After introducing the nonlinear evolution equations of interest: the finite depth fluid (FDF), the Kadomtsev-Petviashvili (KP), the Classical and the ordinary Boussinesq equations, formal asymptotic derivations of the KP and the FDF equations are given for the description of surface and interfacial waves. The N-soliton solution of the FDF equation is reconstructed as a finite sum of Wronskian type determinants. This solution is then shown to reduce to the solutions of the KdV and the Benjamin - Ono equations under specific limiting conditions. Interactions between two solitons of the FDF equation are studied and their interaction properties are shown to reduce to those of the KdV and the Benjamin - Ono equations. Computer plots of the interactions of two-soliton solutions of the FDF and the Benjamin - Ono equations are given. Resonance phenomena in solitons are studied with reference to the KP equation. After discussion of the basic concepts of these phenomena, the N-soliton solution is shown to reduce to the Wronskian of N/2 functions (N-even), each of which represents a triad of solitons when the solitons resonate in pairs. Asymptotic behaviour of the interactions between a triad and a soliton and between two triads are examined and the phase shifts of the triads are obtained directly from the Wronskian representation. The interactions are analysed in detail with reference to numerical computations of the full solutions. After showing that the Classical Boussinesq equations are obtained from Whitham's shallow water wave equations, the basic concept of Hirota's pq=c reduction of the first modified KP hierarchy is outlined. The Classical Boussinesq equations are shown as the pq=O reduction of the same hierarchy. The solution of the hierarchy is manipulated to incorporate the pq=O reduction. As a result of these limiting procedures applied to the problem, Wronskian solutions of the Classical Boussinesq equations in terms of rational functions are produced. Finally the pq=c reduction of the KP hierarchy is applied to the ordinary Boussinesq equation. Using this, the N-soliton solution is expressed as a finite sum of Wronskian type determinants. Analytic verification made for the two-soliton solution shows that a number of Wronskian identities are needed for this purpose. The reason for this behaviour is examined.

Η διακριτοποίηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) αποτελεί κεντρικό βήμα στην αριθμητική τους επίλυση, και ως εκ τούτου είναι ένα από τα βασικά θέματα στα σύγχρονα μαθηματικά. Η μετάβαση από τη συνεχή ΜΔΕ στο αντίστοιχο διακριτό σύστημα μπορεί να γίνει με διάφορες αριθμητικές μεθόδους, ωστόσο δεν είναι όλες οι μέθοδοι εξίσου κατάλληλες και οφείλουμε πάντα να αναζητήσουμε την αρμόζουσα διακριτοποίηση για το εκάστοτε πρόβλημα. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται φανερό, μέσω του απλού παραδείγματος της λογιστικής εξίσωσης, πως μια αφελής διακριτοποίηση δύναται να αλλάξει δραματικά τη φύση του προβλήματος και των λύσεών του. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτεί η διατήρηση (πριν και μετά τη διακριτοποίηση) των συμμετριών και των αναλλοίωτων μεγεθών του προβλήματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την περίπτωση της εξίσωσης sine-Gordon, εστιάζοντας στις σολιτονικές της λύσεις. Στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η εξίσωση αυτή. Στο 3ο κεφάλαιο μέσω δύο διαφορετικών μεθόδων διακριτοποίησης, δείχνουμε τί ακριβώς πρέπει να προσέξει κανείς έτσι ώστε να δέχεται και το διακριτό σύστημα σολιτονικές λύσεις. Ως γνωστόν οι σολιτονικές λύσεις οφείλουν να πληρούν την ιδιότητα να παραμένουν αναλλοίωτες, διατηρώντας την ταχύτητα και το πλάτος τους πριν και μετά την αλληλεπίδρασή τους. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά τα συμπεράσματα της παρούσας εργασίας ενώ συγκρίνουμε και τις δύο μεθόδους αριθμητικής επίλυσης που αναφέραμε. / The discretization of partial differential equations (PDEs) is a key step in their numerical solution, and therefore is one of the main issues in modern mathematics. The transition from continuous PDEs to their discrete counterparts can be done by various numerical methods, though not all methods are equally suitable; for this reason one should be careful to use an appropriate discretization method for each specific problem. In the first chapter it becomes clear, through the simple example of the logistic equation, that a naive discretization may dramatically change the nature of the problem and its solutions. Particular attention needs to be paid to the preservation (before and after the discretization) of the symmetries and invariant quantities of the problem. In the present work we study the case of the famous sine-Gordon equation, focusing on its soliton solutions. The second chapter presents a step-by-step derivation of the aforementioned equation. In the third chapter we show, by means of two different discretization schemes, which conditions must be met in order to guarantee that also the discrete system will admit soliton solutions. As is well known, soliton solutions are required to remain unchanged when they interact with each other, maintaining their speed and amplitude before and after the interaction. In the fourth chapter we summarize the conclusions of this work and draw a comparison between the two numerical schemes we have studied.

Les systèmes non linéaires sont décrits pour la plupart avec des équations aux dérivées partiellesqui les caractérisent, comme la chaine de pendules couplés, la chaine de protéines comportant des molécules avec liaisons hydrogène, les réseaux atomiques ...etc. Ces modèles comportent le plus souvent des interactions inter particulaires anharmoniques et des potentiels de substrat déformables. En effet, aux conséquences importantes dues à la non linéarité et à la dispersion, ces autres phénomènes comme l’anharmonicité et la déformabilité conduisent à d’autres propriétés de propagation des ondes solitaires telles que les compactons, les kinks et les antikinks , les peakons , … ainsi qu’à la capacité du système à transmettre un signal. Nous utilisons ici la méthode de bifurcation pour tracer les différents portraits de phases obtenus par variation des paramètres du système. Nous mettons en évidence l’influence du facteur d’anharmonicité sur la transmissivité et la bistabilité du système: Il en ressort que l’amplitude du signal d’entrée qui produit la bistabilité augmente avec la valeur absolue du coefficient d’anharmonicité et la bistabilité est retardée. En tenant compte des propriétés importantes générées par de tels systèmes, il nous a paru intéressant de construire une ligne électrique caractérisée par les mêmes équations, mais en doublant sur un tronçon de 10 cellules la valeur de la capacité par rapport à celles des 10 condensateurs suivants, et en reproduisant ce motif avec une périodicité de 20 cellules. Nous réalisons ainsi un super réseau qui simule un neurone myélinisé. Les types de solitons obtenus semblent mieux adaptés pour décrire le signal électrique qui caractérise l’influx neuronal localisé dans l’espace avec un support compact. / Non-linear systems are almostly described by partial differential equations that characterize them. We have some systems such as the chain of coupled pebdelums, the protein chain comprising molecules with hydrogen bonds, atomic lattice, and so on .These systems are most often characterized by anharmonic inter particulate interactions and and then immersed in deformable potential substrates. In addition to nonlinearity and dispersion, these other phenomena namely anharmonicity and deformability are responsible for certain properties of propagation of solitary waves such as (compactons, kinks and anti-kinks, peackons, ...etc) and also the ability of the systems to transmit a signal . We used the bifurcation method to plot the different phase portraits obtained . For various parameters of such systems , we have highlighted the influence of anharmonicity on transmissivity and bistability of the system: It appears that the amplitude of the input signal which produces bistability increases with anharmonicity and the bistability is delayed.To considering these important properties generated by such systems, it seemed interesting to buildin an electrical line characterized by the same equations of the system. By alternately doubling the capacitance of the capacitors of a section of this line, we have realised a super-lattice that simulates a myelinised neuron. The types of solitons we get from this line are better adapted to describe the electrical signal which characterizes the neuron impulse located in space with a compact support.

We investigate classically (iso)spinning topological soliton solutions in (2+1)- and (3+1)-dimensional models; more explicitly isospinning lump solutions in (2+1) dimensions, Skyrme solitons in (2+1) and (3+1) dimensions and Hopf soliton solutions in (3 +1) dimensions. For example, such soliton types can be used to describe quasiparticle excitations in ferromagnetic quantum Hall systems, can model spin and isospin states of nuclei and may be candidates to model glueball configurations in QCD.Unlike previous work, we do not impose any spatial symmetries on the isospinning soliton configurations and we explicitly allow the isospinning solitons to deform and break the symmetries of the static configurations. It turns out that soliton deformations clearly cannot be ignored. Depending on the topological model under investigation they can give rise to new types of instabilities, can result in new solution types which are unstable for vanishing isospin, can rearrange the spectrum of minimal energy solutions and can allow for transitions between different minimal-energy solutions in a given topological sector. Evidently, our numerical results on classically isospinning, arbitrarily deforming solitons are relevant for the quantization of classical soliton solutions.

Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η σύνδεση της μοντέρνας θεωρίας σολιτονίων με την κλασική διαφορική γεωμετρία. Ειδικότερα, αρχίζουμε με ένα εισαγωγικό μέρος, όπου παραθέτουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν: α) Τις λύσεις μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) που ονομάζονται σολιτόνια (solitons) και β) Την γεωμετρία των ομαλών καμπυλών και επιφανειών του Ευκλείδειου χώρου). Ακολουθεί, το δεύτερο και κύριο μέρος, στο οποίο μελετάμε την σχέση τριών χαρακτηριστικών μη-γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, της εξίσωσης sine-Gordon, της τροποποιημένης εξίσωσης Korteweg de Vries (mKdV) και της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS), με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών. Αναλυτικότερα, στο πρώτο μέρος και πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια ιστορική αναδρομή στην έννοια του σολιτονίου. Στην συνέχεια αναζητούμε κυματικές-σολιτονικές λύσεις για τις εξισώσεις KdV και NLS. Κλείνουμε παραθέτοντας τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μια μη γραμμική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη. Επιλέγουμε να αναλύσουμε δύο από αυτές τις προϋποθέσεις, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, ενώ, για τις άλλες δύο, περιοριζόμαστε σε μια συνοπτική περιγραφή . Στο δεύτερο κεφάλαιο του εισαγωγικού μέρους γίνεται μια εκτενής αναφορά σε θεμελιώδεις έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, οι έννοιες αυτές σχετίζονται με την θεωρία καμπυλών και επιφανειών και για ορισμένες από αυτές παρουσιάζουμε κάποια αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Ακολουθεί το κύριο μέρος και ειδικότερα το πρώτο κεφάλαιο, στο οποίο, μελετώντας υπερβολικές επιφάνειες, καταλήγουμε σε ένα κλασικό μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Είναι αυτό που οφείλουμε στον Bianchi και το οποίο ενσωματώνει τις εξισώσεις Gauss-Mainardi-Codazzi. Στην συνέχεια, περιοριζόμαστε στις ψευδοσφαιρικές επιφάνειες και έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon. Ακολουθεί η ενότητα 1.2, στην οποία βρίσκουμε τον μετασχηματισμό auto-Bäcklund για την εξίσωση sine-Gordon και περιγράφουμε την γεωμετρική διαδικασία για την κατασκευή ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Στην ενότητα 1.3, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετασχηματισμό Bäcklund, καταλήγουμε στο Θεώρημα Αντιμεταθετικότητας του Bianchi. Συνεχίζουμε με την ενότητα 1.4, στην οποία παρουσιάζουμε ψευδοσφαιρικές επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις της εξίσωσης sine-Gordon. Πιο αναλυτικά, στην υποενότητα 1.4.1 κατασκευάζουμε την ψευδόσφαιρα του Beltrami, η οποία αντιστοιχεί στην στάσιμη μονο-σολιτονική λύση. Στην υποενότητα 1.4.2 μελετάμε το ελικοειδές που δημιουργείται από την έλκουσα καμπύλη, δηλαδή την επιφάνεια Dini, την οποία και κατασκευάζουμε. Ακολουθεί η υποενότητα 1.4.3, όπου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα μεταθετικότητας, καταλήγουμε στην λύση δύο-σολιτονίων για την εξίσωση sine-Gordon και συνεχίζουμε με την υποενότητα 1.4.4, όπου κατασκευάζουμε περιοδικές λύσεις των δύο-σολιτονίων γνωστές ως breathers. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την κίνηση συγκεκριμένων καμπυλών και επιφανειών, οι οποίες οδηγούν σε σολιτονικές εξισώσεις. Ειδικότερα, στην ενότητα 2.1 καταλήγουμε στην εξίσωση sine-Gordon μέσω της κίνησης μιας μη-εκτατής καμπύλης σταθερής καμπυλότητας ή στρέψης. Ακολουθεί η ενότητα 2.2, όπου η εξίσωση sine- Gordon προκύπτει ως η συνθήκη συμβατότητας για το 2 2 γραμμικό σύστημα AKNS. Στην συνέχεια, στην ενότητα 2.3 ασχολούμαστε με την κίνηση ψευδοσφαιρικών επιφανειών. Πιο συγκεκριμένα, στην υποενότητα 2.3.1 συνδέουμε την κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας με ένα μη αρμονικό μοντέλο πλέγματος, το οποίο ενσωματώνει την εξίσωση mKdV. Επιπλέον, στην υποενότητα 2.3.2 δείχνουμε ότι η καθαρά κάθετη κίνηση μιας ψευδοσφαιρικής επιφάνειας, παράγει το κλασικό σύστημα Weingarten. Ολοκληρώνουμε την ενότητα 2.3 με την κατασκευή των μετασχηματισμών Bäcklund τόσο για το μοντέλο πλέγματος, όσο και για το σύστημα Weingarten. Το κεφάλαιο κλείνει με την ενότητα 2.4, όπου μέσω της κίνησης μιας μη εκτατής καμπύλης μηδενικής στρέψης, καταλήγουμε στην εξίσωση mKdV. Στην συνέχεια μελετάμε την κίνηση των επιφανειών Dini και τελικά κατασκευάζουμε επιφάνειες που αντιστοιχούν στο τριπλά ορθογώνιο σύστημα Weingarten. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση NLS. Πιο συγκεκριμένα, στην ενότητα 3.1 καταλήγουμε στην εξίσωση NLS μ’ έναν καθαρά γεωμετρικό τρόπο. Επιπλέον, κατασκευάζουμε επιφάνειες, οι οποίες αντιστοιχούν στην μονο-σολιτονική λύση της εξίσωσης NLS και παρουσιάζουμε γι’ αυτές κάποιες γενικές γεωμετρικές ιδιότητες. Το κεφάλαιο 3 ολοκληρώνεται με την ενότητα 3.3 όπου αρχικά λαμβάνουμε ακόμη μια φορά την εξίσωση NLS, χρησιμοποιώντας την μελέτη στην κινηματική των Marris και Passman. Κλείνουμε και αυτό το κεφάλαιο με τον auto- Bäcklund μετασχηματισμό για την εξίσωση NLS και επιπλέον παρουσιάζουμε χωρικά περιοδικές λύσεις της, γνωστές ως smoke-ring (δαχτυλίδι-καπνού). / The aim of this diploma thesis is to find a connection between modern soliton theory and classical differential geometry. More particularly, we begin with an introductory section, where we present the basic concepts regarding soliton equations and the geometry of smooth curves ans surfaces. This is followed by the main body of the thesis, which focuses on three partial differential equations, namely, the sine-Gordon equation, the modified Korteweg de Vries equation (mKdV) and the nonlinear Scrödinger equation (NLS), and their connection to the theory of curves and surfaces. The first introductory chapter is a historical overview of the notion of solitons. We then seek travelling wave solutions for the KdV and NLS equations. Closing, we quote the conditions under which a nonlinear equation is integrable. We choose to analyze in detail two of these conditions while we settle for a brief description of the other two. The second chapter is an extensive report on fundamental concepts of differential geometry, namely, those associated with the theory of curves and surfaces in Euclidean three-dimensional space, and we present some representative examples. Chapter 1 of the main part, opens with the derivation of a classical nonlinear system which we owe to Bianchi and embodies the Gauss-Mainardi-Codazzi equations. We then specialise to pseudospherical surfaces and produce the sine-Gordon equation. Section 1.2 includes the derivation of the auto-Bäcklund transformation for the sine-Gordon equation along with the geometric procedure for the construction of pseudospherical surfaces. In section 1.3, we use the above transformation to conclude to Bianchi’s Permutability Theorem. We continue to section 1.4, where we present certain pseudospherical surfaces. These surfaces correspond to solitonic solutions of the sine- Gordon equation, i.e. in subsection 1.4.1 we construct the pseudosphere which corresponds to the stationary single soliton solution. Also, in subsection 1.4.2 we examine the helicoid that is created by the tractrix, namely, the Dini surface. In section 1.4.3, by use of Bianchi’s Permutability Theorem, we end up in the two-soliton solution for the sine-Gordon equation and continue in the next subsection, where we present periodic two-soliton solutions, known as breathers. In Chapter 2, we show how certain motions of curves and surfaces can lead to solitonic equations. More precisely, in section 2.1, we arrive at the sine-Gordon equation, through the motion of an inextensible curve of constant curvature or torsion. Then, section 2.2 displays how the sine-Gordon equation arises as the compatibility condition for the linear 2 2 AKNS system. In section 2.3 we study the movement of pseudospherical surfaces. In particular, we connect, in subsection 2.3.1, the motion of a pseudospherical surface to a continuum version of an unharmonic lattice model, which encorporates the mKdV equation. Moreover, in subsection 2.3.2, we show that a purely normal motion of a pseudospherical surface produces the classical Weingarten system. We conclude section 2.3 by constructing the Bäcklund transformation both for the lattice model and the Weingarten system. The chapter ends with section 2.4, where through the motion of an inextensible curve of zero torsion, we produce the mKdV equation. Furthermore, we investigate the motion of Dini surfaces and, finally, construct surfaces corresponding to the triply orthogonal Weingarten system. The third and final chapter focuses on the NLS equation. In section 3.1 we produce the NLS equation through a purely geometric manner. We then construct surfaces, that correspond to the single-soliton solution of this equation, and also present certain general geometric properties of them. We conclude the final chapter with the auto-Bäcklund transformation for the NLS equation and the presentation of spatially periodic solutions, known as smoke-ring.