Let V( ) denote a local system of weight on X = A2;n(C), where X is the moduli space of principle polarized abelian varieties of genus 2 over C with xed n-level structure. The inner cohomology of X with coe cients in V( ), H3 ! (X;V( )), has a Hodge ltration of weight 3. Each term of this Hodge ltration can be presented as space of cuspidal automorphic representations of genus 2. We consider the purely non-holomorphic part of H3 ! (X;V( )) denoted by H3 Ends(X;V( )). First of all we show that there is a non-zero subspace of H3 Ends(X;V( )) denoted by V (K), where K is an open compact subgroup of GSp(4;A), such that elements of V (K) are obtained by the global theta lifting of cuspidal automorphic representations of GL(2) GL(2)=Gm. This means that there is a non-zero part of H3 Ends(X;V( )) which is endoscopic. Secondly, we consider the local theta correspondence and nd an explicit answer for the level of lifted cuspidal automorphic representations to GSp(4; F) over a non-archimedean local eld F. Therefore, we can present an explicit way for nding a basis for V (K) for a xed level structure K. ii There is a part of the Hodge structure that only contributes in H(3;0) ! (X;V( )) H(0;3) ! (X;V( )). This part is endoscopic and coming from the Yoshida lift from O(4). Finally, in the case X = A2, if eendo(A2;V( )) denotes the motive corresponded to the strict endoscopic part (the part that contributes only in non-holomorphic terms of the Hodge ltration), then we have eendo(A2;V( )) = s 1+ 2+4S[ 1 2 + 2]L 2+1; (1) where = ( 1; 2) and is far from walls. Here S[k] denotes the motive corresponded to Sk, the space of cuspidal automorphic forms of weight k and trivial level, and sk = dim(Sk). ii

Let V( ) denote a local system of weight on X = A2;n(C), where X is the moduli space of principle polarized abelian varieties of genus 2 over C with xed n-level structure. The inner cohomology of X with coe cients in V( ), H3 ! (X;V( )), has a Hodge ltration of weight 3. Each term of this Hodge ltration can be presented as space of cuspidal automorphic representations of genus 2. We consider the purely non-holomorphic part of H3 ! (X;V( )) denoted by H3 Ends(X;V( )). First of all we show that there is a non-zero subspace of H3 Ends(X;V( )) denoted by V (K), where K is an open compact subgroup of GSp(4;A), such that elements of V (K) are obtained by the global theta lifting of cuspidal automorphic representations of GL(2) GL(2)=Gm. This means that there is a non-zero part of H3 Ends(X;V( )) which is endoscopic. Secondly, we consider the local theta correspondence and nd an explicit answer for the level of lifted cuspidal automorphic representations to GSp(4; F) over a non-archimedean local eld F. Therefore, we can present an explicit way for nding a basis for V (K) for a xed level structure K. ii There is a part of the Hodge structure that only contributes in H(3;0) ! (X;V( )) H(0;3) ! (X;V( )). This part is endoscopic and coming from the Yoshida lift from O(4). Finally, in the case X = A2, if eendo(A2;V( )) denotes the motive corresponded to the strict endoscopic part (the part that contributes only in non-holomorphic terms of the Hodge ltration), then we have eendo(A2;V( )) = s 1+ 2+4S[ 1 2 + 2]L 2+1; (1) where = ( 1; 2) and is far from walls. Here S[k] denotes the motive corresponded to Sk, the space of cuspidal automorphic forms of weight k and trivial level, and sk = dim(Sk). ii

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第22231号 / 理博第4545号 / 新制||理||1653(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 池田 保, 教授 雪江 明彦, 教授 並河 良典 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Le résultat principal dans le travail présenté est le calcul explicite de la série génératrice des opérateurs de Hecke dans l'algèbre de Hecke locale pour les groupes symplectiques de genre 3 et 4. L'algorithme est basé sur l'isomorphisme de Satake, qui permet de réaliser toutes les opérations dans l'algèbre des polynômes à plusieurs variables. C'est la première fois que cette expression est calculée pour le genre 4. Pour obtenir le résultat principal, une méthode de calcul symbolique a été développée. Cette approche algorithmique s'applique à d'autres types de séries de Hecke. En particulier, nous formulons et prouvons un analogue du Lemme de Rankin pour le genre 2. Nous avons aussi calculé les séries génératrices des carrés symétriques et des cubes symétriques.<br /><br />Se basant sur nos résultats nous formulons une conjecture de modularité pour les convolutions des fonctions L spineurs associées aux formes modulaires de Siegel. Nous considérons d'autres conjectures importantes liées aux formes modulaires de Siegel et à leurs fonctions L. Nous utilisons ces constructions pour calculer les facteurs algébriques rationnels aux valeurs critiques de la fonction L spineur attachée à F12 de Miyawaki. A notre connaissance c'est le premier exemple d'une fonction L-spineur de forme parabolique de Siegel de degré 3, dont certaines valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.<br /><br />Finalement, nous appliquons la théorie des algèbres de Hecke pour construire des cryptosystèmes algébriques sur ensembles finis de classes à gauches dans l'algèbre de Hecke. Nous utilisons une relation entre les classes à gauches et les points sur certains variétés algébriques projectives.

L'auteur n'a pas fourni de résumé en français. / L'auteur n'a pas fourni de résumé en anglais.

Es sei Γ eine torsionsfreie arithmetische Untergruppe der symplektischen Gruppe Sp(n,R), die auf dem Siegelschen oberen Halbraum H_n vom Grad n wirkt. Wir betrachten den d-dimensionalen Raum der Siegelschen Spitzenformen vom Gewicht k zur Gruppe Γ, mit einer Orthonormalbasis {f_1,…,f_d}. In der vorliegenden Dissertation zeigen wir mit Hilfe des Wärmeleitungskerns, dass die Supremumsnorm von S_k(Z):=det(Y)^k (|f_1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) für n=2 ohne zusätzliche Bedingungen und für n>2 unter Annahme einer vermuteten Determinanten-Ungleichung nach oben beschränkt ist. Wenn M:=Γ\H_n kompakt ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} gegeben. Wenn M nicht kompakt und von endlichem Volumen ist, dann ist die obere Schranke durch c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} gegeben. In beiden Fällen ist c_(n,Γ) eine positive reelle Konstante, die nur vom Grad n und der Gruppe Γ abhängt. Wir zeigen weiter, dass die obere Schranke in dem Sinne gleichmäßig ist, dass bei fixierter Gruppe Γ_0 die Konstante c_(n,Γ) für Untergruppen Γ von endlichem Index nur vom Grad n und der Gruppe Γ_0 abhängt. / Let Γ be a torsion-free arithmetic subgroup of the symplectic group Sp(n,R) acting on the Siegel upper half-space H_n of degree n. Consider the d-dimensional space of Siegel cusp forms of weight k for Γ with an orthonormal basis {f_1,…,f_d}. In this thesis we show using the heat kernel method that for n=2 unconditionally and for n>2 subject to a conjectural determinant-inequality, the sup-norm of the quantity S_k(Z):=det(Y)^k (|f1(Z)|^2+…+|f_d(Z)|^2) (Z∈H_n) is bounded above by c_(n,Γ) k^{n(n+1)/2} when M:=Γ\H_n is compact and by c_(n,Γ) k^{3n(n+1)/4} when M is non-compact of finite volume, where c_(n,Γ) denotes a positive real constant depending only on the degree n and the group Γ. Furthermore, we show that this bound is uniform in the sense that if we fix a group Γ_0 and take Γ to be a subgroup of Γ_0 of finite index, then the constant c_(n,Γ) in these bounds depends only on the degree n and the fixed group Γ_0.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第23673号 / 理博第4763号 / 新制||理||1683(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 市野 篤史, 教授 雪江 明彦, 教授 池田 保 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM