This dissertation explores the application of the techniques of mathematical finance to the achievement of investment targets and financial stability. It contains three self-contained but broadly related essays. Sharpe et al. proposed the idea of having an expected utility maximizer choose a probability distribution for future wealth as an input to her investment problem rather than a utility function. They developed the Distribution Builder as one way to elicit such a distribution. In a single-period model, they then showed how this desired distribution for terminal wealth can be used to infer the investor's risk preferences. In the first essay, we adapt their idea, namely that a desired distribution for future wealth is an alternative input attribute for investment decisions, to continuous time. In a variety of scenarios, we show how the investor's desired distribution, combined with her initial wealth and market-related input, can be used to determine the feasibility of her distribution, her implied risk preferences, and her optimal policies throughout her investment horizon. We then provide several examples. In the second essay, we consider an investor who must a priori liquidate a large position in a primary risky asset whose price is influenced by the investor's liquidation strategy. Liquidation must be complete by a terminal time T, and the investor can hedge the market risk involved with liquidation over time by investing in a liquid proxy asset that is correlated with the primary asset. We show that the optimal strategies for an investor with constant absolute risk aversion are deterministic and we find them explicitly using calculus of variations. We then analyze the strategies and determine the investor's indifference price. In the third essay, we use contingent claims analysis to study several aggregate distance-to-default measures of the S&P Financial Select Sector Index during the years leading up to and including the recent financial crisis of 2007-2009. We uncover mathematical errors in the literature concerning one of these measures, portfolio distance-to-default, and propose an alternative measure that we show has similar conceptual and in-sample econometric properties. We then compare the performance of the aggregate distance-to-default measures to other common risk indicators. / text

In order to liquidate a large position in an asset, investors face a tradeoff between price volatility and market impact. The classical approach to this problem is to model volatility via a Brownian motion, and separate price impact into its permanent and temporary components. In this thesis, we consider two variations of the Chriss-Almgren model for temporary price impact. The first model investigates the infinite-horizon optimal liquidation problem in a market with float-dependent, nonlinear temporary price impact. The value function of the investor’s basket and the optimal strategy are characterized in terms of classical solutions of nonlinear parabolic partial differential equations. Depending on the price impact parameters, liquidation may require finite or infinite time. The second model considers time-varying market depth, in that intense trading increases temporary price-impact, which otherwise reverts to a long-term level. We find the optimal execution policy in a finite horizon for an investor with constant risk aversion, and derive the solution using calculus of variation techniques. Although the model potentially allows for price manipulation strategies, these policies are never optimal. We study the non time-constrained case as a limit to the finite-horizon case and explain the solution through a quasi-linear PDE.

This doctoral thesis consists of five research articles on the general topic of optimal decision making under uncertainty in a Bayesian framework. The papers are preceded by three introductory chapters. Papers I and II are dedicated to the problem of finding an optimal stopping strategy to liquidate an asset with unknown drift. In Paper I, the price is modelled by the classical Black-Scholes model with unknown drift. The first passage time of the posterior mean below a monotone boundary is shown to be optimal. The boundary is characterised as the unique solution to a nonlinear integral equation. Paper II solves the same optimal liquidation problem, but in a more general model with stochastic regime-switching volatility. An optimal liquidation strategy and various structural properties of the problem are determined. In Paper III, the problem of sequentially testing the sign of the drift of an arithmetic Brownian motion with the 0-1 loss function and a constant cost of observation per unit of time is studied from a Bayesian perspective. Optimal decision strategies for arbitrary prior distributions are determined and investigated. The strategies consist of two monotone stopping boundaries, which we characterise in terms of integral equations. In Paper IV, the problem of stopping a Brownian bridge with an unknown pinning point to maximise the expected value at the stopping time is studied. Besides a few general properties established, structural properties of an optimal strategy are shown to be sensitive to the prior. A general condition for a one-sided optimal stopping region is provided. Paper V deals with the problem of detecting a drift change of a Brownian motion under various extensions of the classical Wiener disorder problem. Monotonicity properties of the solution with respect to various model parameters are studied. Also, effects of a possible misspecification of the underlying model are explored.

Gegenstand dieser Arbeit sind stochastische Kontrollprobleme im Kontext von optimaler Portfolioliquidierung in illiquiden Märkten. Dabei betrachten wir sowohl Markovsche sowie nicht-Markovsche Preiseinflussfunktionale und berücksichtigen den Handel sowohl im Primärmarkt als auch in Dark Pools. Besonderes Merkmal von Liquidierungsproblemen ist die durch die Liquidierungsbedingung induzierte singuläre Endbedingung an die Wertfunktion. Der Standardansatz für linear-quadratische Probleme reduziert die HJB-Gleichungen für die Wertfunktion - je nach Zustandsdynamik - auf (ein System) partielle(r) Differentialgleichungen, stochastische(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen beziehungsweise stochastische(r) partielle(r) Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSPDE). Wir beweisen neue Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsresultate für diese zur Lösung optimaler Liquidierungsprobleme verwendeten Differentialgleichungen mit singulärer Endbedingung, verifizieren die Charakterisierung der zugehörigen Wertfunktion anhand dieser Differentalgleichungen und geben die optimale Handelsstrategie in Feedbackform. Für Markovsche und nicht-Markovsche Preiseinflussmodelle wird eine neuartiger Ansatz basierend auf der genauen singulären Asymptotik der Wertfunktion vorgelegt. Für vollständig Markovsche Liquidierungsprobleme erlaubt uns dieser, die Existenz glatter Lösungen der singulären partiellen Differentialgleichungen zu zeigen. Für eine Klasse von Problemen mit Markovscher/nicht-Markovscher Struktur charakterisieren wir die HJB-Gleichungen durch eine singuläre BSPDE, für die wir die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung über einen Bestrafungsansatz herleiten. / We study stochastic optimal control problems arising in the framework of optimal portfolio liquidation under limited liquidity. Our framework is flexible enough to allow for Markovian and non-Markovian impact functions and for simultaneous trading in primary venues and dark pools. The key characteristic of portfolio liquidation models is the singular terminal condition of the value function that is induced by the liquidation constraint. For linear-quadratic models, the standard ansatz reduces the HJB equation for the value to a (system of) partial differential equation(s), backward stochastic differential equation(s) or backward stochastic partial differential equation(s) with singular terminal condition, depending on the choice of the cost coefficients. We establish novel existence, uniqueness and regularity results for (BS)PDEs with singular terminal conditions arising in models of optimal portfolio liquidation, prove that the respective value functions can indeed be described by a (BS)PDE, and give the optimal trading strategies in feedback form. For Markovian and non-Markovian impact models we establish a novel approach based on the precise asymptotics of the value function at the terminal time. For purely Markovian liquidation problems this allows us to establish the existence smooth solutions to singular PDEs. For a class mixed Markovian/non-Markovian models we characterize the HJB equation in terms of a singular BSPDE for which we establish existence and uniqueness of a solution using a stochastic penalization method.

Wir studieren optimale Handelsstrategien für einen risikoaversen Investor, der bis zu einem Zeitpunkt T ein Portfolio aufzulösen hat. Dieser kann auf einem traditionellen Markt (dem "Primärmarkt") handeln, wodurch er den Preis beeinflusst, und gleichzeitig Aufträge in einem Dark Pool erteilen. Dort ist die Liquidität nicht öffentlich bekannt, und es findet keine Preisfindung statt: Aufträge werden zum Preis des Primärmarkts abgewickelt. Deshalb haben sie keinen Preiseinfluss, die Ausführung ist aber unsicher; es muss zwischen den Preiseinflusskosten am Primärmarkt und den indirekten Kosten durch die Ausübungsunsicherheit im Dark Pool abgewogen werden. In einem zeitdiskreten Handelsmodell betrachten wir ein Kostenfunktional aus erwarteten Preiseinfluss- und Marktrisikokosten. Für linearen Preiseinfluss ist dieses linear-quadratisch und wir erhalten eine Rekursion für die optimale Handelsstrategie. Eine Position in einem einzelnen Wertpapier wird langsam am Primärmarkt abgebaut während der Rest im Dark Pool angeboten wird. Für eine Position in mehreren Wertpapieren ist dies wegen der Korrelation der Wertpapiere nicht optimal. Tritt im eindimensionalen Fall adverse Selektion auf, so wird die Attraktivität des Dark Pools verringert. In stetiger Zeit impliziert die Liquidationsbedingung eine Singularität der Wertfunktion am Endzeitpunkt T. Diese wird im linear-quadratischen Fall ohne adverse Selektion durch den Grenzwert einer Folge von Lösungen einer Matrix Differentialgleichung beschrieben. Mit Hilfe einer Matrixungleichung erhalten wir Schranken für diese Lösungen, die Existenz des Grenzwertes sowie ein Verifikationsargument mittels HJB Gleichung. Tritt adverse Selektion auf, ergeben umfangreiche heuristische Betrachtungen eine ungewöhnliche Struktur der Wertfunktion: Sie ist ein quadratisches "Quasi-Polynom", dessen Koeffizienten in nicht-trivialer Weise von der Position abhängen. Wir bestimmen dieses semi-explizit und führen ein Verifikationsargument durch. / We study optimal trading strategies of a risk-averse investor who has to liquidate a portfolio within a finite time horizon [0,T]. The investor has the option to trade at a traditional exchange (the "primary venue") which yields price impact and to place orders in a dark pool. The liquidity in dark pools is not openly displayed and dark pools do not contribute to the price formation process: orders are executed at the price of the primary venue. Hence, they have no price impact, but their execution is uncertain. The investor thus faces the trade-off between the price impact costs at the primary venue and the indirect costs resulting from the execution uncertainty in the dark pool. In a discrete-time market model we consider a cost functional which incorporates the expected price impact costs and market risk costs. For linear price impact, it is linear-quadratic and we obtain a recursion for the optimal trading strategy. For single asset liquidation, the investor trades out of her position at the primary venue, with the remainder being placed in the dark pool. For multi asset liquidation this is not optimal because of the correlation of the assets. In the presence of adverse selection in the one dimensional setting the dark pool is less attractive. In continuous time the liquidation constraint implies a singularity of the value function at the terminal time T. In the linear-quadratic case without adverse selection it is described by the limit of a sequence of solutions of a matrix differential equation. By means of a matrix inequality we obtain bounds of these solutions, the existence of the limit and a verification argument via HJB equation. In the presence of adverse selection the value function has an unusual structure, which we obtain via extensive heuristic considerations: it is a "quasi-polynomial" whose coefficients depend on the asset position in a non-trivial way. We characterize the value function semi-explicitly and carry out a verification argument.

Wir beweisen neuartige Konvergenz- und Approximationsresultate für die Lösungen einer Klasse von Modellen optimaler Portfolioliquidierung mit sofortigem Preiseinfluss und stochastischer Resilienz. Jedes betrachtete Liquidierungsproblem erlaubt nur absolut stetige Handelsstrategien, und die optimale Strategie ist durch ein voll gekoppeltes mehrdimensionales quadratisches BSDE-System mit einer singulären Endbedingung gegeben. Innerhalb unseres Modellierungsrahmens beweisen wir, dass wenn der Parameter des sofortigen Preiseinflusses gegen null konvergiert, der absolut stetige optimale Portfolioprozess gegen einen stochastischen Prozess konvergiert, der durch die eindeutige Lösung einer regulären eindimensionalen quadratischen BSDE gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert die Lösung eines Modells optimaler Portfolioliquidierung ohne sofortigen Preiseinfluss, aber mit allgemeiner Semimartingalkontrolle mit Sprüngen ist. Unser Resultat liefert einen vereinheitlichten Rahmen, in den die zwei am häufigsten gebrauchten Modellierungsrahmen der Literatur über optimale Liquidierung eingebettet werden können, und liefert eine Grundlage für die Nutzung von Semimartingalen als Liquidierungsstrategien und für die Nutzung von Portfolioprozessen von unbeschränkter Variation. Unsere Resultate beruhen auf neuartigen Konvergenzresultaten für BSDEs mit singulären Endbedingungen und auf einem neuartigen Resultat der Darstellung von Lösungen von BSDEs durch gleichmäßig stetige Funktionen von Vorwärtsprozessen. Wir beweisen außerdem, dass die optimale Lösung in der deterministischen Version des ursprünglichen Liquidierungsmodells gleichmäßig approximiert werden kann, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung verwendet wird, das um den singulären Punkt, an dem der sofortige Preiseinfluss verschwindet, entwickelt wird. Diese Approximation ist explizit darstellbar, was im Allgemeinen nicht für die optimale Lösung gilt. / We establish novel convergence and approximation results for the solutions to a class of optimal portfolio liquidation problems with instantaneous price impact and stochastic resilience. Each considered liquidation problem only allows for absolutely continuous trading strategies, and the optimal strategy is given in terms of a fully coupled multi-dimensional quadratic BSDE system with a singular terminal condition. Within our modeling framework, we prove that, when the instantaneous price impact parameter converges to zero, the absolutely continuous optimal portfolio process converges to a stochastic process that is given in terms of the unique solution to a regular one-dimensional quadratic BSDE. This limit turns out to be the solution to an optimal liquidation problem without instantaneous price impact, but with general semimartingale controls with jumps. Our result provides a unified framework within which to embed the two most commonly used modeling frameworks in the optimal liquidation literature and provides a foundation for the use of semimartingale liquidation strategies and the use of portfolio processes of unbounded variation. Our results are based on novel convergence results for BSDEs with singular terminal conditions and a novel representation result of BSDE solutions in terms of uniformly continuous functions of forward processes. We also prove that the optimal solution in the deterministic version of the original pre-limit optimal liquidation model can be approximated uniformly by using the first order Taylor polynomial expanded around the singular point where the instantaneous price impact vanishes. This approximation is explicitly computable, while the optimal solution generally is not.

Diese Arbeit behandelt zwei Gebiete: stochastische partielle Rückwerts-Differentialgleichungen (BSPDEs) und Mean-Field-Games (MFGs). Im ersten Teil wird über eine stochastische Variante der De Giorgischen Iteration ein Maximumprinzip für quasilineare reflektierte BSPDEs (RBSPDEs) auf allgemeinen Gebieten bewiesen. Als Folgerung erhalten wir ein Maximumprinzip für RBSPDEs auf beschränkten, sowie für BSPDEs auf allgemeinen Gebieten. Abschließend wird das lokale Verhalten schwacher Lösungen untersucht. Im zweiten Teil zeigen wir zunächst die Existenz von Gleichgewichten in MFGs mit singulärer Kontrolle. Wir beweisen, dass die Lösung eines MFG ohne Endkosten und ohne Kosten in der singulären Kontrolle durch die Lösungen eines MFGs mit strikt regulären Kontrollen approximiert werden kann. Die vorgelegten Existenz- und Approximationsresultat basieren entscheidend auf der Wahl der Storokhod M1 Topologie auf dem Raum der Càdlàg-Funktion. Anschließend betrachten wir ein MFG optimaler Portfolioliquidierung unter asymmetrischer Information. Die Lösung des MFG charakterisieren wir über eine stochastische Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung (FBSDE) mit singulärer Endbedingung der Rückwärtsgleichung oder alternativ über eine FBSDE mit endlicher Endbedingung, jedoch singulärem Treiber. Wir geben ein Fixpunktargument, um die Existenz und Eindeutigkeit einer Kurzzeitlösung in einem gewichteten Funktionenraum zu zeigen. Dies ermöglicht es, das ursprüngliche MFG mit entsprechenden MFGs ohne Zustandsendbedinung zu approximieren. Der zweite Teil wird abgeschlossen mit einem Leader-Follower-MFG mit Zustandsendbedingung im Kontext optimaler Portfolioliquidierung bei hierarchischer Agentenstruktur. Wir zeigen, dass das Problem beider Spielertypen auf singuläre FBSDEs zurückgeführt werden kann, welche mit ähnlichen Methoden wie im vorangegangen Abschnitt behandelt werden können. / The thesis is concerned with two topics: backward stochastic partial differential equations and mean filed games. In the first part, we establish a maximum principle for quasi-linear reflected backward stochastic partial differential equations (RBSPDEs) on a general domain by using a stochastic version of De Giorgi’s iteration. The maximum principle for RBSPDEs on a bounded domain and the maximum principle for BSPDEs on a general domain are obtained as byproducts. Finally, the local behavior of the weak solutions is considered. In the second part, we first establish the existence of equilibria to mean field games (MFGs) with singular controls. We also prove that the solutions to MFGs with no terminal cost and no cost from singular controls can be approximated by the solutions, respectively control rules, for MFGs with purely regular controls. Our existence and approximation results strongly hinge on the use of the Skorokhod M1 topology on the space of càdlàg functions. Subsequently, we consider an MFG of optimal portfolio liquidation under asymmetric information. We prove that the solution to the MFG can be characterized in terms of a forward backward stochastic differential equation (FBSDE) with possibly singular terminal condition on the backward component or, equivalently, in terms of an FBSDE with finite terminal value, yet singular driver. We apply the fixed point argument to prove the existence and uniqueness on a short time horizon in a weighted space. Our existence and uniqueness result allows to prove that our MFG can be approximated by a sequence of MFGs without state constraint. The final result of the second part is a leader follower MFG with terminal constraint arising from optimal portfolio liquidation between hierarchical agents. We show the problems for both follower and leader reduce to the solvability of singular FBSDEs, which can be solved by a modified approach of the previous result.

This thesis consists of a summary and five papers, dealing with financial applications of optimal stopping, optimal control and volatility. In Paper I, we present a method to recover a time-independent piecewise constant volatility from a finite set of perpetual American put option prices. In Paper II, we study the optimal liquidation problem under the assumption that the asset price follows a geometric Brownian motion with unknown drift, which takes one of two given values. The optimal strategy is to liquidate the first time the asset price falls below a monotonically increasing, continuous time-dependent boundary. In Paper III, we investigate the optimal liquidation problem under the assumption that the asset price follows a jump-diffusion with unknown intensity, which takes one of two given values. The best liquidation strategy is to sell the asset the first time the jump process falls below or goes above a monotone time-dependent boundary. Paper IV treats the optimal dividend problem in a model allowing for positive jumps of the underlying firm value. The optimal dividend strategy is of barrier type, i.e. to pay out all surplus above a certain level as dividends, and then pay nothing as long as the firm value is below this level. Finally, in Paper V it is shown that a necessary and sufficient condition for the explosion of implied volatility near expiry in exponential Lévy models is the existence of jumps towards the strike price in the underlying process.

In this thesis we investigate the problem of portfolio re-balancing for fixed periods using a cost/risk adaptation model and stochastic optimization. The cost/risk adaptation model takes theory of optimal liquidity costs and risk preference to build a universe in which we try to find better strategies than conventional ones. The results are focused on the comparison between the conventional execution strategies versus our developed model. We have found that our model outperforms the conventional methods for all assets that has been evaluated, and especially for investors whom value exposure to the markets higher.

In dieser Arbeit untersuchen wir mathematische Modelle für Finanzmärkte mit einem großen Händler, dessen Handelsaktivitäten transienten Einfluss auf die Preise der Anlagen haben. Zuerst beschäftigen wir uns mit der Frage, wie die Handelserlöse des großen Händlers definiert werden sollen. Wir identifizieren die Erlöse zunächst für absolutstetige Strategien als nichtlineares Integral, in welchem sowohl der Integrand als der Integrator von der Strategie abhängen. Unserere Hauptbeiträge sind hier die Identifizierung der Skorokhod M1 Topologie als geeigneter Topologue auf dem Raum aller Strategien sowie die stetige Erweiterung der Definition für die Handelserlöse von absolutstetigen auf cadlag Kontrollstrategien. Weiter lösen wir ein Liquidierungsproblem in einem multiplikativen Modell mit Preiseinfluss, in dem die Liquidität stochastisch ist. Die optimale Strategie wird beschrieben durch die Lokalzeit für Reflektion einer Diffusion an einer nicht-konstanten Grenze. Um die HJB-Variationsungleichung zu lösen und Optimalität zu beweisen, wenden wir probabilistische Argumente und Methoden aus der Variationsrechnung an, darunter Laplace-Transformierte von Lokalzeiten für Reflektion an elastischen Grenzen. In der zweiten Hälfte der Arbeit untersuchen wir die Absicherung (Hedging) für Optionen. Der minimale Superhedging-Preis ist die Viskositätslösung einer semi-linearen partiellen Differenzialgleichung, deren Nichtlinearität von dem transienten Preiseinfluss abhängt. Schließlich erweitern wir unsere Analyse auf Hedging-Probleme in Märkten mit mehreren riskanten Anlagen. Stabilitätsargumente führen zu strukturellen Bedingungen, welche für ein arbitragefreies Modell mit wechselseitigem Preis-Impakt gelten müssen. Zudem ermöglichen es jene Bedingungen, die Erlöse für allgemeine Strategien unendlicher Variation in stetiger Weise zu definieren. Als Anwendung lösen wir das Superhedging-Problem in einem additiven Preis-Impakt-Modell mit mehreren Anlagen. / In this thesis we study mathematical models of financial markets with a large trader (price impact models) whose actions have transient impact on the risky asset prices. At first, we study the question of how to define the large trader's proceeds from trading. To extend the proceeds functional to general controls, we ask for stability in the following sense: nearby trading activities should lead to nearby proceeds. Our main contribution in this part is to identify a suitable topology on the space of controls, namely the Skorokhod M1 topology, and to obtain the continuous extension of the proceeds functional for general cadlag controls. Secondly, we solve the optimal liquidation problem in a multiplicative price impact model where liquidity is stochastic. The optimal control is obtained as the reflection local time of a diffusion process reflected at a non-constant free boundary. To solve the HJB variational inequality and prove optimality, we need a combination of probabilistic arguments and calculus of variations methods, involving Laplace transforms of inverse local times for diffusions reflected at elastic boundaries. In the second half of the thesis we study the hedging problem for a large trader. We solve the problem of superhedging for European contingent claims in a multiplicative impact model using techniques from the theory of stochastic target problems. The minimal superhedging price is identified as the unique viscosity solution of a semi-linear pde, whose nonlinearity is governed by the transient nature of price impact. Finally, we extend our consideration to multi-asset models. Requiring stability leads to strong structural conditions that arbitrage-free models with cross-impact should satisfy. These conditions turn out to be crucial for identifying the proceeds functional for a general class of strategies. As an application, the problem of superhedging with cross-impact in additive price impact models is solved.