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Abstract We are interested in studying Gaussian Markov random fields as correlation priors for Bayesian inversion. We construct the correlation priors to be discretisation-invariant, which means, loosely speaking, that the discrete priors converge to continuous priors at the discretisation limit. We construct the priors with stochastic partial differential equations, which guarantees computational efficiency via sparse matrix approximations. The stationary correlation priors have a clear statistical interpretation through the autocorrelation function. We also consider how to make structural model of an unknown object with anisotropic and inhomogeneous Gaussian Markov random fields. Finally we consider these fields on unstructured meshes, which are needed on complex domains. The publications in this thesis contain fundamental mathematical and computational results of correlation priors. We have considered one application in this thesis, the electrical impedance tomography. These fundamental results and application provide a platform for engineers and researchers to use correlation priors in other inverse problem applications.

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Cette thèse de doctorat est consacrée à l'étude de la variabilité observée dans les mesures d'électrophysiologie (i.e. l'activité électrique des tissus biologiques) cardiaque et à la conception de biomarqueurs numériques extraits de ces mesures. Les applications potentielles sont nombreuses, pouvant aller d'une meilleure compréhension des modèles électrophysiologiques existants à l'évaluations des effets nocifs de médicaments en passant par le diagnostic de pathologies cardiaques. Les modèles d'électrophysiologie cardiaque présentés dans ce travail sont, soit des équations différentielles ordinaires (EDOs), soit des équations aux dérivées partielles (EDPs), selon qu'ils concernent l'échelle cellulaire ou l'échelle du tissu. Dans les deux cas, ces modèles sont hautement non linéaires et nécessitent d'intenses ressources computationnelles. Nous adoptons l'approche suivante : de prime abord, nous développons des outils numériques afin de répondre à des problèmes généraux, au-delà de l'électrophysiologie. Puis, nous appliquons ces outils à des mesures synthétiques d'électrophysiologie dans différents scénarios réalistes et, lorsque cela est possible, à des mesures expérimentales. Dans la première partie de cette thèse, nous présentons une méthode générale pour estimer la densité de probabilité de paramètres incertains de modèles basés sur des EDOs ou des EDPs. La méthode est non intrusive et repose sur des évaluations "hors-ligne" du modèle direct, ce qui la rend en pratique computationellement moins dispendieuse que d'autres approches plus sophistiquées. La méthode est illustrée avec des mesures synthétiques et expérimentales d'électrophysiologie. Dans la seconde partie de cette thèse, nous présentons une méthode de sélectionde biomarqueurs à partir des sorties de modèles en vue d'effectuer des tâches de classification ou de résoudre des problèmes d'estimation de paramètres. La méthode repose sur la résolution d'un problème d'optimisation creux. La méthode est illustrée avec des modèles simples et ensuite appliquée à des mesures synthétiques, incluant des enregistrements d'électrocardiogramme, et à des données expérimentales obtenues à partir de mesures de matrices de microélectrodes. / This PhD thesis is dedicated to the study of the variability observed in cardiac electrophysiology (i.e. the electrical activity of biological tissues) measurements and to the design of numerical biomarkers extracted from these measurements. The potential applications are numerous, ranging from a better understanding of existing electrophysiology models to the assessment of adverse effects of drugs or the diagnosis of cardiac pathologies. The cardiac electrophysiology models considered in the present work are either ODEs or PDEs depending on whether we focus on the cell scale or the tissue scale. In both cases, these models are highly non-linear and computationally intensive. We proceed as follows: first we develop numerical tools that address general issues and that are applicable beyond the scope of cardiac electrophysiology. Then, we apply those tools to synthetic electrophysiology measurements in various realistic scenarios and, when available, to real experimental data. In the first part of this thesis, we present a general method for estimating the probability density function (PDF) of uncertain parameters of models based on ordinary differential equations (ODEs) or partial differential equations (PDEs). The method is non-instrusive and relies on offline evaluations of the forward model, making it computationally cheap in practice compared to more sophisticated approaches. The method is illustrated with generic PDE and ODE models. It is then applied to synthetic and experimental electrophysiology measurements. In the second part of this thesis, we present a method to extract and select biomarkers from models outputs in view of performing classication tasks or solving parameter identification problems. The method relies on the resolution of a sparse optimization problem. The method is illustrated with simple models and then applied to synthetic measurements, including electrocardiogram recordings, and to experimental data obtained from micro-electrode array measurements.

Diese Dissertation ist ein Beitrag zum Forschungsfeld Early stopping im Kontext iterativer Schätzverfahren. Wir betrachten Early stopping dabei sowohl aus der Perspektive impliziter Regularisierungsverfahren als auch aus der Perspektive adaptiver Methoden Analog zu expliziter Regularisierung reduziert das Stoppen eines Schätzverfahrens den stochastischen Fehler/die Varianz des endgültigen Schätzers auf Kosten eines zusätzlichen Approximationsfehlers/Bias. In diesem Forschungsbereich präsentieren wir eine neue Analyse des Gradientenabstiegsverfahrens für konvexe Lernprobleme in einem abstrakten Hilbert-Raum. Aus der Perspektive adaptiver Methoden müssen iterative Schätzerverfahren immer mit einer datengetriebenen letzten Iteration m kombiniert werden, die sowohl under- als auch over-fitting verhindert. In diesem Forschungsbereichpräsentieren wir zwei Beiträge: In einem statistischen inversen Problem, das durch iteratives Trunkieren der Singulärwertzerlegung regularisiert wird, untersuchen wir, unter welchen Umständen optimale Adaptiertheit erreicht werden kann, wenn wir an der ersten Iteration m stoppen, an der die geglätteten Residuen kleiner sind als ein kritischer Wert. Für L2-Boosting mittels Orthogonal Matching Pursuit (OMP) in hochdimensionalen linearen Modellen beweisen wir, dass sequenzielle Stoppverfahren statistische Optimalität garantieren können. Die Beweise beinhalten eine subtile punktweise Analyse einer stochastischen Bias-Varianz-Zerlegung, die durch den Greedy-Algorithmus, der OMP unterliegt, induziert wird. Simulationsstudien zeigen, dass sequentielle Methoden zu deutlich reduzierten Rechenkosten die Leistung von Standardalgorithmen wie dem kreuzvalidierten Lasso oder der nicht-sequentiellen Modellwahl über ein hochdimensionales Akaike- Kriterium erbringen können. / This dissertation contributes to the growing literature on early stopping in modern statistics and machine learning. We consider early stopping from the perspective of both implicit regularization and adaptive estimation. From the former, analogous to an explicit regularization method, halting an iterative estimation procedure reduces the stochastic error/variance of the final estimator at the cost of some bias. In this area, we present a novel analysis of gradient descent learning for convex loss functions in an abstract Hilbert space setting, which combines techniques from inexact optimization and concentration of measure. From the perspective of adaptive estimation, iterative estimation procedures have to be combined with a data-driven choice m of the effectively selected iteration in order to avoid under- as well as over-fitting. In this area, we present two contributions: For truncated SVD estimation in statistical inverse problems, we examine under what circumstances optimal adaptation can be achieved by early stopping at the first iteration at which the smoothed residuals are smaller than a critical value. For L2-boosting via orthogonal matching pursuit (OMP) in high dimensional linear models, we prove that sequential early stopping rules can preserve statistical optimality in terms of a general oracle inequality for the empirical risk and recently established optimal convergence rates for the population risk.

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