein System) partielle(r) Differentialgleichungen, stochastische(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen beziehungsweise stochastische(r) partielle(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSPDE). Wir beweisen neue Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsresultate für diese zur Lösung optimaler Liquidierungsprobleme verwendeten Differentialgleichungen mit singulärer Endbedingung, verifizieren die Charakterisierung der zugehörigen Wertfunktion anhand dieser Differentalgleichungen und geben die optimale Handelsstrategie in Feedbackform. Für Markovsche und nicht-Markovsche Preiseinflussmodelle wird eine neuartiger Ansatz basierend auf der genauen singulären Asymptotik der Wertfunktion vorgelegt. Für vollständig Markovsche Liquidierungsprobleme erlaubt uns dieser, die Existenz glatter Lösungen der singulären partiellen Differentialgleichungen zu zeigen. Für eine Klasse von Problemen mit Markovscher/nicht-Markovscher Struktur charakterisieren wir die HJB-Gleichungen durch eine singuläre BSPDE, für die wir die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung über einen Bestrafungsansatz herleiten. / We study stochastic optimal control problems arising in the framework of optimal portfolio liquidation under limited liquidity. Our framework is flexible enough to allow for Markovian and non-Markovian impact functions and for simultaneous trading in primary venues and dark pools. The key characteristic of portfolio liquidation models is the singular terminal condition of the value function that is induced by the liquidation constraint. For linear-quadratic models, the standard ansatz reduces the HJB equation for the value to a (system of) partial differential equation(s), backward stochastic differential equation(s) or backward stochastic partial differential equation(s) with singular terminal condition, depending on the choice of the cost coefficients. We establish novel existence, uniqueness and regularity results for (BS)PDEs with singular terminal conditions arising in models of optimal portfolio liquidation, prove that the respective value functions can indeed be described by a (BS)PDE, and give the optimal trading strategies in feedback form. For Markovian and non-Markovian impact models we establish a novel approach based on the precise asymptotics of the value function at the terminal time. For purely Markovian liquidation problems this allows us to establish the existence smooth solutions to singular PDEs. For a class mixed Markovian/non-Markovian models we characterize the HJB equation in terms of a singular BSPDE for which we establish existence and uniqueness of a solution using a stochastic penalization method.

Diese Dissertation analysiert BSDEs und PDEs mit singulären Endbedingungen, welche in Problemen der optimalen Portfolioliquidierung auftreten. In den vergangenen Jahren haben Portfolioliquidierungsprobleme in der Literatur zur Finanzmathematik große Aufmerksamkeit erhalten. Ihre wichtigste Eigenschaft ist die singuläre Endbedingung der durch die Liquidierungsbedingung induzierten Wertfunktion, welche eine singuläre Endbedingung der zugehörigen BSDE oder PDE impliziert. Diese Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Das erste Kapitel analysiert ein Portfolioliquidierungsproblem für mehrere Wertpapiere mit sofortigem und anhaltendem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Wir zeigen, dass die Wertfunktion durch eine mehrdimensionale BSRDE mit singulärer Endbedingung beschrieben werden kann. Wir weisen die Existenz einer Lösung dieser BSRDE nach und zeigen, dass diese durch eine Folge von Lösungen von BSRDEs mit endlicher und wachsender Endbedingung approximiert werden kann. Eine neue a priori-Abschätzung für die approximierenden BSRDEs wird für den Nachweis hergeleitet. Das zweite Kapitel betrachtet ein Portfolioliquidierungsproblem mit unbeschränkten Kostenkoeffizienten. Wir weisen die Existenz einer eindeutigen nichtnegativen Viskositätslösung der HJB-Gleichung nach. Das Existenzresultat basiert auf einem neuartigen Vergleichsprinzip für semi-stetige Viskositätssub-/-superlösungen für singuläre PDEs. Stetigkeit der Viskositätslösung ist hinreichend für das Verifikationsargument. Im dritten Kapitel untersuchen wir ein optimales Liquidierungsproblem unter Mehrdeutigkeit der Parameter des Preiseinflusses. In diesem Fall kann die Wertfunktion durch die Lösung einer semilinearen PDE mit superlinearem Gradienten beschrieben werden. Zuerst zeigen wir die Existenz einer Viskositätslösung indem wir unser Vergleichsprinzip für singuläre PDEs erweitern. Sodann weisen wir die Regularität mit einer asymptotischen Entwicklung der Lösung am Endzeitpunkt nach. / This dissertation analyzes BSDEs and PDEs with singular terminal condition arising in models of optimal portfolio liquidation. Portfolio liquidation problems have received considerable attention in the financial mathematics literature in recent years. Their main characteristic is the singular terminal condition of the value function induced by the liquidation constraint, which translates into a singular terminal state constraint on the associated BSDE or PDE. The dissertation consists of three chapters. The first chapter analyzes a multi-asset portfolio liquidation problem with instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience. We show that the value function can be described by a multi-dimensional BSRDE with a singular terminal condition. We prove the existence of a solution to this BSRDE and show that it can be approximated by a sequence of the solutions to BSRDEs with finite increasing terminal condition. A novel a priori estimate for the approximating BSRDEs is established for the verification argument. The second chapter considers a portfolio liquidation problem with unbounded cost coefficients. We establish the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub-/supersolutions for singular PDEs. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument. The third chapter studies an optimal liquidation problem under ambiguity with respect to price impact parameters. In this case the value function can be characterized by the solution to a semilinear PDE with superlinear gradient. We first prove the existence of a solution in the viscosity sense by extending our comparison principle for singular PDEs. Higher regularity is then established using an asymptotic expansion of the solution at the terminal time.