Orientador: Marcelo Messias / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Banca: Luis Fernando de Osório Mello / Banca: Fábio Scalco Dias / Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma condição algébrica suficiente para determinar o comportamento não caótico de sistemas diferenciais polinomiais definidos em R^3. Usando essa condição, apresentamos um resultado parcial para uma conjectura sobre a não caoticidade de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R^3 com matriz jacobiana simétrica. Além disso, utilizando o mesmo resultado, estabelecemos condições para que certas classes de equações diferenciais ordinárias da forma x = f(x, ˙ x, ¨ x), conhecidas como jerk equations, e certas classes de sistemas do tipo Lorenz, não apresentem comportamento caótico. Por fim, investigamos o comportamento qualitativo de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R^3 que apresentam quádricas do tipo Gp = x2+y2−z2+p, com p ∈ [−1,1], como superfícies algébricas invariantes, incluindo o estudo do comportamento no infinito utilizando compactificação de Poincaré / Abstract: In this work, we present a sufficient algebraic condition to determine the nonchaotic behavior of polynomial differential systems defined in R^3. Using this condition, we present a partial positive answer for a conjecture concerning the nonchaotic behavior of quadratic differential systems in R^3 with a symmetric Jacobian matrix. Furthermore, using the same result, we establish conditions for certain classes of ordinary differential equations of the form x = f(x, ˙ x, ¨ x), called jerk equations, and certain classes of Lorenz-Like systems do not present chaotic behavior. Finally, we investigate the qualitative behavior of quadratic polynomial differential systems in R^3 which present the quadrics Gp = x2 + y2 − z2 + p, with p ∈ [−1,1] as invariant algebraic surfaces, including the study of their behavior at infinity, via Poincaré compactification / Doutor

Orientador: Marcelo Messias / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Banca: João Carlos da Rocha Medrado / Banca: Regilene Delazaridos Santos Oliveira / Banca: Fábio Scalco Dias / Resumo: Neste trabalho, consideramos aspectos algébricos e dinâmicos de alguns problemas envolvendo superfícies algébricas invariantes em sistemas diferenciais polinomiais definidos em R³. Determinamos o número máximo de planos invariantes que um sistema diferencial quadrático pode ter e estudamos a realização e integrabilidade de tais sistemas. Fornecemos a forma normal para sistemas diferenciais com quádricas invariantes e estudamos de forma mais detalhada a dinâmica e integrabilidade de sistemas diferenciais quadráticos com um paraboloide elíptico como superfície algébrica invariante. Por fim, estudamos as consequências dinâmicas ao se perturbar um sistema diferencial, cujo espaço de fase é folheado por superfícies algébricas invariantes. Para tal, consideramos o sistema diferencial quadrático conhecido como sistema Sprott A, que depende de um parâmetro real a e apresenta comportamento caótico mesmo sem ter pontos de equilíbrio, tendo, assim, um hidden attractor para valores adequados do parâmetro a. Provamos que, para a=0, o espaço de fase desse sistema é folheado por esferas concêntricas invariantes. Utilizando a Teoria do Averaging e o Teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), provamos que, para a>0 suficientemente pequeno, uma órbita periódica orbitalmente estável emerge de um equilíbrio do tipo zero-Hopf não isolado localizado na origem e que formam-se toros invariantes em torno desta órbita periódica. Concluímos que a ocorrência de tais fatos tem um papel importante na formação... / Abstract: In this work, we consider algebraic and dynamical aspects of some problems involving invariant algebraic surfaces in polynomial differential systems defined in R³. We determine the maximum number of invariant planes that a quadratic differential system can have and we study the realization and integrability of such systems. We provide the normal form for differential systems having an invariant quadric and we study in more detail the dynamics and integrability of quadratic differential systems having an elliptic paraboloid as invariant algebraic surface. Finally, we study the dynamic consequences of perturbing differential system whose phase space is foliated by invariant algebraic surfaces. For this we consider the quadratic differential system known as Sprott A system, which depends on one real parameter a and presents chaotic behavior even without having any equilibrium point, thus having a hidden attractor for suitable values of parameter a. We prove that, for a=0, the phase space of this system is foliated by invariant concentric spheres. By using the Averaging Theory and the KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) Theorem, we prove that, for a>0 sufficiently small, an orbitally stable periodic orbit emerges from a zero-Hopf nonisolated equilibrium point located at the origin and that invariant tori are formed around this periodic orbit. We conclude that the occurrence of these facts has an important role in the formation of the hidden attractor. / Doutor