Le problème d’oscillation de fluides dans un conteneur est un problème classique d’hydrodynamique qui est etudié par des mathématiciens et ingénieurs depuis plus de 150 ans. Le présent travail est lié à l’étude de l’alternance des fonctions propres paires et impaires du problème de Steklov-Neumann pour les domaines à deux dimensions ayant une forme symétrique. On obtient des résultats sur la parité de deuxième et troisième fonctions propres d’un tel problème pour les trois premiers modes, dans le cas de domaines symétriques arbitraires. On étudie aussi la simplicité de deux premières valeurs propres non nulles d’un tel problème. Il existe nombre d’hypothèses voulant que pour le cas des domaines symétriques, toutes les valeurs propres sont simples. Il y a des résultats de Kozlov, Kuznetsov et Motygin [1] sur la simplicité de la première valeur propre non nulle obtenue pour les domaines satisfaisants la condition de John. Dans ce travail, il est montré que pour les domaines symétriques, la deuxième valeur propre non-nulle du problème de Steklov-Neumann est aussi simple. / The study of liquid sloshing in a container is a classical problem of hydrodynamics that has been actively investigated by mathematicians and engineers over the past 150 years. The present thesis is concerned with the properties of eigenfunctions of the two-dimensional sloshing problem on axially symmetric planar domains. Here the axis of symmetry is assumed to be orthogonal to the free surface of the fluid. In particular, we show that the second and the third eigenfunctions of such a problem are, respectively, odd and even with respect to the axial symmetry. There is a well-known conjecture that all eigenvalues of the two-dimensional sloshing problem are simple. Kozlov, Kuznetsov and Motygin [1] proved the simplicity of the first non-zero eigenvalue for domains satisfying the John's condition. In the thesis we show that for axially symmetric planar domains, the first two non-zero eigenvalues of the sloshing problem are simple.

Le problème d’oscillation de fluides dans un conteneur est un problème classique d’hydrodynamique qui est etudié par des mathématiciens et ingénieurs depuis plus de 150 ans. Le présent travail est lié à l’étude de l’alternance des fonctions propres paires et impaires du problème de Steklov-Neumann pour les domaines à deux dimensions ayant une forme symétrique. On obtient des résultats sur la parité de deuxième et troisième fonctions propres d’un tel problème pour les trois premiers modes, dans le cas de domaines symétriques arbitraires. On étudie aussi la simplicité de deux premières valeurs propres non nulles d’un tel problème. Il existe nombre d’hypothèses voulant que pour le cas des domaines symétriques, toutes les valeurs propres sont simples. Il y a des résultats de Kozlov, Kuznetsov et Motygin [1] sur la simplicité de la première valeur propre non nulle obtenue pour les domaines satisfaisants la condition de John. Dans ce travail, il est montré que pour les domaines symétriques, la deuxième valeur propre non-nulle du problème de Steklov-Neumann est aussi simple. / The study of liquid sloshing in a container is a classical problem of hydrodynamics that has been actively investigated by mathematicians and engineers over the past 150 years. The present thesis is concerned with the properties of eigenfunctions of the two-dimensional sloshing problem on axially symmetric planar domains. Here the axis of symmetry is assumed to be orthogonal to the free surface of the fluid. In particular, we show that the second and the third eigenfunctions of such a problem are, respectively, odd and even with respect to the axial symmetry. There is a well-known conjecture that all eigenvalues of the two-dimensional sloshing problem are simple. Kozlov, Kuznetsov and Motygin [1] proved the simplicity of the first non-zero eigenvalue for domains satisfying the John's condition. In the thesis we show that for axially symmetric planar domains, the first two non-zero eigenvalues of the sloshing problem are simple.

L'objet de cette thèse est d'étudier un problème de la magnétostatique tridimensionnel. On propose trois formulations mixtes couplant une méthode d'éléments finis pour tenir compte du milieu hétérogène et une méthode éléments de frontière pour le milieu extérieur homogène. Pour la méthode intégrale on a utilisé les équations de Calderon, l'opérateur de Neumann-Dirichlet ou d'autres opérateurs intégraux. L'utilisation des éléments d'arête de Nédélec pour le champ magnétique, et les éléments de face de Raviart pour l'induction magnétique permet d'utiliser des méthodes éléments finis conformes. Des résultats numériques ont permis de valider ces méthodes. La deuxième partie a porté sur la comparaison de diverses discrétisations pour l'opérateur de Poincaré-Steklov. Ces méthodes ont été comparées sur une formulation de la magnétostatique. Enfin, on propose des formulations discontinues du problème de la magnétostatique avec des conditions aux limites. On montre que ces formulations sont consistantes et des estimations d'erreur sont obtenues.

Estudamos o problema de valores de contorno {\'DELTA POT. 2\' u = f em \'OMEGA\', \'BETA\' u = 0 em \'PARTIAL OMEGA\', um aberto limitado \'OMEGA\' \'ESTÁ CONTIDO\' \'R POT. N\' , sob diferentes condições de contorno. As questões de existência e positividade de soluções para este problema são abordadas com condições de contorno de Dirichlet, Navier e Steklov. Deduzimos condições de contorno naturais através do estudo de um modelo para uma placa com carga estática. Estudamos ainda propriedades do primeiro autovalor de \'DELTA POT. 2\' e o problema semilinear {\'DELTA POT. 2\' u = F (u) em \'OMEGA\' u = \'PARTIAL\'u SUP . \'PARTIAL\' v = 0 em \'PARTIUAL\' \'OMEGA\', para não-linearidades do tipo F(t) = \'l t l POT. p-1\', p \' DIFERENTE\' t, p > 0. Para tal problema estudamos existência e não-existência de soluções e positividade / We study the boundary value problem {\'DELTA POT. 2\' u = f in \'OMEGA\', \'BETA\' u = 0 in \'PARTIAL OMEGA\', in a bounded open \'OMEGA\'\'THIS CONTAINED\' \'R POT. N\' , under different boundary conditions. The questions of existence and positivity of solutions for this problem are addressed with Dirichlet, Navier and Steklov boundary conditions. We deduce natural boundary conditions through the study of a model for a plate with static load. We also study properties of the first eigenvalue of \'DELTA POT. 2\' and the semi-linear problem { \'DELTA POT. 2\' e o problema semilinear {\'DELTA POT. 2\' u = F (u) in \'OMEGA\' u = \'PARTIAL\'u SUP . \'PARTIAL\' v = 0 in \'PARTIUAL\' \'OMEGA\', for non-linearities like F(t) = \'l t l POT. p-1\', p \' DIFFERENT\' t, p > 0. For such problem we study existence and non-existence of solutions and its positivity

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de l'opérateur de Laplace et de l'opérateur de Steklov sur des variétés riemanniennes. On cherche à donner des bornes optimales parmi l'ensemble des métriques, dans une classe conforme donnée ou non, et à caractériser, si elles existent, les métriques qui atteignent ces bornes. Ces métriques extrémales ont des propriétés qui s'inscrivent dans la théorie des surfaces minimales. On s'intéresse d'abord à la borne supérieure des valeurs propres de Laplace parmi des métriques conformes entre elles, appelées valeurs propres conformes. Dans le chapitre 1, on estime la deuxième valeur propre conforme de la sphère standard. Dans les chapitres 2 et 3, on montre que la première valeur propre conforme d'une variété riemannienne est plus grande que celle de la sphère standard de même dimension avec égalité seulement pour la sphère standard. Ensuite, on cherche à démontrer l'existence et la régularité de métriques qui maximisent les valeurs propres sur des surfaces, dans une classe conforme donnée ou non. Dans les chapitres 3 et 4, on démontre un résultat d'existence pour les valeurs propres de Laplace. Dans le chapitre 6, le travail est fait pour les valeurs propres de Steklov. Enfin, dans le chapitre 5, fruit d'un travail réalisé en collaboration avec Paul Laurain, on démontre un résultat de régularité et de quantification des applications harmoniques à bord libre sur une surface Riemannienne. C'est un élément clé pour le chapitre 6 / This thesis is devoted to the study of the Laplace eigenvalues and the Steklov eigenvalues on Riemannian manifolds. We look for optimal bounds among the set of metrics, lying in a conformal class or not. We also characterize, if they exist the metrics which reach these bounds. These extremal metrics have properties from the theory of minimal surfaces. First, we are interested in the upper bound of Laplace eigenvalues in a class of conformal metrics, called the conformal eigenvalues. In Chapter 1, we estimate the second conformal eigenvalue of the standard sphere. In Chapters 2 and 3, we prove that the first conformal eigenvalue of a Riemannian manifold is greater than the one of the standard sphere of same dimension, with equality only for the standard sphere. Then, we look for existence and regularity results for metrics which maximize eigenvalues on surfaces, in a given conformal class or not. In Chapters 3 and 4, we prove an existence result for Laplace eigenvalues. In Chapter 6, the work is done for Steklov eigenvalues. Finally, in Chapter 5, obtained in collaboration with Paul Laurain, we prove a regularity and quantification result for harmonic maps with free boundary on a Riemannian surface. It is a key component for Chapter 6

Estudamos o problema de valores de contorno {\'DELTA POT. 2\' u = f em \'OMEGA\', \'BETA\' u = 0 em \'PARTIAL OMEGA\', um aberto limitado \'OMEGA\' \'ESTÁ CONTIDO\' \'R POT. N\' , sob diferentes condições de contorno. As questões de existência e positividade de soluções para este problema são abordadas com condições de contorno de Dirichlet, Navier e Steklov. Deduzimos condições de contorno naturais através do estudo de um modelo para uma placa com carga estática. Estudamos ainda propriedades do primeiro autovalor de \'DELTA POT. 2\' e o problema semilinear {\'DELTA POT. 2\' u = F (u) em \'OMEGA\' u = \'PARTIAL\'u SUP . \'PARTIAL\' v = 0 em \'PARTIUAL\' \'OMEGA\', para não-linearidades do tipo F(t) = \'l t l POT. p-1\', p \' DIFERENTE\' t, p > 0. Para tal problema estudamos existência e não-existência de soluções e positividade / We study the boundary value problem {\'DELTA POT. 2\' u = f in \'OMEGA\', \'BETA\' u = 0 in \'PARTIAL OMEGA\', in a bounded open \'OMEGA\'\'THIS CONTAINED\' \'R POT. N\' , under different boundary conditions. The questions of existence and positivity of solutions for this problem are addressed with Dirichlet, Navier and Steklov boundary conditions. We deduce natural boundary conditions through the study of a model for a plate with static load. We also study properties of the first eigenvalue of \'DELTA POT. 2\' and the semi-linear problem { \'DELTA POT. 2\' e o problema semilinear {\'DELTA POT. 2\' u = F (u) in \'OMEGA\' u = \'PARTIAL\'u SUP . \'PARTIAL\' v = 0 in \'PARTIUAL\' \'OMEGA\', for non-linearities like F(t) = \'l t l POT. p-1\', p \' DIFFERENT\' t, p > 0. For such problem we study existence and non-existence of solutions and its positivity

Le but de cette thèse est d'étudier et de développer des méthodes permettant de résoudre deux types de problèmes d'identification portant sur des équations elliptiques. Ces problèmes étant connus pour leur caractère fortement instable, les méthodes proposées s'accompagnent de procédures de régularisation, qui permettent d'assurer que la solution obtenue conserve un sens physique.Dans un premier temps, on étudie la résolution du problème de Cauchy (identification de conditions aux limites) par la méthode de Steklov-Poincaré. On commence par proposer quelques améliorations basées sur le solveur de Krylov utilisé, en introduisant notamment une méthode de régularisation consistant à tronquer la décomposition de Ritz de l'opérateur concerné. Par la suite, on s'intéresse à l'estimation d'incertitude en utilisant des techniques issues de l'inversion Bayésienne. Enfin, on cherche à résoudre des problèmes plus exigeants, à savoir un problème transitoire en temps, un cas non-linéaire, et on donne des éléments pour effectuer des résolutions sur des géométries ayant un très grand nombre de degrés de liberté en s'aidant de la décomposition de domaine.Pour ce qui est du problème d'identification de fissures par la méthode de l'écart à la réciprocité, on commence par proposer et tester numériquement différents moyens de stabiliser la résolution (utilisation de fonctions-tests différentes, minimisation des gradients a posteriori ou régularisation de Tikhonov). Puis on présente une autre variante de la méthode de l'écart à la réciprocité, qui est applicable aux cas pour lesquels les mesures sont incomplètes. Cette méthode, basée sur une approche de Petrov-Galerkine, est confrontée entre autres à un cas expérimental. Enfin, on s'intéresse à certaines idées permettant d'étendre la méthode de l'écart à la réciprocité à l'identification de fissures non planes. / The goal of this thesis is to study and to develop some methods in order to solve two types of identification problems in the framework of elliptical equations. As those problems are known to be particularly unstable, the proposed methods are accompanied with regularization procedures, that ensure that the obtained solutions keep a physical meaning.Firstly, we study the resolution of the Cauchy problem (boundary conditions identification) by the Steklov-Poincaré method. We start by proposing some improvements based on the used Krylov solver, especially by introducing a regularization method that consists in truncating the Ritz values decomposition of the operator in question. We study afterwards the estimation of uncertainties by the mean of techniques stemming from Bayesian inversion. Finally, we aim at solving more demanding problems, namely a time-transient problem, a non-linear case, and we give some elements to carry out resolutions on geometries that have a very high number of degrees of freedom, with help of domain decomposition.As for the problem of crack identification by the reciprocity gap method, we firstly propose and numerically test some ways to stabilize the resolution (use of different test-functions, a posteriori minimization of the gradients or Tikhonov regularization). Then we present an other variant of the reciprocity gap method, that is applicable on cases for which the measurements are incomplete. This method, based on a Petrov-Galerkin approach, is confronted, among others, with an experimental case. Finally, we investigate some ideas that allow to extend the reciprocity gap method for the identification of non-plane cracks.

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The electrical activity of the heart is a well studied process. Mathematical modeling and computer simulations are used to study the cardiac electrical activity: several mathematical models exist, among them the microscopic model, which is based on the explicit representation of individual cells. The cardiac tissue is viewed as two separate domains: the intra-cellular and extra-cellular domains, Ωᵢ and Ωₑ, respectively, separated by cellular membranes Γ. The microscopic model consists of a set of Poisson equations, one for each sub-domain, Ωᵢ and Ωₑ, coupled on interfaces Γ with nonlinear transmission conditions involving a system of ODEs. The unusual transmission conditions on Γ make the model challenging to solve numerically. In this thesis, we first focus on the dimensional analysis of the microscopic model. We then reformulate the problem on the interface Γ using a Steklov-Poincaré operator. We discretize the model in space using finite element methods. We prove the existence of a semi-discrete solution using a reformulation of the model as an ODE system on the interface Γ. We derive stability and error estimates for the finite element method. Afterwards, we consider five numerical schemes including the Godunov splitting method, two implicit methods, (Backward Euler (BE) and second order Backward Differentiation Formula (BDF2)), and two semi-implicit methods (Forward Backward Euler (FBE), and second order Semi-implicit Backward Differentiation Formula (SBDF2)). A convergence analysis of the implicit and semi-implicit methods is performed and the results are compared with manufactured solutions that we have proposed. Numerical results are presented to compare the stability, accuracy and efficiency of the methods. CPU times needed to solve the problem over a single cell using FBE, SBDF2 and Godunov splitting methods are reported. The results show that FBE and Godunov splitting methods achieve better numerical accuracy and efficiency than implicit and SBDF2 schemes, for a given computational time. Finally, we solve the model using FBE and Domain Decomposition Method (DDM) for two cells connected to each other by a gap junction. We investigate the influence of the space discretization and we explore the differences between a conforming and nonconforming mesh on Γ. We compare the solutions obtained with both FBE and DDM methods. The results show that both methods give the same solution. Therefore, the DDM is capable of providing an accurate solution with a minimal number of sub-domain iterations.

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