Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Simone Maria de Moraes / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-08T17:40:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_AndersonTiagoda_M.pdf: 781127 bytes, checksum: 22670fa6bf0a9cc9e4533bcc2ef952d8 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Este trabalho está dividido essencialmente em quatro tópicos. O primeiro capítulo é dedicado a uma introdução à teoria dos códigos corretores de erros com algumas propriedades e exemplos. No segundo capítulo abordamos reticulados e suas propriedades com foco na análise do quociente de reticulados gerando grafos em toros planares, grafos circulantes obtidos através de quociente de reticulados e ladrilhamentos associados. O terceiro capítulo é dedicado a códigos esféricos, com ênfase na obtenção de códigos ótimos. Foram introduzidos alguns limitantes importantes como o de Rankim, e a demonstração de que alguns códigos esféricos como o simplex e biortogonal são ótimos. No capítulo quatro apresentamos uma construção de reticulados através de códigos binários e também a construção de códigos esféricos a partir de reticulados que possuem sub-reticulados com base ortogonal. Analisamos o caso especial do reticulado BCC que é o de melhor densidade no espaço e pode ser gerado por código binário. Mostramos que o quociente deste por um sub reticulado especial produz o melhor código esférico associado ao grupo comutativo Z2 2 ×Z4 . Também identificamos o reticulado que é associado ao melhor código de grupo comutativo de 16 elementos em R6 / Abstract: In this work it is presented through examples a connection between inary codes, lattices and spherical codes. A brief introduction to coding theory, properties and examples is included in the first chapter. In Chapter 2 lattices are approached with focus on the quotient of lattices, graphs on flat tori and connections with circulant graphs. An introduction to spherical codes and some of their bounds, as the Ranking bound, are described in Chapter 3. Finally in Chapter 4 the three topics above are connected. The construction of lattices from linear binary codes and the construction of spherical codes from the lattices which have orthogonal sub-lattices are presented. We analyze specifically the case of the three dimensional BCC lattice, which has the best packing density for this dimension, and show that a quotient of this lattice give rise to the best spherical code associate to the commutative group Z2 2 ×Z4. We also identify the lattice which is associate to the best commutative group code with 16 elements in em R6 / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Jose Plinio de Oliveira Santos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T23:35:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Torezzan_Cristiano_D.pdf: 2362096 bytes, checksum: 1680bc5fc7cb94a63b0b11b50ac5a1c4 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Códigos esféricos em espaços euclidianos n-dimensionais são conjuntos finitos de pontos sobre superfícies esféricas e têm sido amplamente estudados em conexão com a transmissão de sinais sobre um canal Gaussiano. Para este propósito deseja-se maximizar a distância mínima entre dois pontos quaisquer do código, o que está fortemente relacionado com o problema mais geral do empacotamento em esferas, o qual contempla aplicações em outras áreas. Na primeira parte deste trabalho estudamos códigos esféricos gerados como órbita de um vetor unitário sob a ação de um grupo comutativo de matrizes ortogonais, os denominados códigos de grupo comutativo. Propomos um método para obter o melhor código de grupo comutativo n-dimensional de ordem M, que baseia-se na associação entre tais códigos em dimensão 2k e reticulados k-dimensionais. Utilizando fatorações matriciais conhecidas, como as formas normais de Hermite e Smith, demonstramos que é possível reduzir o número de casos a serem analisados através da identificação de códigos isométricos que podem ser descartados. O problema da busca do vetor inicial ótimo para códigos de grupo comutativo é formalmente estabelecido com um problema de programação linear e utilizado em uma das etapas do método. Apresentamos resultados numéricos, incluindo tabelas com códigos de grupo comutativo ótimos em várias dimensões. Outra contribuição deste trabalho é a introdução de uma nova família de códigos esféricos, na qual os pontos são alocados sobre a superfície da esfera unitária 2k-dimensional em camadas de toros planares. Em cada uma das camadas deste código, pode-se estabelecer um código de grupo para a geração dos sinais e utilizar os resultados acima mencionados. Além de limitantes, inferior e superior, para o número de pontos, um método para construção destes códigos é apresentado explicitamente e alguns exemplos são construídos. Os resultados mostram que tais códigos têm desempenho comparável aos melhores códigos esféricos estruturados conhecidos, com destaque para uma potencial vantagem no processo de codificação/decodificação, decorrente da homogeneidade, estrutura de grupo e associação a reticulados na metade da dimensão / Abstract: Spherical codes in Euclidean spaces are finite sets of points on the surface of a multidimensional sphere and have been widely studied in connection with the signal transmission over a Gaussian channel. For this purpose one fundamental issue is to maximize the minimum distance between two code points, what is strongly related to the more general problem of sphere packing. In the first part of this work we study spherical codes generated as orbit of a initial vector under the action of a commutative group of orthogonal matrices, the so called commutative group codes. A method for searching the best n-dimensional commutative group code of order M is presented. Based on the well known Hermite and Smith normal form decomposition of matrices, and also on the relation between 2k-dimensional com- mutative group codes and k-dimensional lattices, we show that it is possible to reduce the number of cases to be analyzed through the identification of isometric codes which can be discarded. The initial vector problem for these codes is formally established as a linear programming problem and used as a sub-routine of the method. Numerical results are presented, including tables of good commutative groups codes in several dimensions. Other contribution of this work is a new class of spherical codes, constructed by placing points on flat tori layers. The codebook on each torus can be generated by a commutative group of orthogonal matrices, using the results previously mentioned. Upper and lower bounds on performance are derived and a systematic method for constructing the codes is presented. Some examples are constructed and the results exhibit good performance when compared to the best known structured spherical codes, with some advantage in the encoding/decoding process, due to the homogeneity, group structure and the relation with lattices in the half of the dimension / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatisitica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T04:27:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Alves_Carina_D.pdf: 1097128 bytes, checksum: 0c1f0fd6e076e3ec82a2b3c34932208e (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho abordamos questões associadas á minimização da probabilidade de erro para a transmissão de sinais em canais gaussianos e em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Usando a teoria de reticulado ideal, construirmos rotações do reticulado n-dimensional dos inteiros via corpos ciclotômicos. Reticulados construídos deste modo permitem estimativas da distância produto mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro no envio de informações em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n _e uma potência de 2 e no caso em que n = 3. Estudamos os códigos esféricos que são associados a reticulados com o intuito de obter a maior distância euclidiana mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro em canais gaussianos. Códigos esféricos gerados por grupos comutativos de matrizes ortogonais em dimensão par, 2m, podem ser determinados, via mergulhos de toros planares, pelo quociente de dois reticulados em Rm, onde o sub-reticulado possui uma base cujos vetores são mutuamente ortogonais. Pesquisamos a existência de sub-reticulados nestas condições, nos reticulados com maior densidade de empacotamento em dimensões 2; 3; 4 e 8: Pudemos assim construir famílias de códigos de grupo comutativo que se aproximam do limitante para a distância mínima nas dimensões 4; 6; 8 e 16. / Abstract: We approach here some problems related to minimizing the error probability in signals transmission over Gaussian and Rayleigh channels. Algebraic ideal lattice theory is used to construct rotations of the n-dimensional integer lattice via cyclotomic fields. This construction allows to evaluate the minimum product distance of the lattice, parameter which controls the signal transmission probability through Rayleigh fading channels. We present here such constructions in the cases n = 3 and n a power of 2. Spherical codes generated by commutative group codes of orthogonal matrices in even dimensions, 2m; can be determined by a quotient of n-dimensional lattices, where the sublattice has an orthogonal basis. We characterize families of such sublattices in the lattices with best packing densities in dimensions 2; 3; 4; 6 e 8 and construct the associated spherical codes which approach the commutative group code upper bound for the minimum distance. / Doutorado / Algebra, Geometria/Topologia / Doutor em Matemática

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T11:38:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ferrari_AgnaldoJose_D.pdf: 2344410 bytes, checksum: faa96ccdd8ff4ec461abc4f69d6cc999 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Neste trabalho abordamos a construção de reticulados usando propriedades da Teoria Algébrica dos Números. Enfocamos a construção de alguns reticulados com características especiais, conhecidos na literatura, via reticulados ideais, através de uma abordagem matricial e algorítmica...Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: In this work we approach lattice constructions using properties of algebraic number theory. One focus is on the construction of some well known lattices via ideal lattices, through a matrix and algorithmic approach...Note: The complete abstract is available with the full electronic document / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada