La presente tesis tuvo como objetivo estudiar frentes de reacción modelados mediante la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky sujetos a diferentes tipos de movimiento de fluido: flujo externo de Poiseuille, el cual es contrastado con el flujo de Couette, y flujo convectivo debido a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor. En el primer caso, los frentes se propagan a favor o en contra de un flujo estacionario bidimensional entre dos placas paralelas que se conoce como flujo de Poiseuille. Para pequeñas distancias entre las placas, encontramos frentes estacionarios que pueden ser planos, simétricos o asimétricos, dependiendo de la separación de las placas y de la velocidad promedio del fluido externo. Adicionalmente, descubrimos que los frentes simétricos estables que se propagan en sentido opuesto al flujo simétrico externo se vuelven asimétricos al incrementar la rapidez del flujo externo. En el caso del flujo externo de Couette, el flujo es producido por el movimiento de dos placas paralelas en sentidos opuestos. Hallamos que la estabilidad y la forma de los frentes estacionarios dependen de la velocidad relativa entre las placas y de su separación. Estos parámetros desempeñan un papel importante, puesto que pueden convertir frentes inestables en estables. En el último caso, las inestabilidades en el frente producidas cuando un fluido más denso se encuentra encima de un fluido menos denso se conocen como inestabilidades de Rayleigh-Taylor y son causadas por la diferencia de densidades a través del frente bajo la acción de la gravedad. El frente describe la interfaz delgada que separa los fluidos de diferente densidad dentro de dos placas paralelas verticales; mientras que la convección causada por las fuerzas de flotación a través de la interfaz delgada determina el flujo debido a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor. Para el estudio de los efectos del flujo externo sobre los frentes de reacción, primero obtuvimos los frentes y luego realizaremos un análisis de estabilidad lineal para determinar la estabilidad de los frentes bajo los tres tipos de movimiento del fluido. La forma de los frentes y sus respectivas regiones de estabilidad fueron contrastadas con los frentes en ausencia de flujo externo. Los resultados de la investigación fueron publicados en tres revistas internacionales arbitradas e indexadas: Physical Review E (2012), Chaos (2014), y European Physics Journal (2014). Adicionalmente, la tesis presenta resultados para frentes oscilantes y sus transiciones al caos debido a la interacción del frente de reacción con los flujos externos antes mencionados. / Tesis

Se estudian los frentes químicos debido a reacción-difusión descritos por la ecuación Kuramoto-Sivanshinsky en un fluido de Poiseuille en un tubo. Se estudian las diferentes soluciones del frente variando el ancho del tubo y la velocidad media del flujo. Además se analizan las transacciones del frente plano a uno impar, y luego entre frentes pares e impares variando la velocidad media del flujo. Finalmente se analiza la transición al caos y los efectos del flujo en la transición. / Tesis

El objetivo principal de la presente tesis es presentar una aplicación de los teoremas de Montel sobre familia normales en los sistemas dinámicos, para así poder caracterizar los conjuntos de Julia, denotados por JR, definidos a través de una aplicación R meromorfa sobre C. Primero haremos un estudio de las propiedades de las funciones meromorfas sobre el plano complejo C y el plano complejo extendido C, además estableceremos algunas métricas para poder estudiar la convergencia de las aplicaciones meromorfas. Lo anterior nos permite introducirnos a las familias normales para funciones holomorfas y para funciones meromorfas la cual posee muchas propiedades que son usadas en la caracterización del conjunto de Julia. Para facilitar algunos resultados es preciso usar la conjugada de funciones meromorfas sobre C a través de las transformaciones de Möbius definidas en el plano complejo extendido. También es necesario el estudio de los puntos periódicos de las funciones meromorfas sobre C obteniéndose una serie de propiedades que serán importantes en el estudio del conjunto Julia. Finalmente es vital el estudio del conjunto de puntos excepcionales la cual nos dan una serie de propiedades, para así poder dar una caracterización al conjunto de Julia. Dichas caracterizaciones son tales como, la invariancia del conjunto de Julia, JR, por la aplicación R y por su respectiva inversa; que el conjunto JR es igual a su conjunto de puntos de acumulación; que el conjunto JR coincide con C, siempre que JR posea algún punto interior; que JR coincide con la frontera de la cuenca atractora generada por un punto atractor α ; y el más importante que el conjunto de julia JR, coincide con el cierre de los puntos repulsores fijos de todos los órdenes . / Tesis

This work consists of applying methods of dynamical systems in complex variables to an applied problem: nding the roots of an arbitrary polynomial. Speci cally, we use the iteration z 7! z2 + c to nd the roots of a complex polynomial p(z). By applying that iteration we can use concepts of complex analysis and linear algebra, such as the Mandelbrot set and the Vandermonde matrix to tackle our problem. We see how these ideas have applications in other contexts, such as number theory. We add the discussion of pseudo code and code written in Python 3, for the sake of doing experiments that illustrate the di erent sections of this thesis. This discussion let us analyse the computational complexity of the algorithm on top of the mathematical discussion.

Se estudian los frentes químicos debido a reacción-difusión descritos por la ecuación Kuramoto-Sivanshinsky en un fluido de Poiseuille en un tubo. Se estudian las diferentes soluciones del frente variando el ancho del tubo y la velocidad media del flujo. Además se analizan las transacciones del frente plano a uno impar, y luego entre frentes pares e impares variando la velocidad media del flujo. Finalmente se analiza la transición al caos y los efectos del flujo en la transición.

Este trabajo se adentra en la exploración de las aplicaciones de la geometría simpléctica en la física en el contexto de la mecánica clásica. La motivación subyacente a esta exploración radica en la comprensión de que la teoría convencional proporcionada por la literatura tradicional resulta insuficiente para analizar todas las complejidades que un sistema físico puede resentar. Por ejemplo, asegurar la existencia de trayectorias periódicas o identificar simetrías en el sistema no puede alcanzarse plenamente con los conocimientos clásicos de la mecánica. Por lo tanto, se hace imperativo incorporar los conceptos de geometría diferencial y sistemas dinámicos en el marco de la mecánica. Para alcanzar este objetivo, comenzaremos por revisar los fundamentos de la mecánica, enfocándonos inicialmente en los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano. A medida que desarrollemos estos conceptos esenciales, observaremos cómo emergen de manera natural los conceptos de variedades diferenciales, formas diferenciales, formas simplécticas y otros elementos relacionados con la geometría diferencial y simpléctica. Adicionalmente, profundizaremos en la teoría de invariantes, donde presentaremos y demostraremos el teorema de Noether en el contexto de la geometría diferencial. Este teorema proporcionará una comprensión más profunda para abordar los sistemas físicos desde una perspectiva geométrica. Finalmente, exploraremos cómo estas influyentes teorías matemáticas, tanto la teoría de invariantes como la geometría simpléctica, nos dotarán de herramientas más sólidas para enfrentar las complejidades de los sistemas físicos analizados en la literatura de la mecánica clásica, permitiéndonos resolverlos de manera más efectiva.

Surface tension driven convection affects the propagation of chemical reaction fronts in liquids. The changes in surface tension across the front generate this type of convection. The resulting fluid motion increases the speed and changes the shape of fronts as observed in the iodate-arsenous acid reaction. We calculate these effects using a thin front approximation, where the reaction front is modeled by an abrupt discontinuity between reacted and unreacted substances. We analyze the propagation of reaction fronts of small curvature. In this case the front propagation equation becomes the deterministic Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation with the addition of fluid flow. These results are compared to calculations based on a set of reaction-diffusion-convection equations.

En este trabajo desarrollaremos dos aspectos de Dinámica: El primero que trata sobre la dinámica de funciones que van de un intervalo en si mismo, introduciremos las cadenas de Markov y algunos resultados previos para alcanzar al final el teorema de Sharkovsky demostrado con grafos, el cual lo haremos en la primera parte de este trabajo. La segunda parte de este trabajo tratará sobre la teoría ergódica, nos enfocaremos en dos de los teoremas fundamentales que son el teorema de recurrencia de Poincaré y el teorema de Birkhoff. / Tesis

La presente tesis tuvo como objetivo estudiar frentes de reacción modelados mediante la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky sujetos a diferentes tipos de movimiento de fluido: flujo externo de Poiseuille, el cual es contrastado con el flujo de Couette, y flujo convectivo debido a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor. En el primer caso, los frentes se propagan a favor o en contra de un flujo estacionario bidimensional entre dos placas paralelas que se conoce como flujo de Poiseuille. Para pequeñas distancias entre las placas, encontramos frentes estacionarios que pueden ser planos, simétricos o asimétricos, dependiendo de la separación de las placas y de la velocidad promedio del fluido externo. Adicionalmente, descubrimos que los frentes simétricos estables que se propagan en sentido opuesto al flujo simétrico externo se vuelven asimétricos al incrementar la rapidez del flujo externo. En el caso del flujo externo de Couette, el flujo es producido por el movimiento de dos placas paralelas en sentidos opuestos. Hallamos que la estabilidad y la forma de los frentes estacionarios dependen de la velocidad relativa entre las placas y de su separación. Estos parámetros desempeñan un papel importante, puesto que pueden convertir frentes inestables en estables. En el último caso, las inestabilidades en el frente producidas cuando un fluido más denso se encuentra encima de un fluido menos denso se conocen como inestabilidades de Rayleigh-Taylor y son causadas por la diferencia de densidades a través del frente bajo la acción de la gravedad. El frente describe la interfaz delgada que separa los fluidos de diferente densidad dentro de dos placas paralelas verticales; mientras que la convección causada por las fuerzas de flotación a través de la interfaz delgada determina el flujo debido a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor. Para el estudio de los efectos del flujo externo sobre los frentes de reacción, primero obtuvimos los frentes y luego realizaremos un análisis de estabilidad lineal para determinar la estabilidad de los frentes bajo los tres tipos de movimiento del fluido. La forma de los frentes y sus respectivas regiones de estabilidad fueron contrastadas con los frentes en ausencia de flujo externo. Los resultados de la investigación fueron publicados en tres revistas internacionales arbitradas e indexadas: Physical Review E (2012), Chaos (2014), y European Physics Journal (2014). Adicionalmente, la tesis presenta resultados para frentes oscilantes y sus transiciones al caos debido a la interacción del frente de reacción con los flujos externos antes mencionados.

El objetivo general de esta tesis es estudiar teórica y experimentalmente el comportamiento dinámico de una estructura articulada construida a partir de elementos viga y barra que es utilizada como modelo simplificado de un ala articulada de una aeronave subsónica y cuya geometría es modificada mediante un sistema propuesto de actuación análogo al hallado en una articulación del dedo humano. Inspirado en los sistemas de extensión y flexión del dedo humano, el sistema propuesto de actuación consiste en el uso de cables tensores a modo de tendones artificiales para modificar la rigidez y permitir el cambio geométrico de la estructura estudiada. Al permitir que alas articuladas adapten una posición óptima durante todas las fases de vuelo, este sistema de actuación generaría operaciones más eficientes y una menor huella de carbono que las alas rígidas, las cuales están normalmente diseñadas para tener un desempeño óptimo sólo en el rango de velocidad crucero. Para estudiar el comportamiento dinámico de la estructura articulada con tendones artificiales, se desarrollaron tres modelos matemáticos y se formularon sus ecuaciones de movimiento. Asimismo, se construyó un modelo experimental y se diseñó tres grupos de experimentos para evaluar los efectos de las variaciones de tensión y geometría sobre las frecuencias naturales de la estructura. A partir de la comparación de resultados teóricos y experimentales, se concluyó que los modelos matemáticos propuestos son adecuados para predecir el comportamiento dinámico de la estructura articulada con tendones artificiales, y que las modificaciones de tensión y geometría reconfiguran las frecuencias naturales del sistema dinámico. / The objective of this thesis is to study theoretically and experimentally the dynamic response of an articulated structure based on beam and bar elements that is used as a simplified model of an articulated subsonic aircraft wing, and whose geometry is modified through a proposed actuation system analogous to the one found in an articulation of the human finger. Inspired in the extension and flexion systems of the human finger, the proposed actuation system consists of tensioning cables that work as artificial tendons to modify both stiffness and geometry of the structure in study. By enabling articulated wings to adapt an optimal position during all flight phases, the proposed actuation system would generate more efficient operations and a smaller carbon footprint than rigid wings, which are typically designed to perform optimally at cruise only. To study the dynamic response of an articulated structure with artificial tendons, three mathematical models were developed, and their equations of motion were formulated. Additionally, an experimental model was built, and three groups of experiments were designed to evaluate the effects of the variation in tension and wing position (extension/flexion) upon the natural frequencies of the structure. Based on the assessment of theoretical and experimental results, it was concluded that the mathematical models proposed for the articulated structure actuated with artificial tendons are adequate to predict the dynamic response of the structure, and that variations in tension and wing position (extension/flexion) reconfigure the natural frequencies of the dynamic system.