ON ETEND AUX OPERATEURS FERMES A DOMAINE DENSE DANS UN HILBERT LA NOTION D'EQUIVALENCE MODULO LES COMPACTS, PUIS CELLE D'OPERATEURS ESSENTIELLEMENT NORMAUX C'EST-A-DIRE TELS QUE LEUR COMMUTANT EST COMPACT. ON PRESENTE ENSUITE UNE GENERALISATION D'UN THEOREME DE BROWN-DOUGLAS-FILLMORE 5 QUI DIT QUE TOUT OPERATEUR CONTINU SUR UN HILBERT SEPARABLE, ESSENTIELLEMENT NORMAL ET DONT TOUS LES INDICES SONT NULS SUR SA RESOLVANTE DE FREDHOLM, S'ECRIT COMME SOMME D'UN OPERATEUR NORMAL ET D'UN OPERATEUR COMPACT

Nous étudions les espaces de formes harmoniques $L^2$ essentiellement sur les variétés de volume fini, à courbure négative et pincée. Notre but est d'en trouver une interprétation topologique. Nous montrons, dans un premier temps, que si la courbure est suffisamment pincée, il y a une telle interprétation simple de ces espaces. Nous construisons également des exemples qui montrent que notre hypothèse de pincement de la courbure est nécessaire et optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons des variétés qui sont de plus kaehlériennes, et nous montrons, sans hypothèse sur le pincement, qu'on peut donner une interprétation topologique de l'espace des k-formes harmoniques $L^2$, pour certains entiers k. Enfin, nous étudions plus généralement la $L^p$-cohomologie de nos variétés.

Cette thèse se compose de deux parties principales. La première a pour objet la régularité maximale des équations d'évolution. Plus précisemment, étant donnée une famille d'opérateurs dépendant du temps, on s'intéresse à l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy non-autonome associé. Sous l'hypothèse de continuité relative, on montre que la régularité maximale de la famille se ramène à la régularité de chaque opérateur. Nous obtenons des résultats de même nature pour le problème du second ordre. Dans la deuxième partie, deux problèmes de théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger sur les variétés sont abordés. Tout d'abord, on obtient une minoration du bas du spectre essentiel au moyen de quantités liées au potentiel. Ce résultat permet notamment d'obtenir des critères de compacité de la résolvante. Le dernier chapitre traîte d'estimation du type Cwikel-Lieb-Rozenblum du nombre de valeurs propres qui apparaissent sous le spectre essentiel. La majoration obtenue fait directement intervenir le noyau de la chaleur du Laplacien sur la variété.

Le problème de diffraction électromagnétique gouverné par les équations de Maxwell admet une formulation équivalente par une équation intégrale volumique fortement singulière. Cette thèse a pour but d'examiner l'opérateur intégral qui décrit cette équation. La première partie de ce manuscrit porte sur l'étude de son spectre essentiel. Cette analyse est intéressante en vue d'obtenir les conditions nécessaires et suffisantes pour avoir l'unicité de solutions du problème surtout quand il s'agirait de la diffraction des ondes par des matériaux négatifs où les techniques classiques perdent leurs utilité. Après avoir justifié le bon choix du cadre fonctionnel, nous étudions tout d'abord le cas où les paramètres caractéristiques du milieu à savoir la permittivité électrique et la perméabilité magnétique sont constants par morceaux avec discontinuité au travers du bord de la cible. Dans ce cadre, nous donnons une réponse complète à la question pour les domaines réguliers et Lipschitziens. Ensuite, et à l'aide d'une technique de localisation, nous donnons une extension de ces résultats dans le cas des paramètres réguliers par morceaux pour deux opérateurs intégraux, l'un qui correspond à la version diélectrique du problème et l'autre pour sa version magnétique. Nous terminons cette thèse par l'étude de la dérivée de forme des opérateurs diélectrique et magnétique et nous en déduisons une nouvelle caractérisation de la dérivée de forme des solutions des deux problèmes de diffraction. / The electromagnetic diffraction problem which is governed by the Maxwell equations admits an equivalent formulation in terms of a strongly singular volume integral equation. This thesis aims to examine the integral operator that describes this equation. The first part of this document focuses on the study of its essential spectrum. This analysis is interesting to get the necessary and sufficient conditions of solution uniqueness of the problem especially when we consider the diffraction of waves by negative materials where classic tools lose their usefulness. After justifying the adequate choice of the functional framework, we first study the case where the characteristics parameters of the medium like the electric permittivity and magnetic permeability are piecewise constant with discontinuity across the boundary of the target. In this context, we give a full answer to the question for smooth and Lipschitz domains. Then, by using a localization technique, we give an extension of those results in the case of piecewise regular parameters for two integrals operators, one which corresponds to the dielectric version of the problem and the other for its magnetic version. We end this thesis by the study of the shape derivative of the dielectric and magnetic operators and we derive a new characterization of the shape derivative of the two diffraction problems solution.

Dans cette these, produit de techniques issues de la theorie des $C^*$-algebres et de la theorie spectrale, nous etablissons de nouveaux resultats concernant les proprietes spectrales d'operateurs agissant sur les arbres et divers criteres concernant la stabilite du spectre essentiel d'operateurs non-bornes.<br />Elle se compose de trois articles.<br /><br />Les deux premiers traitent de la theorie spectrale et de la diffusion des operateurs de Schroedinger sur un arbre et de sa generalisation naturelle aux espaces de Fock. Les problemes abordes sont : la validite de l'estimation de Mourre et la caracterisation du spectre essentiel d'operateurs anisotropes par des methodes $C^*$-algebriques.<br /><br />Dans le troisieme article, nous nous proposons une recherche de criteres de stabilite du spectre essentiel pour des operateurs agissant sur des modules de Banach. Les applications couvrent les operateurs de Dirac, les perturbations de metriques riemanniennes, les operateurs sous forme divergence et bien d'autres. Outre son formalisme algebrique, ce travail est caracterise par l'absence de conditions de regularite dans les hypotheses.

Cette thèse porte principalement sur l'étude spectrale de divers modèles neutroniques. Elle consiste en trois parties complémentaires. La première partie est consacrée aux problèmes d'applications spectrales dans les domaines non bornés, où faute de compacité les méthodes usuelles n'opèrent plus. A l'aide d'arguments d'analyse fonctionnelle sur le spectre critique des semigroupes perturbés nous cernons une large classe de paramètres liés à l'équation pour lesquels le théorème d'application spectrale a lieu. Dans la deuxième partie, nous apportons une nouvelle approche, dite résolvante, de la stabilité des spectres essentiel et critique des semigroupes perturbés dans les espaces de Hilbert. En neutronique, par le biais de cette approche, nous retrouvons des résultats classiques de stabilité de spectre essentiel dans les domaines bornés et nous améliorons certains résultats de la première partie dans les domaines non bornés. La troisième partie traite d'un modèle de collision partiellement élastique introduit par E.W. Larsen et P.F. Zweifel. Afin de dégager le comportement asymptotique en temps grands du semigroupe gouvernant ce modèle nous ferons sa théorie spectrale. Nous étudions les propriétés de compacité à la base de cette théorie, ce qui nous permettra notamment d'obtenir des résultats de stabilité du type essentiel. Nous examinons ensuite les incidences de la positivité : irréductibilité, propriétés de monotonie stricte de la valeur propre principale, réalité du spectre périphérique

Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles / Controllability of systems governed by partial differential equations

Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles

La première partie de la thèse réunit des résultats classiques sur l’espace de Hardy, les espaces modèles et l’espace de Bergman. Puis sur cette base, nous exposons des travaux relatifs aux opérateurs de Toeplitz, en particulier, nous présentons la description du spectre et du spectre essentiel de ces opérateurs sur l’espace de Hardy et de Bergman. La première partie de notre recherche tire son inspiration de deux faits établis pour un opérateur de Toeplitz T. Premièrement, sur l’espace de Hardy, la norme de T, la norme essentielle de T et la norme infinie du symbole de T sont égales. Nous étudions ce cas d’égalité sur l’espace de Bergman pour les opérateurs de Toeplitz à symbole quasihomogène et radial. Deuxièmement, sur l’espace de hardy, le spectre et le spectre essentiel sont fortement liés à l’image du symbole de T. Nous étudions le cas d’égalité entre le spectre et l’image essentielle du symbole pour les symboles quasihomogènes et radials. Pour répondre à ces deux questions, nous utilisons la transformée de Berezin, les coefficients de Mellin et la moyenne du symbole. La dernière partie de la thèse s’interesse au théorème de Szegö qui donne un lien entre les valeurs propres d’une suite de matrices de Toeplitz de taille n, et le symbole de cette suite de matrice. Nous donnons un résultat du même type sur l’espace de Bergman pour les symboles harmoniques sur le disque et continus sur le cercle. Enfin, nous étudions une généralisation de ce théorème en compressant l’opérateur de Toeplitz sur une suite d’espaces modèles de dimension finie. / This thesis deals with the spectral properties of the Toeplitz operators in relation to their associated symbol. In the first part, we give some classical results about Hardy space, model spaces and Bergman space. Afterwards, we expose some results about Toeplitz operator on the Hardy space. In particular, we discuss their spectrum and essential spectrum. Our work is inspired from two facts which have been proved on the Hardy space. First, considering a Toeplitz operator T, the norm, essential norm, spectral radius of T and the supremum of its symbol are equal. Secondly, on the Hardy space, spectrum, essential spectrum and essential range are strongly related. We answer the question of the equality between the norms, the spectral radius and the supremum of the symbol and between spectrum and essential range on the Bergman space. We look at these two properties on the Bergman space when the symbol is radial or quasihomogeneous. We answer these questions using the Berezin transform, the Mellin coefficients and the mean value of the symbol. The last part deals with the classical Szegö theorem which underline a link between the eigenvalues of a Toeplitz matrix sequence and its symbol. We give a result of the same type on Bergman space considering harmonic symbol wich have a continuous extension. We give a generalization, considering the sequence of the compressions of a Toeplitz operator on a sequence of model spaces.

Cette thèse porte sur la théorie spectrale d’équations neutroniques partiellement élastiques introduites en 1974 par les physiciens E. W LARSEN et P. F. ZWEIFEL. L’opérateur de collision est alors la somme d’une partie inélastique (correspondant aux modèles neutroniques classiques) et d’une partie élastique qui induit des phénomènes spectraux nouveaux que l’on veut étudier. L’objectif de cette thèse est l’analyse fine de leur spectre asymptotique (la partie du spectre discret qui détermine le comportement asymptotique en temps des problèmes de Cauchy associés). L’étude spectrale de ces modèles partiellement élastiques met en jeu des propriétés spectrales d’opérateurs bornés non compacts et symétrisables. La première partie de la thèse est alors consacrée à la théorie spectrale des opérateurs symétrisables non compacts sur les espaces de Hilbert. Nous donnons une série de résultats d’analyse fonctionnelle sur ces opérateurs. En particulier nous donnons une méthode qui permet d’obtenir toutes les valeurs propres réelles situées à l’extérieur du disque spectral essentiel (i.e le plus petit disque fermé contenant le spectre essentiel) ainsi que des caractérisations variationnelles de ces valeurs propres. La deuxième partie de cette thèse porte sur l’analyse spectrale des modèles cinétiques partiellement élastiques isotropes et homogène en espace (i.e les sections efficaces ne dépendent que du module des vitesses). Nous montrons entre autre que le spectre asymptotique est formé au plus de valeurs propres isolées de multiplicité algébrique finie. Nous montrons aussi que ce spectre ponctuel est réel. Nous démontrons que le nombre des valeurs propres réelles de l’opérateur de transport partiellement élastique augmente indéfiniment avec la taille du domaine spatial. Nous démontrons aussi que toutes ces valeurs propres tendent vers la borne spectrale de l’opérateur partiellement élastique homogène en espace quand la taille du domaine tend vers l’infini. Nous étudions aussi des modèles anisotropes pour lesquels nous étendons la plupart des résultats obtenus pour les modèles isotropes / This thesis is devoted to spectral theory of party elastic neutron transport equations introduced in 1974 by physicists E. LARSEN W and PF ZWEIFEL. The collision operator is then the sum of an inelastic part (corresponding to classical neutron transport models) and an elastic part that induces new spectral phenomena to be studied. The objective of this thesis is the analysis of their asymptotic spectrum (the part of the discrete spectrum that determines the time asymptotic behavior of the associated Cauchy problems). The spectral study of these partly elastic models involves spectral properties of bounded non-compact and symmetrizable operators. Thus the first part of the thesis deals with spectral theory of non compact symmetrizable operators on Hilbert spaces. We give a series of functional analytic results on these operators. In particular we give a method which provides us with all the real eigenvalues located outside the essential spectral disc and provide variational characterizations of these eigenvalues. The second part of the thesis focuses on spectral analysis of partly elastic isotropic and space homogeneous kinetic models (i.e. the cross sections depend only on speed modulus). Among other things, we show that the asymptotic spectrum consists at most of isolated eigenvalues with finite algebraic multiplicity. We also show that this point spectrum is real. Further we show that the number of real eigenvalues of the partly elastic transport operator increases indefinitely with the size of the spatial domain. We show also that all these eigenvalues tend to the spectral bound of the space homogeneous partly elastic operator when the size of domain tends to infinity. Most of these results are also extended to anisotropic models.